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Examen d"analyse num´erique

Aucun document n"est autoris´e. L"usage de la calculatrice est interdit. La dur´ee de l"examen est de 3h.

Exercice 1Soient

A=1 1 1 1

1 1 2 3

2 2 4 4

2 3 3 3y=(

((4 3 2 1)

1) R´esoudre le syst`emeAx=y.

2) La matriceAest-elle d´ecomposable sous formeLU? Si oui donner sa d´ecompo-

sition.

Exercice 2On se place sur l"intervalle [0,1].

1) Donner les expressions des 3 polynˆomes d"interpolation de Lagrange de degr´e 2

(donc pour les points 0,1/2,1).

2) Donner les expressions des 3 polynˆomes d"interpolation de Bernstein de degr´e 2.

3) Soitn?N?,f?C([0,1]). On pose

f n(x) =n-1? k=0(f(k/n) + (nx-k)(f((k+ 1)/n)-f(k/n)))I[k/n,(k+1)/n[.

Prouver que

sup o`uωest le module de continuit´e defdont on donnera la d´efinition.

4) On suppose maintenant quef?C2([0,1]), montrer qu"il existeCtelle que?n

sup 2.

Exercice 3On d´esire approcher?1

0f(x)dxpar l"expression suivante

S n=n-1? k=01n f(k/n).

1) On suppose quefest continue sur [0,1]. Rappeler la d´efinition de continuit´e

uniforme et pourquoifest ´egalement continue uniform´ement sur [0,1].

2) Montrer queSnconverge vers?1

0f(x)dx.

3) On suppose d´esormais quef?C∞([0,1]).

i) Prouver que 1 0 f(x)dx-Sn=n-1? k=0? (k+1)/n k/n (f(x)-f(k/n))dx. ii) Montrer que (k+1)/n k/n (f(x)-f(k/n))dx=? (k+1)/n k/n? k+ 1n -y? f ?(y)dy.

4) Prouver que

(k+1)/n k/n? k+ 1n -y? f ?(y)dy-f?(k/n)2n2? et que ?????12n? (k+1)/n k/n f?(x)dx-12n2f?(k/n)? 1 2

5) En conclure que sif(0) =f(1) alors?????

1 0 f(x)dx-Sn? 2.

On remarquera dans ce cas que

?1

0f?(x)dx= 0.

Exercice 4On s"int´eresse `a l"´equation diff´erentielle suivante dxdt = (x(t))2x(0) = 1. On choisit une m´ethode d"Euler explicite et l"on d´efinit donc la suiteun(k) par r´ecurrence avec u n(0) = 1, n(un(k+ 1)-un(k)) = (un(k))2, pour tout entiernfix´e.

1) D´emontrer que la suiteun(k) est croissante enk.

2) On d´efinitvn(k) =un(k)(1-k/n) pourk < n.

i) Prouver que v (vn(k)-1).

3) Prouver qu"il existeC >0 telle que?n,?k < n/2

4) On posex(t) = 1/(1-t). V´erifier quexest bien une solution de l"´equation

diff´erentielle.

5) Prouver que pourk < n-1

n(x((k+ 1)/n)-x(k/n)) = (x(k/n))2×?

1-1n-k-1?

6) Conclure qu"il existeC?telle que?n,?k < n/2

On d´emontrera tout d"abord que

|un(k)-x(k/n)|+2C2n 2.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28