z=a+ib s'appelle la forme algébrique du nombre complexe a : partie réelle Fiche de cours Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2019/ 2020
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Il existe dans C un nombre complexe noté i tel que i²= -1 ; Forme algébrique z = a+ ib • Le réel a s'appelle la partie réelle de z, le nombre réel b s'appelle la
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z=a+ib s'appelle la forme algébrique du nombre complexe a : partie réelle Fiche de cours Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2019/ 2020
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TS - Fiche de cours : Nombres complexes 1 / 4 Nombres complexes Définition - Propriétés Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a+bi
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L'égalité z a ib = + est la forme algébrique du nombre complexe z Partie réelle, partie imaginaire : Le nombre réel a s'appelle la partie réelle de z, le nombre réel
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On considère un nombre complexe z non nul et le plan complexe Soit M le point d'affixe z On appelle alors « argument de z », noté arg z, toute mesure de
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La partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe sont des nombres réels La partie imaginaire de 3 + 2i est 2 et n'est pas 2i Les réels sont les nombres
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Terminale S/ES/STI Mathématiques Fiche n°7 - Nombres complexes Les nombres complexes, écritures et opérations J Paquereau 1/14 Cours : fiche n° 7
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22 jan 2014 · Le conjugué d'un nombre complexe z est noté z = a − ib, Pour tout z complexe, on a : zz = z 2 z + z′ = z
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Terminale S 1 6 π − Un argument de Z est 6 π Le point M d'affixe Z est sur le cercle de centre O z ≠ − , on associe le nombre complexe z' défini par : 4
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3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument − 5 6 Allez à : Correction exercice 5 : Exercice 6 : Etablir les égalités suivantes : 1 (cos( 7 )
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Nombres complexes - Fiche de cours
1. L 'idée des nombres complexes
Résoudre des équations polynomiales de degré n ≥1 Exemple : obtenir 3 solutions pour l'équationx3+x+1=02. Ensemble des nombres complexesIl existe un ensemble noté ℂ
tel que : ℝ⊂ℂ(avec perte de la comparaison)- i∈ℂtel que i2=-13. Nombre complexe
a. DéfinitionUn nombre complexe est défini par :
z=x+iys'appelle la forme algébrique du nombre complexe x : partie réelle notéeRe(z)y : partie imaginaire notée Im(z)
b. Egalité de nombres complexes z1∈ℂz2∈ℂ z1=z2⇔ {Re(z1)=Re(z2) Im(z1)=Im(z2)4. Opérations sur les nombres complexesOn considère les nombres complexes :
z=x+iy et z'=x'+iy' a. La somme La somme complexe de z et z' est définie de ℂ×ℂ→ℂpar : z+z'=x+x'+i(y+y')b. Le produit Le produit complexe de z et z' est défini de ℂ×ℂ→ℂpar : z⋅z'=xx'-yy'+i⋅(x'y+xy')c. Inverse d'un nombre complexe L'inverse d'un nombre complexe z est défini de ℂ*→ℂ*par : 1 z d. Conjugué d'un nombre complexe Le conjugué d'un nombre complexe z est défini de ℂ→ℂpar :¯z=x-iyPropriétés pour
¯¯z=z- z⋅z=x2+y2-
z+z'=z+z'- z⋅z'=z⋅z'- zn=¯zn- (1 z')=1¯z'avecz'≠0
- (z z')=¯z¯z'avecz'≠0
e. Formule du binôme Soient 2 nombres complexes a et b alors pour tout n entier naturel : (a+b)n=∑k=0n(n k)an-k⋅bk 1/4Nombres complexes - Fiche de coursMathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021
https://physique-et-maths.fr5. Equations du second degré∀a∈ℝ* ∀b∈ℝ ∀c∈ℝon définit (E) az2+bz+c=0
Considérons
Δ=b2-4ac- si
Δ>0l'équation (E) admet 2 racines réelles : z1=-b+ 2a - si Δ=0l'équation (E) admet une racine double réelle : z0=-b2a- si
Δ<0l'équation (E) admet 2 racines complexes et conjuguées : z1=-b+i 2a6. Equations polynomiales
Soit le polynôme
P(z)=∑k=0
k=n ak⋅zk- on appelle équation polynomiale de degré n P(z)=0 - un polynôme de degré n admet au plus n racines complexes - P(a)=0⇔P(z)=(z-a)⋅Q(z)Deg(P)=netDeg(Q)=n-1- zn-an=(z-a)∑k=0n-1
ak⋅zn-k-17. Représentation graphique des nombres complexes
Le plan est muni d'un repère orthonormal
(O;⃗u;⃗v)A tout nombre complexe z=x+iyon associe le point M(x;y)Propriétés : - M s'appelle l'image de z - z s'appelle l'affixe de M - soit I le milieu du segment AB ; I pour affixe zI=(zA+zB)28. Forme trigonométrique des nombres complexes
a. Module et argument d'un nombre complexeSoit le nombre complexe
z=x+iyayant pour image M dans le repère orthonormal (O;⃗u;⃗v)On définit le module de z parOn définit un argument de z par
La forme trigonométrique est définie par :z= |z|(cosθ+i⋅sinθ) b. Propriétés des modules et arguments - Modules 2/4Nombres complexes - Fiche de coursMathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021
https://physique-et-maths.fr - Arguments c. Propriétés du conjugué - |¯z|=|z|- arg(¯z)=-arg(z)[2 z⋅¯z=|z|2d. Forme algébrique vers forme trigonométriqueSoit le nombre complexe
z=x+iy=|z|(cosθ+isinθ)- on calcule |z|cosθ=x |z|=Re(z) |z|sinθ=y|z|=Im(z)|z|- on place un point M(cosθ;sinθ)sur le cercle trigonométrique
- on détermine( ⃗u;⃗OM)et l'on indique une valeur de θ9. Notation exponentielle∀θ∈ℝ, on pose eiθ=cosθ+i⋅sinθLa forme exponentielle d'un nombre complexe est définie par :
z= |z|eiθ10. Formules d'Euler2sinθ=ei
θ-e-iθ2i
11. Formule de Moivre
12. Formule de trigonométrie
cos(a+b)=cosa⋅cosb-sina⋅sinb cos(a-b)=cosa⋅cosb+sina⋅sinb sin(a+b)=sina⋅cosb+sinb⋅cosa sin(a-b)=sina⋅cosb-sinb⋅cosa13. Nombres complexes et géométrie
Le plan est muni d'un repère orthonormal
(O;⃗u;⃗v)Soient A, B, C et D des points du plan d'affixes zA,zB, zCet zD 3/4Nombres complexes - Fiche de coursMathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021
https://physique-et-maths.fr a. Affixe d'un vecteur A tout nombre complexe z=x+iyon associe le vecteur ⃗w(x;y)Propriétés : ⃗w s'appelle le vecteur image de z - z s'appelle l'affixe de ⃗w ⃗AB=z⃗AB=zB-zAet ⃗CD=z⃗CD=zD-zC b. Norme d'un vecteur ⃗AB‖=AB=|zB-zA|et ‖⃗CD‖=CD=|zD-zC|c. Argument d'un vecteur arg( ⃗AB)=arg(zB-zA)=(⃗u;⃗AB) [2π] d. Argument de 2 vecteurs arg(⃗AB;⃗CD)=arg(zD-zC zB-zA )=(⃗AB;⃗CD) [2π]14. Racines nième de l'unitéLes solutions de l'équation
zn=1sont les racines nième de l'unité : zk=e2iπk
15. Inégalités triangulaires
∀(z1,z2)∈ℂ2Nombres complexes - Fiche de coursMathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021
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