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Universit
e Bordeaux 1 Master de Mathematiques Le 21 Novembre 2008Devoir surveille et son corrige, Analyse Fonctionnelle
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Exercice 1 :Montrer que les operateurs suivants sont continus et calculer leurs normes. (a)T1:`2!`2,T1((xn)n0) = (xn+1)n0. Evidemment,T1est lineaire. En eet,pourx= (xn);y= (yn)2`2et;2Ron a [T1(x+y)]n=xn+1+yn+1=[T1(x)]n+[T1(y)]n.T1est donc continu ssi il est borne. On a kT1(x)k2` 2=1X n=1jxnj21X n=0jxnj2=kxk2 et doncT1est continu aveckT1k 1. Soitekl'element (kn)n0de`2. DekT1e1k= ke2k= 1 =ke1kon deduitkT1k= 1. (b)T2:L2([0;1])!C,T2(f) =R10x2f(x)dx.
On remarque queT2f= (fjg) oug(x) =x2.T2est donc lineaire et par l'inegalite de Cauchy-Schwarz on a queT2est continu aveckT2k kgk2=1=p5 . Si l'on choisit f(x) =g(x) =x2on obtientkT2fk=1=5=1=p5 kfket donckT2k=1=p5 (c)T3:L1([0;1])!C,T3(f) =R10x2f(x)dx.
Par la linearite de l'integrale,T3est lineaire. Observons que jT3(f)j sup x2[0;1]jf(x)jZ 1 0 x2dx=1=3kfk et donc queT3est continu aveckT3k 1=3. Sif1 cette valeur est atteinte, d'ou kT3k=1=3. Exercice 2 :Soit (E;d) un espace metrique etKEun compact non vide. (a)Montrer que pour toutx2E,fxgest un ferme.Observons quefxg=T
n1Bf(x;1=n).Etant une intersection de fermes,fxgest ferme.(b)Montrer que(K;d)est un espace metrique complet.Evidemment,Kherite la distance deE, (K;d) est donc un espace metrique. Tout
recouvrement d'ouverts deK(dans la topologie induite!) donne un recouvrement d'ouverts deKdansEdont on peut choisir un recouvrement ni par la compacite deKdansE. On vient de verier queKest un espace metrique compact. Par un theoreme du cours (voir aussi le DM1) on sait que (K;d) est donc un espace metrique complet. (c)On suppose desormais queKest denombrable; on peut donc ecrireK=S j2Nfxjg. Montrer qu'il existe unj0tel quefxj0gest un ouvert deK(pour la topologie induite).PuisqueAj=fxjgest ferme, et (K;d) est un espace metrique complet tel queK=S jAjil y a par le theoreme de Baire unAjdont l' interieur est non vide. Cela dit clairement qu'il existe unj0tel quefxj0gest un ouvert de (K;d). (d)En deduire queKpossede un point isole dansE;c'est-a-dire qu'il existe un rayon r >0et unx2Ktel que l'on ait (dansE) fxg=B(x;r)\K: On vient de voir qu'il existe unj0tel quefxj0gest un ouvert deKpour la topologie induite, ce qui veut dire qu'il existe un" >0 ety2Etel quefxj0g=K\B(y;"). En remarquant quexj02B(y;") l'inegalite triangulaire montre l'existence d'un rayonr >0 ( il sut de prendrer