[PDF] [PDF] Factorielle et binôme de Newton Cours

[PDF] Factorielle et binôme de Newton Cours

Factorielle et binôme de Newton Cours Définition 1 — On note pour tout n ∈ N ∗, n =1 × 2 × 3 ×···× (n − 1) × n (« factorielle n ») et l'on pose 0=1 On peut 

[PDF] 06a Les factorielles (cours)

= ⋅ Page 2 ECG JP 3A 2002-2010 © F Franzosi - G Scheller - A Arnautovic http://math aki ch/ Chapitre 6 Les factorielles - 2 - Exercice 3 : Calculer a) ( ) 4 3

[PDF] Cours de mathématiques de terminale S - Free

18 mar 2008 · B Factorielle Une fonction sur les entiers va intervenir constamment dans la suite de ce cours : la factorielle Définition 8 : Pour tout entier n 

[PDF] Le factoriel dun nombre, n

Le factoriel d'un entier a tendance `a être un nombre qui est tr`es grand Par exemple, la plupart des calculatrices modernes sont incapables de calculer avec  

[PDF] Synthèse « Factorielle de n » - Educmath

permettent-ils des apprentissages mathématiques (et pas seulement interventions prévues par le professeur en cours de recherche n'ont ici pas été

[PDF] FACTORIELLES - maths et tiques

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques FACTORIELLES Commentaire : Étudier un algorithme permettant d'approximer le nombre e

[PDF] Théorème nouveau sur les factorielles - Numdam

du programme Numérisation de documents anciens mathématiques A étant un nombre entier et positif, on sait qu'on appelle factorielle de A, et que l'on 

[PDF] Cours de mathématiques Partie I – Les - Alain TROESCH

12 oct 2013 · La formule suivante, source de la construction du fameux triangle de Pascal, se démontre aisément avec l'expression factorielle des coefficients 

[PDF] Analyse combinatoire

6 mar 2008 · Mathématiques Générales B Université de Gen` Notation : La fonction ' factorielle' est la fonction de domaine N = {0,1,2, } qui a tout n ∈ N 

[PDF] Cours darithmétique

parant les olympiades internationales de mathématiques Le plan complet Il est possible de déterminer les valuations p-adiques d'une factorielle On rappelle  

[PDF] factoring ax2+bx+c worksheet

[PDF] factoring ax^2 + bx + c worksheet

[PDF] factoring difference of squares trinomial

[PDF] factoring the difference of two perfect squares worksheet answers

[PDF] factoring x2 + bx + c answer key

[PDF] factoring x2+bx+c worksheet answer key

[PDF] factorisation avec identité remarquable seconde exercice

[PDF] factorisation avec identités remarquables

[PDF] factorisation d'un polynome dans r

[PDF] factorisation d'un polynome dans r et c

[PDF] factorisation d'un polynome de degré 2

[PDF] factorisation d'un polynome exercice

[PDF] factorisation et identités remarquables 3ème

[PDF] factorisation identité remarquable 3eme

[PDF] factorisation identité remarquable 3eme pdf

Factorielle et binôme de Newton

Cours

Définition 1.- On note pour toutn?N?,

n! = 1×2×3× ··· ×(n-1)×n(" factoriellen») et l"on pose0! = 1. On peut définirn!par récurrence selon(n+ 1)! =n!×(n+ 1). Rappel.- Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles (par exemple succès et échec). Un schéma de Bernoulli est une répétition d"épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Supposons que l"on répètenépreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Notons

pla probabilité de succès à chaque épreuve. On obtient ainsi un schéma de Bernoulli de

paramètresnetpque l"on peut représenter par un arbre. Définition 2.- Pour toutk? {0,1,...,n}, le nombre de chemins fournissantksuc- cès sur lesnrépétitions est?n k? ("kparmin»).

On peut démontrer que

?n k? =n!k!(n-k)!=n(n-1)...(n-k+ 1)k!.

On peut aussi montrer que

?n k? représente le nombre de sous-ensembles dekéléments d"un ensemble ayantnéléments, ou encore le nombre de façons de choisirkéléments dans un ensemble ayantnéléments. On peut établir par récurrence que pour toutn?Net pour tousx,y?R(formule du binôme de Newton),(x+y)n=?n 0? x n+?n 1? x n-1y+···+?n n-1? xy n-1+?n n? y n=n? k=0? n k? x n-kyk ?n 0? y n+?n 1? xy n-1+···+?n n-1? x n-1y+?n n? x n=n? k=0? n k? x kyn-k.Les nombres ?n k? sont encore appelés " coefficients binomiaux ». Ils vérifient les pro- priétés suivantes : a) pour tousk,n?Ntels quek6n,?n n-k? =?n k? b) ?n 0? =?n n? = 1,?n 1? =?n n-1? =n,?n 2? =?n n-2? =n(n-1)2 c) pour tousk,n?Ntels quek6n-1,?n k? +?n k+ 1? =?n+ 1 k+ 1? (formule du triangle de Pascal).Pour calculer ?n k? pour de petites valeurs deketn, on peut utiliser le triangle de

Pascal :a

aakn0 1 2 3 4 5 6 7 8 01 11 1

21 2 1

31 3 3 1

41 4 6 4 1

51 5 10 10 5 1

61 6 15 20 15 6 1

71 7 21 35 35 21 7 1

81 8 28 56 70 56 28 8 1

Notation.- Soitp,q?Ntels quep6qetup,up+1,...,uq-1,uqdes nombres. On note q? i=pu i=up×up+1× ··· ×uq-1×uq.

