3 sept 2005 · Dans le cas particulier des signaux sinusoïdaux, la valeur efficace Exemple : étudions le cas d'un signal triangulaire de période T et de valeur moyenne nulle, Nous admettrons, sans démonstration, le théorème suivant :
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3 sept 2005 · Dans le cas particulier des signaux sinusoïdaux, la valeur efficace Exemple : étudions le cas d'un signal triangulaire de période T et de valeur moyenne nulle, Nous admettrons, sans démonstration, le théorème suivant :
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Tension efficace RMS : U RMS = U MAX 3 Signal triangulaire périodique quelconque : Tension efficace TRMS :Voltmètre position : VAC+DC U=
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Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace dans le cas de signaux de formes simples les notions abordées dans cette partie du cours, visionner la vidéo : Pour un signal triangulaire alternatif, on peut déterminer la valeur efficace,
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Pour un signal sinusoïdal, la valeur peak to peak vaut le double de l'amplitude VPP = 2a Soient : On souhaite que la valeur efficace du signal soit de même dimension que celui-ci Il suffit terme à terme (signal carré, signal triangulaire)
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Définitions La valeur moyenne d'un signal périodique est la moyenne des valeurs instantanées mesurées sur une période complète Si T désigne la période
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7 Valeur moyenne et valeur efficace d'un signal rectangulaire 1 (4 pts) Aucune démonstration n'est demandée Pour les questions d) à k), donner
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On remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f(t) : est donc nul On considère le signal triangulaire donné ci-dessous (la fonction f(t) est paire)
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A0 correspond à la composante continu (valeur moyenne), A1 cos(2πf0t +ϕ1) Exemples: Cas d'un signal triangulaire (travail personnel) - T0 2 0 T0 2 fréquence nf0 Démonstration fonction de la valeur efficace Aeff n An 2 au carré
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Signal triangulaire périodique pair de moyenne non nulle d' amplitude 308 Volts (en terme de tension efficace ou RMS, root mean square,
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Décomposition d'un signal périodique en série de Fourier 12 4 2 2 Transformée de Fourier d'une porte triangulaire a représente la valeur moyenne du
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MP - Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 25
ÉLECTRONIQUE
Chapitre 3
Signaux périodiques non sinusoïdaux
3.1. Définitions : valeur moyenne, valeurs de crête, valeur efficace
Valeur moyenne
La valeur moyenne s d"une grandeur temporelle ()x t calculée sur un intervalle de temps 1 2t t×× est
définie par l"expression suivante : 2 1 2 1 1t t s s t dtt t=-∫S"agissant d"un signal périodique, lorsque l"on parle de valeur moyenne sans préciser d"intervalle de
temps, celle-ci est implicitement calculée sur une période : Si ()(),s T t s t t+ = " alors ( ) 0 01t T t s s t dtT =∫ est indépendante de l"instant 0t. Nous noterons cette intégrale sous la forme symbolique 1Ts s t dtT=∫
Valeurs de crête
Un signal électrique est toujours borné. Il existe donc toujours deux valeurs de crêtes qui correspondent
au minimum mins et au maximun maxs observés sur une période.Valeur efficace
La valeur efficace d"un signal périodique ()s t est égale à la racine carrée de la valeur moyenne du carré
du signal (en anglais root mean square, ou rms). Elle est notée S. 2 21TS s t s t dtT= =∫
La valeur
S ainsi définie correspond à la valeur du signal continu qui produirait les mêmes effets
énergétiques. C"est l"origine du qualificatif " efficace ».Dans le cas particulier des signaux sinusoïdaux, la valeur efficace est égale à l"amplitude divisée par
2 : 2 2m m1 2cos 2T stS s dtT Tp ( )= +j =( )( )∫Le résultat sera différent a priori dans le cas plus général d"un signal non sinusoïdal.
ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdauxJLH 30/03/2008 Page 2 sur 25
Exemple : étudions le cas d"un signal triangulaire de période T et de valeur moyenne nulle, défini comme
suit : Pour 02 Tt- £ £, ( )41ts t aT( )= - +( )( ) et pour 02Tt£ £, ( )41ts t aT( )= -( )( )
Calculons la valeur moyenne du carré :
2 2 222 2022 22 2 2
0 02 21 4 4 2 41 1 1
3 TT TT Ta t t a t as S s t dt dt dt dtT T T T T T
Pour un tel signal, la valeur efficace est égale à l"amplitude divisée par3 : 2
3 aS s= =3.2. Décomposition en série de Fourier
Spectre en fréquence d"un signal périodique
Théorème de Fourier
Toute fonction périodique intégrable de période T (et de fréquence 1Tn =n =n =n =) peut s"écrire sous la
forme de la somme de sa valeur moyenne s et d"une série, éventuellement infinie mais toujours convergente, de fonctions sinusoïdales de périodes , , , , ,2 3T T TTn? ?? ?? ?? ? ou, ce qui revient au même, de " pulsations » , 2 , 3 , , ,nw w w ww w w ww w w ww w w w? ?? ?? ?? ? 1122cos 2cos
n n n n nn nts t s S s S n tT========pppp( )( )( )( )= + + j = + w + j= + + j = + w + j= + + j = + w + j= + + j = + w + j( )( )( )( )( )( )( )( )∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑
Nous définirons les phases nj de telle sorte que les valeurs efficaces nS non nulles soient positives.
Le premier terme de la série, de période T égale à la période du signal, s"appelle le terme fondamental
tandis que les termes suivants sont qualifiés de termes harmoniques.Remarque : l"amplitude du terme fondamental n"est pas nécessairement la plus importante (sur l"exemple
représenté ci-après, c"est l"harmonique3n= qui a la plus grande amplitude). Il se peut même que le
fondamental ait une amplitude nulle.L"ensemble des deux graphes représentant sous forme de " bâtons » les coefficients nS d"une part et les
phasesnj d"autre part, en fonction de n s"appelle le spectre fréquentiel du signal temporel. On y ajoute le
terme0S, égal à la valeur absolue de la valeur moyenne du signal,0S s=, et la phase 0j qui est nulle
si la valeur moyenne est positive ou nulle et égale à p si la valeur moyenne est négative. ()s tT t a+- a-- ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdauxJLH 30/03/2008 Page 3 sur 25
Attention ! Le spectre des valeurs efficaces permet d"évaluer quelles sont les énergies
associées aux différentes harmoniques. Cependant, pour reconstituer le signal par synthèse additive, il est nécessaire de connaître aussi le spectre des phases.Expression des coefficients de Fourier
La série de Fourier peut aussi bien s"écrire sous la forme d"un développement en cosinus et sinus, sous la
forme : 11 12cos cos sinn n n n
nn ns t s S n t s a n t b n t = + w +j = + w + w∑ ∑ ∑ avec, bien sûr, les correspondances 2cos 2sin n n n n n n a S b S?= + j? ?= - j? d"où l"on déduit : 2 22n n nS a b= +Les coefficients
na et nb sont alors donnés par les intégrales de Fourier : 2cos 2 sin nT nTa s t n t dtT
b s t n t dtT ?= w? ?= w?Réflexion générale sur les symétries
L"intégrale sur une période d"une fonction impaire est nulle, tandis que l"intégrale sur une période d"une
fonction paire est égale à deux fois l"intégrale de 0 à 2 T : 2 02 0 T T T f t f t f t dt f f t dt f t f t f t dt f= + -Représentation temporelleSpectre de Fourier
nS ()s t t 1- 0T2T T nj ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdauxJLH 30/03/2008 Page 4 sur 25
Parité paire
Si ()s t est une fonction paire, alors ()sins t n tw est une fonction impaire. On en déduit que les
