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Universit

e Bordeaux 1 Master de Mathematiques Le 21 Novembre 2008Devoir surveille et son corrige, Analyse Fonctionnelle

Duree : 3h

Exercice 1 :Montrer que les operateurs suivants sont continus et calculer leurs normes. (a)T1:`2!`2,T1((xn)n0) = (xn+1)n0. Evidemment,T1est lineaire. En eet,pourx= (xn);y= (yn)2`2et;2Ron a [T1(x+y)]n=xn+1+yn+1=[T1(x)]n+[T1(y)]n.T1est donc continu ssi il est borne. On a kT1(x)k2` 2=1X n=1jxnj21X n=0jxnj2=kxk2 et doncT1est continu aveckT1k 1. Soitekl'element (kn)n0de`2. DekT1e1k= ke2k= 1 =ke1kon deduitkT1k= 1. (b)T2:L2([0;1])!C,T2(f) =R1

0x2f(x)dx.

On remarque queT2f= (fjg) oug(x) =x2.T2est donc lineaire et par l'inegalite de Cauchy-Schwarz on a queT2est continu aveckT2k kgk2=1=p5 . Si l'on choisit f(x) =g(x) =x2on obtientkT2fk=1=5=1=p5 kfket donckT2k=1=p5 (c)T3:L1([0;1])!C,T3(f) =R1

0x2f(x)dx.

Par la linearite de l'integrale,T3est lineaire. Observons que jT3(f)j sup x2[0;1]jf(x)jZ 1 0 x2dx=1=3kfk et donc queT3est continu aveckT3k 1=3. Sif1 cette valeur est atteinte, d'ou kT3k=1=3. Exercice 2 :Soit (E;d) un espace metrique etKEun compact non vide. (a)Montrer que pour toutx2E,fxgest un ferme.

Observons quefxg=T

n1Bf(x;1=n).Etant une intersection de fermes,fxgest ferme.

(b)Montrer que(K;d)est un espace metrique complet.Evidemment,Kherite la distance deE, (K;d) est donc un espace metrique. Tout

recouvrement d'ouverts deK(dans la topologie induite!) donne un recouvrement d'ouverts deKdansEdont on peut choisir un recouvrement ni par la compacite deKdansE. On vient de verier queKest un espace metrique compact. Par un theoreme du cours (voir aussi le DM1) on sait que (K;d) est donc un espace metrique complet. (c)On suppose desormais queKest denombrable; on peut donc ecrireK=S j2Nfxjg. Montrer qu'il existe unj0tel quefxj0gest un ouvert deK(pour la topologie induite).PuisqueAj=fxjgest ferme, et (K;d) est un espace metrique complet tel queK=S jAjil y a par le theoreme de Baire unAjdont l' interieur est non vide. Cela dit clairement qu'il existe unj0tel quefxj0gest un ouvert de (K;d). (d)En deduire queKpossede un point isole dansE;c'est-a-dire qu'il existe un rayon r >0et unx2Ktel que l'on ait (dansE) fxg=B(x;r)\K: On vient de voir qu'il existe unj0tel quefxj0gest un ouvert deKpour la topologie induite, ce qui veut dire qu'il existe un" >0 ety2Etel quefxj0g=K\B(y;"). En remarquant quexj02B(y;") l'inegalite triangulaire montre l'existence d'un rayonr >0 ( il sut de prendrer 0 il existe un M "tel que pour toutn;mM"on aitkxnxmk1"=2. Par convergence des (j;n)npour toutj2Nil existe unmjM"tel quejj;njj "=2. Les deux estimations ensemble entra^nent que jj;njj jj;nj;njj+jj;njjj kxnxnjk1+"=2" pour toutnM". Cette estimation est independante dej, on a donckxnxk1" pour toutnM". Ceci montre que`1est un espace de Banach. Montrons maintenant quec0est un sous-espace ferme de`1. Soit (xn) une suite dansc0qui converge versx2`1dans la norme sup. On montre quex2c0: Soit " >0. Il existe unNtel quekxxNk1"=2 et il existe (pour cetN) unk"tel quejN;jj "=2 pour toutjk". Donc : jjj jjj;Nj+jj;nj kxxNk1+"=2" pour toutjk". Ceci montre bien quex2c0. (b)Quelle est l'adherence dec0dans`1?// Puisquec0est ferme,c

0`1=c0.

(c)Montrer quec00est dense dansc0:Est-ce quec00est dense dans`1? Soitx= (j)2c0etxn= (1;:::;n;0;0;:::).Evidemment,xn2c00et puisque kxxnk= supj>njjj, le fait quex2c0entra^ne la convergence dexnversx en norme sup. Doncc00est dense dansc0. Puisquec0est un ferme de`1,c00 ne peut pas ^etre dense dans`1(un autre argument est de montrer que la suite

1= (1;1;1;:::) ne se laisse pas approcher dansc00puisquek1xk11 pour

x2c00). (d)Est-ce quec0est separable?Oui. Poury2c0et un" >0 donne il sut de choisir un elementxdec0dont tous les coordonnes sont rationnelles et qui satisfait kxyk1< "=2. Maintenant la construction desxnde (c) donne une suite qui, pournsusamment large, approcheya"pres en norme. L'ensemble des suites nis rationnelles est donc dense. En plus, il est denombrable etant une union denombrable d'ensembles denombrables : c

00\QN=[

n2NQ n

II)Soit(X;d)un espace metrique et

Xune partienon denombrabletelle que

d(x;y)1 pour toutx;y2 ; x6=y: (a)Supposons queEest une partie dense dansX. Montrer que pour toutx;y2 , il existeex;ey2Etels qued(ex;ey)1=3:

Il sut de choisir pour toutx2

unex2Etel quekxexk 1=3. L'assertion ecoule de l'inegalite triangulaire! (b)En deduire queEn'est pas denombrable.Evidemment, pourx;y2 on aex6=eypuisque leur distance est m^eme minore par 1=3. On observe donc, que e

E=fex:x2

g E denit une partie non denombrable deE, d'ou l'assertion. III) (a)SoitP(N)l'ensemble de toutes les parties deN:Montrer queP(N)est non denombrable (indication : si:N!P(N)est une bijection, considererA=fn2N;n62(n)g etn02Ntel que(n0) =A). On observe que,par construction deAon an02Assin06inAce qui est contra- dictoire! (b)Pour chaque partie non videA2P(N), on denit la suite(xA(n))npar x

A(n) = 1 sin2AetxA(n) = 0 sin =2A:

Quelle est la distance dans`1entrexAetxB?

Bien evidemment,kxAxBk1=jABjouAB= (AnB)[(BnA) est la dierence symetrique deAetB. En particulier on akxAxBk11 siA6=B. (c)En deduire que`1n'est pas separable.L'ensemble =P(N) est non-denombrable d'apres III (a) qui satisfait les hypotheses de II. Une partie quelconqueEqui est dense dans`1ne peut donc pas ^etre denombrable ce qui veut dire :`1n'est pas separable. FINquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3