Par exemple,n! =n?

i=1i,eΣn i=1ui=n? i=1e uiet siu1,...,un>0,ln? n? i=1u i? =n? i=1lnui. Application 1 : linéarisation.- À l"aide du binôme de Newton et de la formule d"Euler, pour tout entiern>2, on peut transformercosn(x)etsinn(x)en sommes de termes de la formecos(kx)etsin(kx),k?N?. Exemple :par la formule d"Euler,sin3(x)=?eix-e-ix2i 3 . Donc, grâce au binôme, sin

3(x) =1-8i?(eix)3+ 3(eix)2(-e-ix) + 3(eix)(-e-ix)2+ (-e-ix)3?

=-18i ?e3ix-3eix+ 3e-ix-e-3ix?=-18i ?2isin(3x)-3×2isin(x)? =-14 sin(3x) +34 sin(x). Application 2 : antilinéarisation.- À l"aide du binôme de Newton et de la formule de De Moivre, pour tout entiern>2, on peut transformercos(nx)etsin(nx) en sommes de termes de la formecosk(x)sinl(x),k,l?N. Exemple :on acos(3x) =?e?ei(3x)?etsin(3x) =?m?ei(3x)?. Or, par la formule de

De Moivre et le binôme de Newton,

e

3ix=?eix?3= (cosx+ isinx)3= cos3x+ 3cos2x(isinx) + 3cosx(isinx)2+ (isinx)3

?cos3x-3cosxsin2x?+ i?3cos2xsinx-sin3x?. D"où, en prenant partie réelle et partie imaginaire, cos(3x) = cos3x-3cosxsin2x= cos3x-3cosx(1-cos2x) = 4cos

3x-3cosx,

sin(3x) = 3cos2xsinx-sin3x= 3(1-sin2x)sinx-sin3x = 3sinx-4sin3x.

Factorielle et binôme de Newton

Exercices

Exercice 1 (Factorielle)

1. Donner la valeur den!pourn? {0,1,2,...,7}.

2. Calculer

50!46!

3. Simplifier

(2n+ 3)!(2n+ 1)!,(n+ 1)!(n-2)!+n!(n-1)!,(n-1)!n!-n!(n+ 1)!.

4. Montrer que

(2n)!n!est un entier pour toutn?Net le calculer pourn? {1,2,3,4}.

5. Montrer que pour toutn?N?,n?

k=1(2k) = 2nn!etn? k=0(2k+ 1) =(2n+ 1)!2 nn!.

6. Montrer que pourn>10,n!>9!×10n-9. En déduire la limite den!9

nlorsque n→+∞.

7. Montrer, à l"aide dek!>2k-1valable pour toutk?N?, que pour toutn?N?,n?

k=11k!6n? k=112 k-1<2.

8. Trouver le nombre de façons d"ordonnernobjets distincts, c"est-à-dire trouver le

nombre de permutations denéléments.

9. Trouver le nombre de façons de choisir des suites ordonnées dekobjets distincts

choisis parminobjets distincts.Exercice 2 (Formule du binôme de Newton)

1. Calculer

?5 2? ,?50 2? ,?50 49?

2. Développer(a+b)6,(2x-1)5.

3. SoitPla fonction définie surRparP(x) =x4+ 2x3-1. CalculerP(x+ 1).

4. Déterminer les coefficients dea4b2c3eta4b3c3dans le développement de(a-b+2c)9.

5. Utiliser la formule du binôme de Newton pour montrer que1.0110≈1.105. Trouver

de même une valeur approchée de0.998à10-3près.

6. Linéarisercos6x. En déduire une primitive dex?→cos6x.

7. Écrirecos(5x)sous la formeP(cosx)oùPest une fonction polynomiale à détermi-

ner.

8. En considérant la fonctionf:x?→(1+x)n(n?N), calculer les sommes suivantes :

S 1=n? k=0? n k? ,S2=n? k=0(-1)k?n k? ,S3=n? k=0k?n k? ,S4=n? k=01k+ 1? n k? .Pour les insatiables...

Exercice 3 (Factorielle)

On suppose queu0= 1et que pour toutn?N?,un=-nun-1. Exprimerunen fonction den.Exercice 4 (Formule du binôme de Newton et sommes)

1. Soitketndeux entiers tel que16k6n. À l"aide de l"inégaliték!>2k-1, montrer

que? n k?n k612 k-1.

2. Pour toutn?N?, calculer la sommen?

k=112 k-1.

3. Soitn?N?. On poseSn=?

1 +1n n (a) CalculerS1,S2etS3. (b) montrer queSn= 1 +n? k=1? n k? 1n k. (c) Déduire des questions précédentes que pour toutn?N?,Sn63.

4. Question annexe. - Calculer la limite de?

n k?n klorsquen→+∞.Exercice 5 (Formule du binôme de Newton et sommes)

1. À l"aide de l"identité(x+1)2n= (x+1)n(x+1)n, montrer quen?

k=0? n k?quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26