I Puissances d'une matrice (A) Matrices diagonales Définition 1 Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés
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carrée L'ensemble des matrices à n lignes et n colonnes se note Mn(R) au lieu est une matrice carrée de taille 3 PUISSANCE D'UNE MATRICE CARRÉE
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Cours Puissance d'une matrice - Limite (2) On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les éléments non diagonaux sont tous égaux à 0 Exemple
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5) Puissance d'une matrice carrée Définition : Soit A une matrice carrée et n un entier naturel Le carré de A est la matrice, noté A2, égale à A x A Le cube de A
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30 mai 2008 · Pourquoi veut-on calculer Ap, où A est une matrice carrée ? • Pour étudier une suite définie par ses premiers termes, et une relation de
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(Puissance d”une matrice diagonale) Soit M une matrice (carrée) diagonale Alors, Mk est encore diagonale, et ses éléments diagonaux sont les puissances
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) = tr(A) Puissances d'une matrice carrée Exercice 5 Calculer An pour n ∈ N avec :
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TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age1
Puissance n-ième d"une matrice
LimiteI.Puissances d"une matrice(A)Matrices diagonalesDéfinition 1Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur
sa diagonale principale sont nuls.Exemple DAE0 @1 0 00¡3 0
0 0 41
A est une matrice diagonale d"ordre 3.Propriété 1 la puissancenles coefficients de D.DémonstrationPar récurrence immédiate.
ExempleSi DAEµ4 0
(B)Matrices triangulaires supérieures (ou inférieures)Définitions 2Une matrice carrée est dite :
ltriangulaire supérieur (inférieure)si tous ses éléments situés en dessous (au-dessus) de
sa diagonale sont nuls. lstrictement triangulairesi elle est triangulaire avec des coefficients diagonaux nuls.Exemple AAE0 @2¡1 30¡4 1
0 0 6 1 A ; BAE0 @0¡3 1 0 0 2 0 0 0 1 A ; CAE0 @40 0¡2 10
5 0 31
A ; DAE0 @00 0 1 0 0 4 2 0 1 A A et C sont triangulaires, B et D strictement triangulaires.Propriété 2 Les puissances d"une matrice triangulaire sont triangulaires de même forme. Les puissances d"une matrice strictement triangulaire d"ordrensont nulles à partir de l"exposant n.Vocabulaire Une matrice dont une puissance est nulle est appeléenilpotente. 1 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age2Exemple
PournAE3, si MAE0
@0a b 0 0c0 0 01
A avec (a,b,c) réels, M2AE0 @0 0ac 0 0 00 0 01
A d"où M3AE0 @0 0 0 0 0 00 0 01
AOn en déduit que pour toutn¸3, MnAEO3
RemarqueCes propriétés permettent de calculer les puissances d"une matrice en décomposant en sommes
de matrices particulière ou alors en décomposant par blocs.Exercicesn o1 - 2 - 3 -4- 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 1 1p 176 - 177 2 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age3 (C)Diagonalisation d"une matrice carrée d"ordre 2Définition 3Une matrice carrée A est dite diagonalisable s"il existe une matrice carrée P inversible et une ma-
trice carrée D diagonale telles que AAEPDP¡1.Remarque Si AAEPDP¡1, on obtient Ande manière simple.En effet, A
lUne matrice carrée d"ordre 2 est diagonalisable si, et seulement s"il existe deux réels¸et¹(non nécessairement distincts) et deux matrices colonnes à coefficients réels non proportion-
nelles V et W telles que AV=¸V et AW=¹W. lSi A est diagonalisable, les réels¸et¹sont appelés lesvaleurs propresde la matrice A. La matrice carrée P=[V W] est inversible et telle que AAEPµ¸0 P¡1Démonstration
Si A est diagonalisable, il existe¸et¹réels et PAEµ® ¯ inversible tels que AAEPµ¸0 P ¡1Soit VAEµ®
et WAEµ¯ . Comme P est inversible, son déterminant est non nul donc®±¡¯°6AE0. On en déduit que V et W ne sont pas proportionnelles. On montre alors, en effectuant les calculs que AV=¸V et AW=¹W.ExempleSoit AAEµ¡4 6
alors VAEµ3 et WAEµ2 sont telles que AV=¡2V et AW=¡W. A a pour valeurs propres¡2 et¡1 et AAEPµ¡2 0 P¡1avec PAEµ32
1 RemarqueLes matrices carrées d"ordre 2 ne sont pas toutes diagonalisables.Prenons AAEµa b
et posons VAEµx . Alors AV=¸V s"écrit axÅbyAE¸x cxÅdyAE¸y½(a¡¸)xÅbyAE0
(c¡¸)xÅdyAE0()BµxAEµ0
avec BAEµa¡¸bAEA¡¸I2. Si A¡¸I2est inversible,µx
AEB¡1µ0
AEµ0
et donc V, qui est nulle, est proportionnelle à toute matrice colonne W.Pour que A soit diagonalisable, il faut donc que B ne soit pas inversible, donc que soit déterminant soit nul, d"où¸2¡(aÅd)¸Åad¡bcAE0.
Pour AAEµ3 7
, l"équation¸2¡4¸Å10AE0 n"a pas de solution réelle. Donc A n"est pas diagonalisable.Exercicesn
o12 - 13 - 14 - 15 -16- 17p 177 - 178Exercicesn
o18 - 19 -20- 21 - 22 - 23 - 24p 178 - 180 3 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age4II.Suites de matrices colonnes :UnÅ1AEAUnÅBPour toutndeN, Unest une matrice colonne àmlignes, A une matrice carrée d"ordremet B une
matrice colonne àmlignes,m2N. On note (R) la relation de récurrence UnÅ1AEAUnÅB. (A)Expression deUnen fonction denSi l"on sait calculer A n, on peut chercher à exprimer Unen fonction den. Méthode 1: avec une suite constante vérifiant la relation (R) Une suite constante, égale à X, vérifie (R) si, et seulement si, XAEAXÅB.