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Correction ▽ [002594] Exercice 5 Soit A la matrice suivante A = (1 1 2 1 ) 1 Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A 2

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Exercice 1 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Ainsi, on a : Pour conclure, on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en

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Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n appelée vecteur propre associé à la valeur propre λ Exercice Montrer que 4 est une 

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Aides à la résolution et correction des exercices Maths SUP 6) Montrer que les valeurs propres de toute matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux

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3 5 3 Résolution d'équations de récurrence avec des matrices non 3 5 4 Exercice récapitulatif (corrigé) Une valeur propre de A est un nombre λ qui, quand il est sosutrait à appelé un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ

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– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale 3 Montrer que : A non inversible ⇐⇒ 0 est valeur propre de A Solution : 1 Tout  

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c) Pour chaque valeur propre, déterminer l'espace propre associé d) En déduire la transformation géométrique définie par cette matrice Exercice 4 11 : On 

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Ce qui est compliqué dans le calcul des puissances d'une matrice, c'est que Exemple 2 : Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses + 3X3 = 0 v(1) = m(1) = 2 Le calcul montre que les vecteurs propres sont les colonnes u

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MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)Chapitre 11 - Valeurs propres - Vecteurs propres

1 Introduction

1.Probl`eme: SoitA= 4 1

2 1! . CalculerAnavec 06n65 : A

0= 1 0

0 1! A

1= 4 1

2 1! A

2= 14 5

101!
A

3= 46 19

3811!
A

4= 146 65

13049!

A

5= 454 211

422179!

Et combien vautAn?

A n=0

BBBBBBBBBBB@2n+23n2n+3n

22n23n22n3n1

CCCCCCCCCCCA

2. Ce qui est compliqu

´e dans le calcul des puissances d"une matrice, c"est que tous les coecients sedispersentau cours des multiplications :

M= a b

c d! M 2=0

BBBBBB@a

2+bc ab+db

ac+dc d2+bc1

CCCCCCAM3=0

BBBBBBBBB@a

3+2bca+bcd ba2+bda+bd2+b2c

ca

2+cda+bc2+cd2d3+2bcd+abc1

CCCCCCCCCA

Il y a un cas o

`u c"est facile :

Th´eor`emeD=0

BBBBBBBBBBBBB@

100
020 0 0m1

CCCCCCCCCCCCCA)Dn=0

BBBBBBBBBBBBB@

n 100
0n 20

0 0nm1

CCCCCCCCCCCCCA

Remarque: Sii,0 pour touti, la formule vaut pour toutn2Z.

3.Th´eor`eme: SoitPune matrice inversible. SiA1,A2, ...,Ansont des matrices quelconques et :

B

1=PA1P1B2=PA2P1:::Bn=PAnP1

alors :B1B2Bn=PA1A2AnP1

En particulier :B=PAP1)Bn=PAnP1

D´emonstration:B1B2B3Bn=PA

1P1PA 2P1PA 3P1PA nP1 =PA1P1PA 2P1PA

3(P1P)AnP1

=PA1IA2IA3AnP1 =PA1A2A3AnP1 1

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13 Jacques V´elu (CNAM)4.M´ethodepour calculerAnconnaissant unematrice inversibleP et unematrice diagonaleD telles

queA=PDP1: on calculeDnpuisAn=PDnP1Exemple: 4 1 2 1! | {z } A= 11 1 2! | {z } P 3 0 0 2! | {z } D 2 1 1 1! | {z } P 4 1 2 1! n = 2n+23n2n+3n

22n23n22n3n!

2 Valeurs propres - Vecteurs propres

1. Quand il existePetDtelles queA=PDP1ont dit queAestdiagonalisable.

Une matriceA´etant donn´ee, on cherche ce que pourraitˆetre la matricePsiA´etait diagonalisable :

A=PDP1()AP=PD=APDP

AP c k c kk Ac k c kk Conclusion: Les colonnes dePdoivent forc´ement v´erifier une´egalit´e du type : Ac=cavecun nombre etcune matrice colonne non nulle.

Quand on a une telle

´egalit´e, on dit queest unevaleur propredeAet quecest unvecteur propre pour la valeur propre.

2. Comment trouver des valeurs propres et des vecteurs propres?

On suppose queAest unematrice carr´ee d"ordre p. On notei;jses coecients etXiceux de la colonnec. 2

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13 Jacques V´elu (CNAM)L"

´egalit´eAc=c´equivaut au syst`eme :

8>>>>>>><>>>>>>>:

1;1X1+1;2X2++1;pXp=X1

2;1X1+2;2X2++2;pXp=X2

p;1X1+p;2X2++p;pXp=Xp Parce que les inconnues sontX1,X2, ...,Xpet, ce n"est pas un syst`eme lin´eaire!

