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INITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRALCalcul d'aire algébrique - Notion d'intégrale

Intégrale définie

L'intégrale d'une fonction f(x), ou f(t) selon la variable qui définit cette fonction, définie entre deux bornes x

1 et x2 (ou t1 et t2) de la variable, est égale à l'aire

algébrique (comptée positive si elle est au-dessus de l'axe de la variable, et négative dans le cas contraire) de la surface délimitée par les 2 bornes x

1 et x2

entre l'axe d'une part et la courbe de la fonction f(x) d'autre part.On remarque sur la figure 1 qu'en première approximation l'aire hachurée en rouge peut se calculer par l'aire du trapèze:

A fx2 fx1

2 . x2

x1 fx1 moy. x l'approximation est d'autant plus fondée que l'écart x entre les 2 bornes x1 et x2 sera faible; en zoomant encore davantage (x 2 x1) on se rend compte alors que f(x 2) f(x1) et que l'aire A f(x1) . x on va noter dx le petit accroissement x de la variable x à partir de la borne x1;

dans ce cas la petite aire hachurée est quasiment celle du rectangle de base dx et de hauteur f(x1);

on va noter dA l'aire de la petite surface ainsi obtenue;

si on veut maintenant calculer l'aire d'une grande surface entre 2 bornes éloignées, on va décomposer l'intervalle en un grand nombre de petits trapèzes dont on va

calculer les aires en les approximant par des petits rectangles de largeur x dx et de hauteur f(x n), soit: A fxn x 1x 3 x que l'on notera: A fxn x1x 3 . dx A s'appelle l'intégrale définie entre x1 et x2 de la fonction f(x) et se lit:

Intégrale de x

1 à x2 de f(x).dx ou encore

Somme de x

1 à x2 de f(x).dx

application au calcul de l'aire de l'alternance positive de la sinuso•de (figure1):on calcule l'aire de chaque bandelette de largeur 1 carreau (6°) et de hauteur f(x

n) soit

A = f(xn) . 6°

on remarque qu'au-delà de 180°,

A devient négatif et que le cumul décroit.

xn061218243036 f(x n)0102131415059 aire bandelette060126186246300354 aire cumulée0601863726189181272 xn42485460667278 f(x n)67748187919598 aire bandelette402444486522546570588 aire cumulée1674211826043126367242424830 xn849096102108114120 f(x n)991009998959187 aire bandelette594600594588570546522 aire cumulée5424602466187206777683228844 xn126132138144150156162 f(x n)81746759504131 aire bandelette486444402354300246186 aire cumulée933297761017810532108321107811264 xn168174180186192198214 f(x n)21100-10-21-31-41 aire bandelette126600-60-126-186-246 aire cumulée11390114501145011390112641107810832

l'aire totale de l'alternance positive vaut donc 11450 (valeur cumulée au point x=180°); la valeur moyenne de l'alternance est égale à l'aire divisée par l'intervalle choisi, soit 360°; la valeur moyenne vaut donc: 11450 / 180 = 63,6on sait en électricité que la valeur moyenne d'une alternance se calcule par :

Vmoy = 2.Vmax /

soit 2.100 / 3,1416 = 63,66

Intégrale indéfinie

L'intégrale indéfinie d'une fonction f(x) correspond au cas où les bornes x1 et x2

ne sont pas spécifiées; dans le cas général on peut définir une fonction F(x) appelée Intégrale indéfinie de f(x) ou encore Primitive de f(x) notée:

Fx fx . dx Bernard PONTALIERINITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRALp.1/4 l'intégrale définie est alors égale à: A fx x1x 2 . dx Fx2 Fx1 Remarque: Les fonctions intégrales sont les fonctions inverses des fonctions dérivées. Bernard PONTALIERINITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRALp.2/4 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
60
80
100

0306090120150180210240270300330360

x1x2x3 figure 1 Ce calcul peut être automatisé au moyen d'une feuille de calcul Excel. ABCD 1 2 3 4 x (°)f(x)f(x) . dxaire cumulée 0000 =A2+6=100*SIN(RADIANS(A3))=B3*6=D2+C3 =A3+6=100*SIN(RADIANS(A4))=B4*6=D3+C4

Les courbes ci-dessous représentent l'évolution de la fonction f(x) en bleu et de son intégrale (en mauve) calculée par l'aire cumulée à partir de l'origine (x = 0) jusqu'à x = 360°

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
60
80
100
120

03060901201501802102402703003303600

2000
4000
6000
8000
10000
12000

Les initiés reconnaitront aisément dans la courbe mauve la fonction (-cos x) multipliée par un coefficient K qui ici est de l'ordre de 5750 et décalée d'une quantité égale à la même valeur.

