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Integnum02 page 1

INTEGRATION NUMERIQUE

I - Intégration numérique - Intégration analytique - Comparaison A partir d'un tableau de valeurs de la fonction Y(x), x variant de x

1 à x

N , on veut calculer l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle : La méthode la plus simple est la méthode des trapèzes :y x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 2x

1x212ff

dxdx)x(f 3x 2 x32

2ffdxdx)x(f

1xN

2Nx2N1N

2ffdxdx)x(f

xN

1Nx1NN

2ffdxdx

)x(fOn en tire : xN 1 xN1N21

2ff......f2fdxdx)x(

f La méthode de SIMPSON est plus précise : xN 1 xN1N2N4321ff4f2.....f4f2f4f 3dx dx)x(f

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Integnum02 page 2

Elle consiste à assimiler l'aire sous la courbe à la somme des aires sous une succession de paraboles passant respectivement par trois points consécutifs.

Considérons trois points consécutifs. Il existe une parabole passant par ces trois points. Soit

y = a 2 x 2 +a 1 x+a 0 l'équation de cette parabole. x3 1 xh2 h2x0h2 h2x2 1h2x h2xh2 h2x3 2 xax2ax3aydxydxA xxx

322320212

22021322

22
ha32h2yha32)axax2h(ah2ahx2aha32x2haA Or

222220212

2231
h2a2yh2a2ax2ax2ayy

On en tire :

23122

2yyyh2a

En reportant dans l'expression de A, il vient :

321
y4yyh31A uuu| xN 1 xN1N2N543321 ff4f3h....ff4f3hff4f3hdx)x(f soit : xN 1 xN1N2N4321 ff4f2.....f4f2f4f3hdx)x(f avec N=2n+1.

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Integnum02 page 3

Exercice IntNum1 : Aire sous une parabole :

Y(x)=a.x

2 ; Z an =a.(x n3 -x 13 )/3. dx 0,05 xmin 2 a1 xY(x)=a.x 2 Z num Z an

2,00 4,000 0,000 0,000

2,05 4,203 0,205 0,205

2,10 4,410 0,420 0,420

2,15 4,623 0,646 0,646

2,20 4,840 0,883 0,883

2,25 5,063 1,130 1,130

2,30 5,290 1,389 1,389

2,35 5,523 1,659 1,659

2,40 5,760 1,942 1,941

2,45 6,003 2,236 2,235

2,50 6,250 2,542 2,542

2,55 6,503 2,861 2,861

2,60 6,760 3,192 3,192

2,65 7,023 3,537 3,537

2,70 7,290 3,895 3,894

2,75 7,563 4,266 4,266

2,80 7,840 4,651 4,651

2,85 8,123 5,050 5,050

2,90 8,410 5,463 5,463

2,95 8,703 5,891 5,891

3,00 9,000 6,334 6,333

3,05 9,303 6,791 6,791

Formules avec EXCEL :

ABCD

6x Y(x)=a.x^2 Znum Zan

7=xmin =a*A7^2 0 0

8=A7+dx =a*A8^2 =C7+(B7+B8)/2*dx = 1/3*(A8^3-$A$7^3)*a OU = 1/3*(A8^3-xmin^3)*a

9=A8+dx =a*A9^2 =C8+(B8+B9)/2*dx = 1/3*(A9^3-$A$7^3)*a OU = 1/3*(A9^3-xmin^3)*a

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Exercice IntNum2 : Fonction gamma

On trouve la fonction gamma dans les fonctions de densité des lois du 2 et de

Student.

Fonction gamma : dttez

01zt Utiliser la méthode de SIMPSON pour calculer la valeur de (z) avec z = 2 ; 3,5 et 5,5. On utilisera des valeur de t comprises entre 0 et 24 avec dt = 0,1. document disponible à l'adresse :

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Exercice IntNum3 : Valeurs moyennes et efficaces

1. Définitions

Soit u(t) périodique de période T, les valeurs moyenne et efficace sont définies de la façon suivante : u = T 0 dt).t(uT1et U = T 0 2 dt).t(uT1

2. Calcul des valeurs moyenne et efficace théoriques

u 1 (t) : sinusoïde symétrique

Tt2sinU

max u 2 (t) : sinusoïde symétrique redressée (pont de diodes idéales) u 1 (t) u 3 (t) : sinusoïde avec composante continue 0max

UTt2sinU

Calculer les valeurs moyenne et efficace des u

i (t). u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t) u = U = Pour mesurer la valeur efficace d'un signal de valeur moyenne nulle, il faut un appareil portant la mention R.M.S. (Root Mean Square : racine moyenne du carré). Pour mesurer la valeur efficace d'un signal de valeur moyenne non nulle, il faut un appareil portant la mention T.R.M.S. (True Root Mean Square).

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u1 -12,00-8,00-4,000,004,008,0012,00

0,00 0,50 1,00

U 1 =Asin2t+U 0

A = 6 V

U 0 = 5V = 5 V U 1 eff = 6,56 V u2 -12,00-8,00-4,000,004,008,0012,00

0,00 0,50 1,00

Si 0 2 =|Asin2t|+U 0

Si 0,50 2 = U 0

A = 6 V

U 0 = 5V = 6,90 V U 2 eff = 7,29 V u3 -12,00-8,00-4,000,004,008,0012,00

0,00 0,50 1,00

u 3 =|Asin2t|+U 0

A = 6 V

U 0 = 5V = 8,82 V U 3 eff = 9,01 Vquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19