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Coordonnées cylindriques:

Faire une figure. Définir les coordonnées cylindriques, donner le nom et le domaine de

variation de chaque coordonnée. Déterminer la base privilégiée et donner le nom des vecteurs

unitaires. Déterminer l'expression du vecteur déplacement élémentaire.

Déterminer l'expression du vecteur surface élémentaire et de l'aire élémentaire

correspondante dans les cas simples. Déterminer l'expression du volume élémentaire.

Applications: périmètre d'un cercle, aire d'un disque, aire latérale d'un cylindre, volume d'un

cylindre.

Réponse:

Schémas:

xy uzuruq HM

Figure dans le plan (M, ur ,uq)rqOz

M rz quq uruz M'H

G.P.Questions de cours outils mathématiques

Coordonnées et vecteurs unitaires:

1)les trois coordonnées: r,,zavecr,: coordonnées polaires cylindriques (problème à

zconstant) avecr: distance à l'axe r≥0: angle polaire

02z: cote

2)les vecteurs unitaires: pour les obtenir, imaginer qu' une seule coordonnée augmente de façon

élémentaire, alors le déplacement élémentaire de

Mdonne la direction et le sens du vecteur

unitaire associé à cette coordonnée. ur: vecteur unitaire radial u: vecteur unitaire orthoradial uz: vecteur unitaire axial

Déplacement élémentaire:

On écrit directement le déplacement élémentaire (en faisant la composition des déplacements

élémentaires dus à chaque paramètre variant seul) sirvarie seul : dlr=drur si varie seul : dl=rdu( arc de cercle élémentaire ) si zvarie seul : dlz=dzuz dl=drurrdudzuzSurface élémentaire:z uquruz OM

Figure dans le plan (M, ur ,uz)rM'zH

G.P.Questions de cours outils mathématiques

Une surface élémentairedS3obtenue à partir des déplacements élémentairesdl1etdl2est

définie par

dS3=dl1∧dl2=dSn( l'airedSest positive etnest le vecteur normal à la surface

qui définit le sens de l'orientation choisie )

D'où par exemple pour les cas simples:

dSz=dlr∧dl=drrduzdoncdS=drrdOn retiendra que l'aire élémentaire s'obtient par le produit de deux déplacements élémentaires.

Volume élémentaire:

Le volume élémentaire s'obtient par le produit des trois déplacements élémentaires: d=drrddzCalculs divers en cylindriques:

1)périmètre du cercle:

r=R

L=∮cercle

dlavecdl=rd=Rd

L=∫02

Rd

L=2RMuq

uruz dr r dqr dq dz dr dz

G.P.Questions de cours outils mathématiques

2)aire d'un disque

rdr∫=0=2 d S=R23)aire latérale d'un cylindre de hauteur

Het de rayonRS=∬disquedSravec

dSr=rddz=RddzS=R∫z=0z=H dz∫=0=2 d

S=2RH4)volume du cylindre précédent

V=∭disquedavec

d=drrddz

V=∫r=0

r=R rdr∫=0 =2 d∫z=0 z=H dz

V=R2H

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