La variable x n'étant pas exprimée en radians comme le veut la mathématique, mais en degrés, nous écrirons pour l'expression de la fonction y

1 = f(x):

y1 = f(x) = 100 sin2 x 360
la courbe y2 = F(x) représentant l'intégrale calculée de y1 = f(x) s'écrira: y2 = F(x) = - K cos2 x 360

K avec K = 5750 déduit de la courbe

Les mathématiques nous enseignent que la dérivée de la fonction y2 s'écrit: y'2 = F'(x) = - - K sin2 x 360
. 2 360
y'2 = 5750 . 2 360
sin2 x 360
= 100,3 sin2 x 360
y1 = f(x)

l'erreur commise par l'approximation que nous faisons lorsqu'on assimile l'aire du trapèze à l'aire d'un rectangle est minime (ici 0,3%)

Quelques couples de fonctions Dérivées-Intégrale usuelles intégrationfonctionprimitive dérivationdérivéefonction f(x) = 0F(x) = C (constante indéterminée) f(x) = A (constante)F(x) = A.x + C f(x) = a.x+bF(x) = a.x2 / 2 + b.x + C f(x) = A.sin(x)F(x) = -A.cos(x) + C f(x) = A.sin(b.x)F(x) = -(A/b) cos(b.x) + C f(x) = A.cos(x)F(x) = A.sin(x) + C f(x) = A.cos(b.x)F(x) = (A/b).sin(b.x) + C f(x) = A.e xF(x) = A.ex + C f(x) = A.e b.xF(x) = (A/b).eb.x + C f(x) = A/xF(x) = A.Ln(x) + C f(x) = A/b.xF(x) = (A/b).Ln(b.x) + C

remarque: toutes les intégrales sont définies à une constante C près appelée constante d'intégration; la valeur de cette constante dépend des conditions initiales au calcul d'aire; dans l'exemple précédent calculé avec Excel, on a initialisé le calcul d'aire cumulée à zéro en écrivant dans la cellule ÒD2Ó la valeur 0; le calcul ci-contre de la fonction intégrale y

2 = F(x) pour la valeur initiale (x = 0) donne

bien : y

2 = -K.cos(0)+K = -K+K = 0

Bernard PONTALIERINITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRALp.3/4

Travaux pratiques:

Nous allons vérifier à l'aide du tableur-grapheur Excel le bien-fondé des formules mathématiques.

•cas de la fonction afine: f(x) = a x + b ABCDE 1 2 3 4 5 6 7 paramètres de calcul:paramètres de calcul: dx =0,05pas de calcula =0,5 Ao =

0aire initialeb =1

xf(x)=ax+bf(x) . dxaire cumuléeF(x)

0=ax+b=B6+dx=Ao=b*x+(a*x^2)/2

=A6+dx=ax+b=B7+dx=D6+C7=b*x+(a*x^2)/2

on donne le nom ÒdxÓ à la cellule B2, le nom ÒAoÓ à la cellule B3, le nom ÒaÓ à la cellule E2 et le nom ÒbÓ à la cellule E3

F(x) = Intégrale de (a.x + b)

0 0,5 1 1,5 2 2,5

00,20,40,60,811,21,41,6

f(x)=ax+baire cumuléeF(x)

on remarque que les courbes de l'aire cumulée et de la fonction F(x), intégrale de la fonction f(x), sont confondues

•cas de la fonction exponentielle: f(x) = ea.x ABCDE 1 2 3 4 5 6 7 paramètres de calcul:paramètres de calcul: dx =0,05pas de calcula =0,5 Ao =

0aire initiale

xf(x)=exp(ax)f(x) . dxaire cumuléeF(x)

0=EXP(a*x)=B6+dx=Ao=(1/a)*EXP(a*x)

on donne le nom ÒdxÓ à la cellule B2, le nom ÒAoÓ à la cellule B3 et le nom ÒaÓ à la cellule E2

F(x) = Intégrale de Exponentielle (a.x)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

00,20,40,60,811,21,41,6

f(x)=exp(ax)aire cumuléeF(x)

on remarque que les courbes de l'aire cumulée et de la fonction F(x), intégrale de la fonction f(x), sont identiques mais décalées d'une quantité constante C égale à 2 dans cet exemple;

on retrouvera ces exemples dans le fichier Excel ÒTP calcul intégral.xlsÓ ainsi que ceux le la sinuso•de ou encore de l'hyperbole;

on constate à travers ces exemples que toutes les intégrales sont définies à une constante C près appelée constante d'intégration.

Bernard PONTALIERINITIATION PRATIQUE AU CALCUL INTÉGRALp.4/4quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19