Terminale S/ES/STI Mathématiques Fiche n°7 - Nombres complexes Les nombres complexes, écritures et opérations J Paquereau 1/14 Cours : fiche n° 7
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Fiche n°7 - Nombres complexes
Les nombres complexes, écritures et opérationsJ. Paquereau 1/14
Cours : fiche n°7 - Nombres complexes
Thème : les nombres complexes, écritures et opérations.Notions abordées Page
1. Notation algébrique et propriétés : définition du corps des complexes et écriture algébrique,
opérations sur les nombres complexes, propriétés. 12. Notation trigonométrique et propriétés : interprétation géométrique, propriétés et notation
trigonométrique ou polaire. 33. Notation exponentielle et propriétés : notation exponentielle, propriétés. 5
4. Equations du second degré : solutions complexes des équations du second degré à
coefficients réels puis à coefficients complexe. 95. Nombres complexes et géométrie : plan complexe, symétries, translations et rotations et
1. Notation algébrique et propriétés
Il existe divers ensembles de nombres : ԳؿԺؿԷؿ Cette notation est qualifiée de forme algébrique.Soit ݖൌܽ݅אܾ
Si ܽ
1.2. Opérations sur les nombres complexes
Partant de la précédente définition, nous pouvons munir ů'ensemble ԧ de plusieurs opérations :
Conjugaison : soitݖൌܾܽ݅
Le conjugué de ݖ est ݖҧൌܽെܾ݅ Addition : soientݖൌܾܽ݅ et ݖԢൌܽԢܾ݅N.B. : cette addition est commutative, i.e. : ݖݖᇱൌݖᇱݖ. Son élément neutre est Ͳ, i.e. : Ͳݖൌݖ. Elle est associative,
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Multiplication : soientݖൌܾܽ݅ et ݖԢൌܽԢܾ݅N.B. : cette multiplication est commutative, i.e. : ݖݖᇱൌݖᇱݖ. Son élément neutre est ͳ, i.e. : ͳൈݖൌݖ et son élément
Multiplication par un scalaire : soitݖൌܾܽ݅ Egalité : soientݖൌܾܽ݅ et ݖԢൌܽԢܾ݅ On dit que ݖൌݖǯ si et seulement si ܽൌܽǯ et ܾൌܾExemple : soient ݖൌହା
ଷ݅ deux nombres complexes.On a : ݖൌହା
Les conjugués de ݖ et ݖǯ sont respectivement : ݖൌହ La somme de ݖ et ݖǯ est : ݖݖᇱൌହ Le produit de ݖ et ݖǯ est : ݖݖᇱൌቀହ Autre exemple : mettre ݖൌହା1.3. Propriétés
(ii) Soitݖאԧ, alors : ݖݖҧൌʹܴ définition du nombre conjugué.(ii) ݖݖҧൌܾܽ݅ܽെܾ݅ൌܽܽൌʹܽ
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2. Notation trigonométrique et propriétés
2.1. Interprétation géométrique et notation trigonométrique
A gauche, on a représenté le nombre complexe ݖ dans le plan complexe. On ordonnées. de nouvelle caractéristique des nombres complexes :Remarque !
A partir de cette interprétation géométrique précédente, on peut formuler quelques remarques. nombre ݖא trigonométrique. Plus généralement, un nombre complexe ݖא comme un point du cercle de centre le planCeci nous donne à voir les nombres complexes
déduit les propriétés formulées ci-après.Terminale S/ES/STI
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2.2. Propriétés
qualifiée de forme trigonométrique ou forme polaire. par définition du nombre conjugué. (iv) On rappelle que pour tous réels ߠ et ߠIl vient que :
Exemple : soient ݖൌିଵା trigonométrique et leur somme sous forme algébrique.Mettre ݖ sous forme trigonométrique :
Mettre ݖԢ sous forme trigonométrique :
Mettre leur somme sous forme algébrique :
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Remarque ! Pour passer de la forme algébrique à la forme " trigo », on essaie de faire
apparaître un cosinus et un sinus remarquables (à retenir).3. Notation exponentielle et propriétés
3.1. Notation exponentielle
Nous admettrons le résultat qui suit, lequel peut être démontré grâce à une notion hors programme,
celle de développement en série de Taylor : En multipliant chacun des membres de cette égalité parǡݎא des nombres complexes : Exemple : soient ݖൌିଵା exponentielle. Nous avons déjà montré que ݖൌܿ ସቁ et ݖᇱൌͷ൬ܿ ర et ݖᇱൌͷ݁Autre exemple : soit ݖൌͳʹ݁
ల un nombre complexe. Mettre ݖ sous forme algébrique.On a : ݖൌͳʹ݁
3.2. Propriétés
A partir de la notation exponentielle, nous pouvons construire quelques propriétés :ȁ௭ȁ et ܽ
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ȁ௭ᇲȁ et ܽ
Module et argument du conjugué inverse : soit ݖאPreuves :
Soit ݖǡݖԢא
Il vient que ଵ
On peut procéder comme ci-dessus ou classiquement remarquer que ௭ ௭ᇲ . On applique alors les deux formules précédentes :Intuitivement, on a :
Plus formellement, essayez-vous à prouver ces formules par récurrence.Terminale S/ES/STI
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Module et argument du conjugué :
Graphiquement, cette propriété est assez évidente. Il suffit de tracer un (graphique représenté à droite, extrait de Wikipédia).Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ
Module et argument du conjugué :
Graphiquement, cette propriété est elle-aussi évidente. Il suffit de tracer un nombre complexe ݖ et son
Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ
Formule de Moivre :
notation qui nous arrange quand cela nous arrange, la tentation de procéder à une démonstration
et cosinus sont respectivement des fonctions impaires et paires, etc. Toute astuce est toujours bonne
à prendre et surtout à retenir !