Si les inconnues´etaient seulementX1,X2, ...,Xp, ce serait un syst`eme lin´eaire dont on trouverait

les solutions par la m

´ethode du pivot.

8

2;1X1+(2;2)X2++2;pXp=0

p;1X1+p;2X2++(p;p)Xp=0 C"est unsyst`eme lin´eaire homog`enedont on cherche lessolutions non nulles. Pour que ce syst`eme ait une solutions non nulle, il faut et il sut que le d´eterminant deAI, sa matrice des coecients, soit nul. Th´eor`eme:est une valeur propre deAsi et seulement sidet( AI)=0.

3.Th´eor`eme:

A(z)=det(AzI)=

1;1z1;21;p

2;12;2z2;p

p;1p;2p;pz est un polyn ˆome; on l"appelle lepolynˆome caract´eristiquedeA. A(z)=det(A)++(1)p1(1;1+2;2++p;p)| {z } tr(A)z p1+(1)pzp tr(A)est la tracedeA. Les valeurs propres deAsont les nombrestels que}A()=0.

4. Exemples

Exemple 1:A= a b

c d! A(z)= az b c dz =(az)(dz)bc=(adbc)(a+d)z+z2 Exemple 2: Les valeurs propres d"une matrice triangulaire sont ses coecients diagonaux. A=0

BBBBBBBBBBBBBB@

1;11;21;p

02;22;p

0 0p;p1

CCCCCCCCCCCCCCA}

A(z)=

1;1z1;21;p

02;2z2;p

0 0p;pz

A(z)=(1;1z)(2;2z)(p;pz)

3

MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)Exemple 3: Il existe des matrices qui ne sont pas diagonalisables.

A= 1 1

0 1!

A(z)=(1z)(1z)

SiA´etait diagonalisable, les coecients diagonaux de la matriceD, v´erifiant}A()=0 seraient forc ´ement´egaux`a 1,Dserait la matrice identit´e, etA=PDP1=I, ce qui est faux. DoncAn"est pas diagonalisable!

5.Th´eor`eme de d"Alembert-Gauss

SoitPun polynˆome de degr´ep>1,`a coecients complexes, dont le coecient du terme de plus haut degr ´e est. Alors, il existe des nombres complexes1,2, ...,set des entiers strictement positifsm1, m2, ..., mstels que :

P(z)=(z1)m1(z2)m2(zs)msavecm1+m2++ms=p

Tous ces nombres sont uniques

`a l"ordre pr`es : les nombresisont lesracinesdeP, l"entiermiest lamultiplicit´ede la racinei: quandmi=1la racine est simple, quandmi=2la racine est double, quandmi=3la racine est triple, etc. Dans le cas g´en´eral, la racine est d"ordre mi.

6. Siest une valeur propre deA, lesvecteurs proprespour la valeur propresont lessolutions non

nullesdu syst`eme lin´eaire homog`ene( AI)X=0.

On sait queAposs`ede des valeurs propres et qu"en r´esolvant ce syst`eme par la m´ethode du pivot,

on pourra trouver des vecteurs propres pour faire les colonnes deP. En aura-t-on assez pour fabriquer une matrice P inversible? On notev()le nombr ed"inconnues non principales du syst `eme homog`ene( AI)X=0.

Th´eor`eme:

Sim()est la multiplicit ´e de la valeur propreon a toujours :

16v()6m()La matriceA est diagonalisablesi et seulement siv()=m()pour chaque valeur pr opre.

Th´eor`eme: SoientAune matrice diagonalisable,une valeur propre deAetm()sa multiplicit ´e.

Il y am()coecients diagonauxdeD´egaux`a.

Il y am()colonnesdePqui sont desvecteurs propres pour. Si lakecolonnedePest un vecteur propre pour, lekecoecient diagonaldeDest´egal`a.

7.Exemple:A=0

BBBBBBB@3 1 1

834

6 3 41

CCCCCCCA}A(z)=(2z)(1z)2

=28 >>>><>>>>:3X1+X2+X3=2X1

8X13X24X3=2X2

6X1+3X2+4X3=2X3()8

>>>><>>>>:X

1+X2+X3=0

8X15X24X3=0

6X1+3X2+2X3=0

4quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14