coefficients nb du développement de Fourier en sinus sont nuls pour une telle fonction.Fonction paire :
1 cosn ns t s t s t s a n t = + -?= + w∑Parité impaire
Si ()s t est une fonction impaire, alors sa valeur moyenne s est nulle et, ()coss t n tw étant une
fonction impaire, on en déduit que les coefficients na du développement de Fourier en cosinus sont nuls.Fonction impaire :
1 sinn ns t s t s t b n t = - -?= w∑Remarque : le théorème de Fourier s"énonce de façon encore plus simple lorsqu"il est appliqué à des
fonctions périodiques de variable réelle à valeur complexe.Toute fonction périodique intégrable de période T peut s"écrire sous la forme d"une série,
éventuellement doublement infinie mais toujours convergente, de fonctions exponentielles imaginaires. En posant 2 T pw=, cette série s"écrit : ( )in t n ns t c e w =∑ avec ( )[ ] 1in t nTc s t e dtT - w=∫Les coefficients
nc sont a priori complexes. Si()s t, comme nous l"envisageons, est une fonction réelle, le développement en série complexe
s"identifie au développement en cosinus et sinus de la façon suivante :1 1 1 1
cos sin2 2in tin t in tn n n n n n n n n n n na ib a ibs t c e s a n t b n t s e e ww - w - +( ) ( )= = + w + w = + +( ) ( )( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ en posant0c s=, 2
n n na ibc-= pour 0n> et 2 n n na ibc+= pour 0n<. Nous avons alors * n nc c-=Toujours pour une fonction
()s t réelle, les coefficients nc sont directement liés aux valeurs efficaces nS et à la phase des harmoniques par les relations : 2 2 22arg arg n nn n n n n na bSc c c c- ?= - = j? ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux
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Exemple d"un signal en créneau impair
Analyse de Fourier
Considérons une fonction créneau symétrique d"amplitude b, de valeur moyenne nulle, " en sinus ».
Du fait de sa parité, cette fonction a un développement de Fourier en sinus.Il existe une symétrie supplémentaire : la fonction translatée d"un quart de période est une fonction paire.
Cela implique que les coefficients de Fourier d"ordre pair sont nuls. Tous calculs faits, le développement
en série de Fourier de cette fonction créneau s"écrit : ( ) ( )2 11sin 2 1k
ks t b k t = - w? ?? ?∑ avec 2 14 12 1kbb
k-=p -Le spectre correspond à des valeurs efficaces
2 12 12 2 1
2 12 k kbbS k -= =p - décroissant en 1 n, tandis que les phases ont toutes la même valeur2 12k-pj = - :
( )( )2 1 2 1 12 cos 2 1kk
ks t S k t = - w +j? ?? ?∑ ()s t b+ b- T t nS b spectre en fréquence de la fonction créneau " en sinus » nj ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdauxJLH 30/03/2008 Page 6 sur 25
Synthèse de Fourier
Réciproquement, nous pouvons reconstituer le signal initial en faisant la somme des différentes
harmoniques. Les graphes suivants correspondent aux sommes partielles ()Ns t de la série de Fourier de la fonction créneau, limitées à la somme des N premières harmoniques non nulles, soit : ( )( )( )2 1 2 1114 12 cos 2 1 sin 2 12 1
NN N kk kkbs t S k t k tk-- === - w +j = - w? ? ? ?? ? ? ?p -∑ ∑Au fur et à mesure que nous prenons en compte un plus grand nombre d"harmoniques de rang élevé, nous
observons une convergence de la série vers le signal rectangulaire d"origine. ( )( )( )( )( )114 1 1 1sin 2 sin 6 sin 10 sin 463 5 23as t t t t t()= pn + pn + pn + + pn()p()? ?fondamental + harmonique 3 + harmonique 5 + harmonique 23 Tt 2 T b+ b- ( )( )( )( )34 1 1sin 2 sin 6 sin 103 5as t t t t( )= pn + pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3 + harmonique 5Tt 2 T b+ b- ( )( )( )24 1sin 2 sin 63as t t t( )= pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3Tt 2 T b+ b- ( )( )14sin 2bs t t= pnp fondamental Tt 2 T b+ b- ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdauxJLH 30/03/2008 Page 7 sur 25