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plus exigée en terminale. Malgré tout, les futurs étudiants que vous êtes peut-être ont
Idée : représenter ͵͵݅ et െെʹξ͵݅ dans le plan complexe.
Or : ଷ
N.B. : cette transformation est appelée une linéarisation. Elle est particulièrement utile afin de pouvoir facilement intégrer
coefficients ቀ݊Terminale S/ES/STI
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Finalement on a : ܿ
savoir que ݔאque pour tout ݔ réel positif, voire pour tout ݔ complexe, le carré de racine de ݔ est égal à ݔ.
Pareillement, on peut définir la racine ݊-ième de ݔ, notée ξݔ, en tant que réciproque de ݔ.
Formellement, on a : ݔא
4. Equations du second degré
4.1. Solutions complexes des équations du second degré à coefficients réels
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mémoire flanche, je vous invite à consulter la fiche de cours n°1 afin de vous rafraîchir la mémoire. Nous
nous intéressons à présent aux solutions ݔ où ݔאԧ et non plus ݔאOn appelle équation du second degré complexe à coefficients réels une équation de la forme :
complexes de (E) (ݔאԧ) diffèrent des solutions réelles (ݔא où ߂ൌͲ, on a ߜSi ȟͲ, ܵ
Si ȟൌͲ, ܵ
Preuve : soient ߙ
On constate que :
On peut ainsi retenir le résultat remarquable suivant :Terminale S/ES/STI
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Avec : ߜ
4.2. Solutions complexes des équations du second degré à coefficients complexes
hors programme de terminale. Elle est présentée ici à titre informelle.On appelle équation du second degré complexe à coefficients complexes une équation de la forme :
La résolution de telles équations est tout à fait similaire à celles présentées en 4.1. Toute la difficulté de
suivant la méthode expliquée en 4.1. On cherche alors à calculer le discriminant réduit אߜԧ tel que ߜDès lors ߜ
Le discriminant vaut οൌ൫ξʹ݅െͳ൯On cherche אߜԧ tel que ߜ
On note ߜ sous forme algébrique, alors : ߜൌ݉݅݊ avec ݉ǡ݊אAlors : ߜ
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Par identification, il vient que :
degré réelle que nous savons fort bien résoudre. Les solutions de cette équation sont finalement ܯ On a donc : ߜൌͳξʹ݅ݑߜOn choisit arbitrairement que ߜ
5. Nombres complexes et géométrie
5.1. Plan complexe
de formaliser cette notion : complexe ݖאԧ, ݖൌݔ݅ݕ, par un point ܯ du point ܯ5.2. Symétries, rotations et translations
Nous avons déjà prouvé les propriétés suivantes quoique nous les avions énoncées de manière peu
géométrique. En voici une formulation plus géométrique : de ܣTerminale S/ES/STI
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rotation de ߠ de ܣ5.3. Problèmes de géométrie
géométrie faisant ou pouvant faire intervenir les nombres complexes. Ces propriétés ne sont pas
spécialement à retenir. Il convient surtout de bien les comprendre, elles et leur démonstration, afin que
vous puissiez prouver vous-même des propriétés similaires. De plus, on sait que ݖǡݖᇱאԧǡܽ