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4ème Jeudi 10 janvier 2013

Contrôle de Mathématiques 55 minutes

La notation sera également déterminée par la qualité et la clarté de votre travail.

Question de cours :

Citez le théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle.

Exercice 1 :

Soit EFG un triangle rectangle en F inscrit dans un cercle C. Placer un point H sur le cercle C distinct des points E, F et G.

1) Justifier que [EG] est un diamètre du cercle C.

2) Démontrer que le triangle EHG est rectangle en H.

Exercice 2 :

1) Quelle est la nature des triangles ROC et DCN ?

2) Que peut-on dire des triangles ROD et RND ?

3) Quel est le centre du cercle passant par les sommets

du triangle ROD ?

4) Tracer le quadrilatère ROND.

Montrer que ce quadrilatère ROND est inscrit dans un cercle dont on précisera le diamètre.

Exercice 3 :

Le quadrilatère ABCD ci-contre possède deux angles droits.

Le point I est le milieu de la diagonale [BD].

Le point J est le milieu de la diagonale [AC].

1) Comparer la longueur AI et la longueur BD.

Justifier.

2) Que peut-on alors dire de IA et IC ?

3) Montrer que les 4 points A, B, C, D sont sur un

même cercle.

4) Comparer JA et JC.

5) Justifier que la droite (IJ) est perpendiculaire à la

droite (AC).

4ème

Contrôle de Mathématiques CORRIGE M. QUET

Question de cours :

Exercice 1 : Justification en 2 pas

1) Montrons que [EG] est un diamètre du cercle (C).

On sait que le triangle EFG est rectangle en F.

Propriété :

Donc [EG] est un diamètre du cercle (C).

2) Montrons que le triangle EGH est rectangle en H.

On sait que les points E, G et H sont sur un cercle de diamètre [EG]. Propriété : Si 3 points sont sur un cercle, et si deux de ces points dorment un diamètre, ce triangle est rectangle.

Donc le triangle EGH est rectangle en H.

Exercice 2 :

1) On sait que

= 34° et = 56°

Propriété

Donc = 180° = 180 90 +
= 180 = 180 90 = 90°

Le triangle ROC est rectangle en O

De même, en remarquant que les angles opposés étant égaux : = 56°, le triangle DCN est rectangle en N. 2) = 90°, donc le triangle ROD est rectangle en O. = 90°, donc le triangle DNR est rectangle en N.

3) On sait que le triangle ROD est rectangle en O.

Propriété :

Donc le triangle ROD est inscrit dans un cercle de diamètre [RD]. De même, le triangle RND est inscrit dans un cercle de diamètre [RD]. Ainsi, les 4 sommets du quadrilatère ROND sont inscrits sur le cercle de diamètre [RD].

Exercice 3 :

Le quadrilatère ABCD ci-contre possède deux angles droits.

I est le milieu [BD], J est le milieu [AC].

1) On sait que le triangle ABD est rectangle en A.

Propriété :

Donc le triangle ABD est inscrit dans un cercle de diamètre [BD]. De même, le triangle BCD est inscrit dans un cercle de diamètre [BD].

2) On sait que le triangle ABD est rectangle en A.

Propriété : Dans un triangle rectangle, la médiane relative à a pour longueur la moitié de la

Donc IA =

. De même, dans le triangle BCD rectangle en C : IC = . Ainsi : IA = IC =

3) J est le milieu [AC] donc JA = JC.

4) On sait que IA = IC et JA = JC.

segment.

Donc I et J appartiennent à la médiatrice de [BD] et la droite (IJ) est la médiatrice de [BD].

Or Donc la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (AC).quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34