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et d'un arc de cercle, de l'aire d'un disque et d'un secteur circulaire, du périmètre Mesure des dimensions adéquates, calcul du volume et de l'aire de prismes 

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Grandeurs et mesures

Lignes, surfaces et théorèmes

Solides

Diverses mesures

Grandeurs, mesures et... problèmes

Nombres et op

érationsPoser et résoudre des problèmes

pour construire et structurer des représentations des nombres réels

Résoudre des problèmes

numériques

Rés

olution de problèmes numériques en lien avec les ensembles de nombres travaillés, l"écriture de ces nombres et les opérations

étudiées.Fonctions et algèbre

Résoudre des problèmes

numériques et algébriques

Résolution de problèmes en lien avec les

notions étudiées (fonctions, diagrammes, expressions algébriques et équations).

Résolution de problèmes de

proportionnalité.Espace

Poser et résoudre d

es problèmes pour modéliser le plan et l"espaceRésolution de problèmes géométriques en lien avec les figures et les transformations

étudiées.Grandeurs et mesures

Mobiliser la mesure

pour comparer des grandeurs

Résolution de problèmes de mesurage

en lien avec les grandeurs et les théorèm es

étudiés.Modéliser des

phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques 215
P érimètre de figures, aire de surfaces, détermination d"angles et de gran- d eurs diverses...: ces notions semblent bien connues tant les mathémati- c iens et géomètres grecs ont élaboré des savoirs, des savoir-faire et des outils d e mesures depuis des millénaires. Si les théorèmes de Thalès (???????av. J .-C.) et de Pythagore (VI e s. av. J.-C.) sont particulièrement connus, de nom- breux autres, dus en particulier à Euclide (III e s. av. J.-C.), forment un ensemble d e propositions permettant de résoudre de nombreux problèmes. U n des enjeux des géomètres grecs était la résolution de problèmes à l"aide u niquement du compas et de la règle non graduée; ces mathématiciens ne sont p as parvenus à répondre pleinement à toutes leurs interrogations. De célèbres p roblèmes comme la quadrature du cercle, la trisection de l"angle et la dupli- cation du cube ont attendu bien des siècles avant d"être démontrés comme tant... impossibles à effectuer avec règle et compas. Les trois démonstrations r eposent sur les mêmes arguments, assez complexes d"ailleurs: c"est l"algèbre du XIX e siècle qui a permis d"établir ces preuves. 216
Théorèmes extraits desEléments d"Euclide, III e s. av. J.-C. (traduction espagnole).

Lignes, surfaces et théorèmes

Apprentissages visés

?Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, dans diverses unités, par manipulation de lignes et de surfaces ?Mesure des dimensions adéquates, calcul de la longueur d"un cercle et d"un arc de cercle, de l"aire d"un disque et d"un secteur circulaire, du périmètre et de l"aire d"une surface par décomposition en figures simples ?Calcul d"une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues ?Utilisation du théorème de Pythagore ?Utilisation de la proportionnalité des figures semblables et du théorème de Thalès •Pour réactiver certaines connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218

•Lignes et surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218

•Pour réactiver certaines connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222 •Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 •Pour consolider et approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229 •Pour réactiver certaines connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

•Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

•Figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234 •Encore quelques problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235

Sommaire

217
Lignes, surfaces et théorèmes218Grandeurs et mesures

Lignes et surfaces

Les deux longueurs d"un rectangle de 40 cm

sur 15 cm ont ŽtŽ dŽformŽes par trois demi- cercles, comme le montre le croquis ci-contre.

GM3Arcs et rectangles

Calcule l"aire de la partie colorŽe des deux figures ci-dessous. a)b)

40 mm20 mm

O 4 cm 12 cm O

GM4Figures complexes

GM2Un arc et un secteur

FICHIERQue sais-je? p.169

FICHIERGM1

Pour réactiver certaines connaissances

O3,7 cm

G E

140°

Mesures en cm

Cercle de centre O

Lignes, surfaces et théorèmes219

A l"intŽrieur d"un parc, on dŽcide d"amŽnager un plan d"eau dont la forme est illustrŽe par le dessin ci-contre.

Un sentier en fera le tour.

Quelle est la longueur du sentier?

40 m

42 mAB

CDE5

8 m~121°

GM5Plan d"eau

Sur un tapis, tu peux observer le motif brodŽ

ci-contre.

Combien mesure l"aire de la surface brodŽe?

10 cm~30,8 cm

GM6Motif

Grandeurs et mesures

La distance entre le centre de cette horloge et l"extrŽmitŽ de l"aiguille des minutes est de 30 cm. Calcule la distance que va parcourir la pointe de l"aiguille des minutes entre 3 h et 4 h 44 min.

GM7L"horloge

et la largeur 4 cm? b)Quelle est la mesure de la hauteur d"un triangle dont la longueur de la base correspondante est Žgale ˆ 6 cm et dont l"aire vaut 16,5 cm 2 cm?

GM8Trouver la mesure

AB //DE

Lignes, surfaces et théorèmes220Grandeurs et mesures a)Calcule la longueur de la base d"un triangle dont la hauteur correspondante mesure 7 cm et l"aire 4 cm 2 2

Calcule la mesure de sa hauteur.

GM9A partir de la formule

2 , la grande base 12m et la petite base 7 m? 2 ; sa grande base mesure 6,8cm et sa hauteur 1,5 cm.

Quelle est la mesure de sa petite base?

c)L"aire du mur de cette maison est de 52,875 m 2

Quelle est la mesure de sa hauteur maximale?

GM10Les dimensions du trapèze

a)Peut-on mettre un DVD dont l"aire est de 49cm 2 dans une pochette carrŽe de 13,5 cm de c™tŽ? est de 86,4 m. Quelle est l"aire de cette place de jeu?

GM11Autour du disque

de centre F?

GM12A propos d"arc et de secteur

7,5 m6,3 m?

SUITE ?

Lignes, surfaces et théorèmes221

b)L"aire du secteur circulaire ABDest de 17,5 dm 2

Les points D, Aet Esont alignŽs. AB= 4,8 dm.

L e triangle ABEest-il rectangle en A?

FICHIERGM13àGM16

en sens inverse l"une de l"autre. 1 ,de 60 cm de rayon, tourne d"un quart de tour de faon que le point Mse retrouve en M?. a)Calcule la longueur de l"arc de cercle ?MM?. b)La roue R 2 , entra"nŽe par R 1 , a tournŽ autour de son centre C.

Le sens de rotation effectuŽe par la roue R

2 est-il positif ou nŽgatif? c)Le point Pse retrouve en P?(non reprŽsentŽ).

L"angle ~PCP?mesure 216¡.

Calcule le rayon de la roue R

2

GM17Transmission par courroie

Grandeurs et mesures

R 2 C PR 1quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8