Exemple d"un signal triangulaire pair
Analyse de Fourier
Considérons un signal triangulaire symétrique d"amplitude a, de valeur moyenne nulle, " en moins
cosinus ».Du fait de sa parité, cette fonction a un développement de Fourier en cosinus. Il existe une symétrie
supplémentaire : la fonction translatée d"un quart de période est une fonction paire. Cela implique que les
coefficients de Fourier d"ordre pair sont nuls. Tous calculs faits, le développement en série de Fourier de
cette fonction triangle s"écrit : ( ) ( )2 11cos 2 1k
ks t a k t = - w? ?? ?∑ avec ( )2 1228 1
2 1 kaak -= -p-Le spectre correspond à des valeurs efficaces
2 1 2 1224 2 1
2 2 1 k kaaSk- -= =p- décroissant en 21 n, tandis que les phases ont pour valeur2 1k-j = p.
( )( )2 1 2 1 12 cos 2 1kk
ks t S k t = - w +j? ?? ?∑ ()s tT t a+- a-- spectre en fréquence de la fonction triangle " en sinus » nS a nj ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdauxJLH 30/03/2008 Page 8 sur 25
Synthèse de Fourier
Réciproquement, nous pouvons reconstituer le signal initial en faisant la somme des différentes
harmoniques. Les graphes suivants correspondent aux sommes partielles ()Ns t de la série de Fourier de la fonction triangle, limitées à la somme des N premières harmoniques non nulles, soit : ( )( )( )( )2 1 2 122118 12 cos 2 1 cos 2 12 1
NN N kk kkas t S k t k tk === - w +j = - - w? ? ? ?? ? ? ?p-∑ ∑Au fur et à mesure que nous prenons en compte un plus grand nombre d"harmoniques de rang élevé, nous
observons une convergence de la série vers le signal triangulaire d"origine. Cette convergence est bien
plus efficace que dans le cas d"une fonction " créneau ».Remarque : la dérivée de la fonction triangle paire ci-dessus est proportionnelle à la fonction créneau
impaire étudiée précédemment. La pente des triangles a pour valeur44aaT= n.
()( )222 11 cos 2 18 1 8 1sin 2 12 12 1 kk d k tds ta ak tdt dt kk ==- w? ?? ?= - = w - w? ?? ?p p --∑ ∑En posant
2abw=p, nous retrouvons bien le développement de Fourier de la fonction créneau impaire.
Tt 2 T ( )( )( )( )32 2 28 1 1cos 2 cos 6 cos 103 5as t t t t( )=- pn + pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3 + harmonique 5 a+ a- ( )( )( )22 28 1cos 2 cos 63as t t t( )=- pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3 Tt 2 T a+ a- ( )( )128cos 2as t t= - pnp fondamental Tt 2 T a+ a- ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdauxJLH 30/03/2008 Page 9 sur 25
3.3. Puissance, relation de Parseval
Théorème de Parseval
Nous admettrons, sans démonstration, le théorème suivant :La valeur moyenne du carré d"une fonction périodique, aussi bien nommée " carré de sa valeur
efficace », est égale à la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque terme de son
développement en série de Fourier.222 2 2
11 02cosn nn n
nn n s t s S n t s t S s S S= + w + j= + w + j= + w + j= + w + j????= = + == = + == = + == = + =∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
Remarque : si le développement en série de Fourier est exprimé en cosinus et sinus, le théorème s"énonce
de la même façon, les carrés des valeurs efficaces des termes en cosinus et sinus étant respectivement,
avec les notations d"usage, 2 2 na et 2 2quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28