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Correction ▽ [002594] Exercice 5 Soit A la matrice suivante A = (1 1 2 1 ) 1 Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A 2
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Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en
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Aides à la résolution et correction des exercices Maths SUP 6) Montrer que les valeurs propres de toute matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux
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Ce qui est compliqué dans le calcul des puissances d'une matrice, c'est que Exemple 2 : Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses + 3X3 = 0 v(1) = m(1) = 2 Le calcul montre que les vecteurs propres sont les colonnes u
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Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct
Exercice IV.1Ch4-Exercice1
Quels sont les vecteurs propres de l"application identité? Préciser les valeurs propres associées.
Solution: Tous les vecteurs, sauf le vecteur nul, sont vecteurs propres de l"identité, la valeur propre associée
est 1.Exercice IV.2Ch4-Exercice2 systématique :S iuest la projection de l"espace sur un plan parallèlement à une droite, citer des vecteurs propres deuet
les valeurs propres associées.S iuest la rotation du plan d"angle®:
q uand®AE¼, citer des vecteurs du plan qui soient vecteurs propres deu, préciser les valeurs propres
associées, q uand®AE¼3 , pouvez-vous citer des vecteurs du plan qui soient vecteurs propres deu?Solution:
P ourla pr ojection,l esv ecteursnon nul sd uplan sont des v ecteursp ropresassociés à la v aleurp ropre1, l es
vecteurs non nuls de la droite sont des vecteurs propres associés à la valeur propre 0.P ourla r otationsi :
-®AE¼, la rotation est alors une symétrie, tout vecteur non nul du plan est vecteur propre associé à la
valeur propre¡1. -®AE¼3 , on ne peut citer aucun vecteur propre.Exercice IV.3Ch4-Exercice3 Montrer que siY, est vecteur propre deA, alors®Yest vecteur propre deA(pour tout®2Knon nul).Solution:®Y6AE0,
donc®Yest vecteur propre associé à la valeur propre¸.Exercice IV.4Ch4-Exercice4 1. S oitIla matrice identité deMn,n, déterminer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. 2. D éterminerle sv ecteurspr opreset l esv aleurspr opresde la mat rice AAE0 @3.5 0 00 5.2 0
0 0 6.91
A D éterminerle sv aleurspr opreset l esv ecteurspr opresd "unemat ricediagon ale. 3. M ontrerqu e: Anon inversible()0 est valeur propre deA.Solution:
1. T outv ecteurn onn ulYest vecteur propre deIcarIYAEY: la valeur propre associée est 1.2.- S iYAE0
@y 1 y 2 y 31A ,AYAE0 @3.5y1 5.2y2
6.9y31
AAE¸Y()8
:3.5y1AE¸y15.2y2AE¸y2
6.9y3AE¸y3.
Ce système admet comme solutions :
-¸AE3.5,y2AE0,y3AE0,y1quelconque non nul (pour queY6AE0) :YAEy10 @1 0 01 A -¸AE5.2,y1AE0,y3AE0,y2quelconque non nul (pour queY6AE0) :YAEy20 @0 1 01 A -¸AE6.9,y1AE0,y2AE0,y3quelconque non nul (pour queY6AE0) :YAEy30 @0 0 11 AC erésu ltatse g énéraliseraitau c asd "unema triced iagonalequ elconque: ¸AEaiiest valeur propre, les
vecteurs propres associés sont proportionnels à la i-ème colonne deI. On a en effet d"après les
propriétés du produit matriciel :AIAEA)AIiAEAiAEaiiIi
doncOn a donc un couple propre (aii,®Ii).
On retrouve sur ces exemples très simples que siYest vecteur propre associé à¸alors®Yest
également vecteur propre associé à¸.
3.Anon inversible,9Y6AE0,AYAE0 ,
en effet le systèmeAYAE0 admet toujours la solution nulle, et ce système admet une solution non nulle
(c"est-à-dire n"admet pas de solution unique) si et seulement siAn"est pas inversible. On a donc :
Anon inversible,0 est valeur propre deAExercice IV.5Ch4-Exercice5 C alculerle sv aleurspr opreset l esv ecteurspr opresréel s( KAEIR) des matrices : A1AEµ¡1 2
,A2AEµ¡1 1 ,A3AEµ1¡1 ,A4AEµ0¡1 A 5AE0 @1 0 1 0 1 00 0 21
A ,A6AE0 @1 1 0 0 1 00 0 21
A ,A7AE0 @1 1 1 0 2 30 0¡11
AC alculerl esv aleurspr opreset l esv ecteurspr oprescomplexes ( KAEC) des matrices précédentes puis de la
matrice :A8AEµ1 1Solution: PourA1:
A(s)AE(sÅ1)(sÅ2)¡2AEs2Å3sAEs(sÅ3) :2 valeurs propres simples 0 et¡3.
Recherche des vecteurs propres :
-¸AE0, ,®2IR . -¸AE¡3, ,®2IR.Il était prévisible que 0 était valeur propre de cette matrice. En effet puisque ses 2 colonnes sont
proportionnelles, elle n"est pas inversible, donc 0 est valeur propre.PourA2:
on obtient le même polynôme caractéristique que pour la matriceA1. Ce résultat est général : les matrices
sont transposées l"une de l"autre.Recherche des vecteurs propres :
-¸AE0, ,®2IR . -¸AE¡3, ,®2IR. On remarque en revanche que les vecteurs propres ne sont pas les mêmes que pour la matriceA1.Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes deA1etA2on obtient bien sûr les mêmes valeurs
propres (réelles donc complexes), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant àMn1(C) donc
on choisit les coefficients®complexes.Pour la matrice suivante tourner la page.
PourA3:
A(s)AE(s¡1)2Å1 :
il n"existe pas de valeurs propres réelles.Si on cherche les valeurs propres complexes, on obtient 2 valeurs propres complexes 1Åiet 1¡i(on peut
remarquer que ces valeurs propres sont conjuguées : ce résultat est général, on le démontrera
ultérieurement).Recherche des vecteurs propres :
-¸AE1Åi, ,®2C . -¸AE1¡i, ,®2C .Pour la matrice suivante tourner la page.
PourA4:
on a une valeur propre double¸AE1Recherche des vecteurs propres :
-¸AE1, ,®2IR .Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes deA4on obtient bien sûr la même valeur propre
(réelle donc complexe), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant àMn1(C) donc on choisit
les coefficients®complexes.Pour la matrice suivante tourner la page.
PourA5:
A(s)AE(s¡1)2(s¡2) :
¸AE1 est valeur propre double,¸AE2 est valeur propre simple.Recherche des vecteurs propres :
-¸AE1, (A¡¸I)YAE0,y3AE0, YAE0 01 AAE®0
@1 0 01 Aů0
@0 1 01 A ,®,¯2IR . -¸AE2, (A¡¸I)YAE0,½¡y1Åy3AE0¡y2AE0,½¡y1AEy3
y 2AE0,YAE®0
@1 0 11 A ,®2IR.PourA6:
A(s)AE(s¡1)2(s¡2),
¸AE1 est valeur propre double,¸AE2 est valeur propre simple.Recherche des vecteurs propres :
-¸AE1, (A¡¸I)YAE0,½y2AE0 y3AE0,YAE®0
@1 0 01 A ,®2IR . -¸AE2, (A¡¸I)YAE0,½¡y1Åy2AE0 y2AE0,½y1AE0
y 2AE0,YAE®0
@0 0 11 A ,®2IR.Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes deA5etA6on obtient bien sûr les mêmes valeurs
propres (réelles donc complexes), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant àMn1(C) donc
on choisit les coefficients®et¯complexes.