F '(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf en a L'équation de la Exemple : la fonction f(x) = x admet une tangente verticale en 0 Enfin, si lim h → 0+
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Dans ce cas la courbe de f admet une tangente au point A a,f(a) d'équation ca A(a,f(a)) une tangente horizontale f x a f x a à droite verticale ha f(x) f(a) Si lim
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4 mar 2011 · Si τx(h) admet une limite infinie en 0+ ou en 0−, on dit que la courbe de f admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse x Exemple :
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tangente verticale dirigée vers le haut x0 (respectivement vers le bas) Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle: ✓ f est dérivable sur ]a,b[ si et seulement si f
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Une demi- tangente verticale à droite au point 0 0 ; A x f x dirigée vers le bas f n'est pas dérivable à droite en 0 x 0 0 0 lim x x f x f x
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2) Déterminer le point B de C(f) où la tangente est parallèle à la droite δ d' équation y = x-1 3) Déterminer admet une demi-tangente verticale à droite de ( 1,0)
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Tangente et dérivée 1 U ne droite D est tangente au cercle C au point A si le cercle C et La courbe de la fonction f(x) = x adm et une tangente verticale en 0
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Si la limite du taux d'accroissement est infinie, alors la courbe représentative de f possède en x0 une tangente verticale d'équation x = x0 0 f M0 On résume cela
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asymptote verticale à la courbe f • Si I est Cf admet une demi-tangente de pente au point d'abscisse a demi-tangente verticale au point d'abscisse a
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quement, on peut voir interpréter cela comme une demi-tangente verticale z À retenir Les fonctions valeur absolue et racine ne sont pas dérivables en 0
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DERIVATION
ConnuNotion de dérivée
Formules de dérivation - à revoir
A connaître
Dérivabilité => continuité ( ?)
Sens de variation
Extremum local
Méthode et exercices
Formules standards de dérivation
Déterminer un max/min - optimisation
Fonction tangente et fonctions trigo
Dérivée de fonction composées
Position d"une courbe % tangente
I NOMBRE DERIVE
1) dérivée en un point.
f est une fonction définie sur un intervalle I ouvert. a є I et h est tel que a + h є I.Si le taux de variation f(a + h) - f(a)
h tend vers une limite finie L quand h tend vers 0, Alors on dit que f est dérivable en a et on note L = f "(a) le nombre dérivé de f en a.Notation
Si on peut dériver plusieurs fois une fonction, on note f (n) la nième dérivée de f2) Interprétation graphique
F "(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf en a. L"équation de la tangente est donnée par la formule : y = f"(a) (x - a) + f(a) Preuve : f"(a) est le coefficient directeur de cette droite, de plus elle passe par (a, f(a))3) Interprétation numérique
On peut avoir une approximation de f(a + h) quand h est petit : f(a + h) = f(a) + h.f"(a) + h.є(h) où limh ® 0є(h) = 0 On dit que l"on fait une approximation affine de f(a + h) quand h est petit.4) Ecriture différentielle
En un point x de I de sorte que x + h є I, on note de plus (à la physicienne) : ∆y = f(x + h) - f(x) et ∆x = h Alors ∆y = f"(x) ∆x + ∆x є(∆x)On écrit alors :
dy = f"(x) dx ou dy dx = f"(x)5) Dérivation - continuité
On dit qu"une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle l"est en chacun de ses points. Théorème : une fonction dérivable est continue. MAIS LA RECIPROQUE EST FAUSSE.Preuve
si f "(a) existe alors le taux de variation tend vers 0. En particulier il est nécessaire pour que cette
limite soit réelle que son numérateur tende vers 0 soit lim x ® af(x) = f(a), c"est-à-dire que f est continue en aContre exemple : montrer que f(x) =
x n"est pas dérivable en 0II FORMULES USUELLES DE DERIVATION
1) Tableau à connaître
f(x) f"(x) Intervalle de dérivationλ (constante) 0 R
x 1 R xn (n є IN) nxn - 1 R 1 x -1 x² R* x 12x R*+
Sin (x) Cos (x) R
Cos (x) - sin (x) R
Remarque :
la dérivée de x -> xn est donnée pour n є IN. Néanmoins, elle reste valable pour n є ZZ et x є R*
2) Opérations sur les fonctions et dérivation
u, v sont des fonctions dérivables sur I. λ est une constante.Si une fonction est construite à partir de somme, produit, quotient, on utilise les formules suivantes :
u + v est dérivable sur I et (u + v)" = u" + v"u.v est dérivable sur I et (u.v)" = u"v + v"u (noter que puisque u.v = v.u, on a bien (u.v)" = (v.u)"
u v est dérivable sur I et ( u v )" = u".v - v"u v² ( formule non symétrique)Conséquences :
des cas particuliers (λu)" = λ.u" (1 v )" = -1v² (u²) = 2u"u (1 xn)" = -n xn + 1Exemple :
prouver que x→x x est dérivable sur [0 ;+[3) Composition
Si u est dérivable au point x et v au point b avec u(x) = b, Alors v o u est dérivable au point x et (v o u)" (x) = u"(x). (v" o u) (x)Exemple :
f(x) = 3x + 5 définie sur ]-3 5On pose u(x) = 3x + 5 et v(x) =
x avec u"(x) = 3 et v"(x) = 12x d"où f "(x) = 3
23x + 5
Autre exemple :
(u n)" = n.u".un - 1 pour n є IN*. (u)" = u" 2u (preuve : par composition, également par récurrence)III UTILISATION DE LA DERIVEE
1) Sens de variation :
f est dérivable sur [a ;b]. (a < b) Si f "(x) > 0 pour tout x de ]a ;b[, alors f est strictement croissante sur [a ;b]. Si f "(x) < 0 pour tout x de ]a ;b[, alors f est strictement décroissante sur [a ;b]. Si f "(x) = 0 pour tout x de ]a ;b[, alors f est constante sur [a ;b].Preuve : dans le cas f"(x) > 0
On étudie le taux de variation lim
h ® 0+ f(x + h) - f(x) h. Ce nombre étant positif,et h étant positif, on a :f(x + h) - f(x) >0 autrement dit f(x + h) > f(x) si h > 0 (ou si x + h> h), ce qui est la définition de la
croissance de fExemple :
Soit f(x) = x². Alors f est dérivable sur R et f"(x) = 2x. f "(x) > 0 sur ]0 ;+∞[ donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[ f "(x) < 0 sur ]-∞ ; 0[ donc f est strictement croissante sur ]-∞ ; ] Remarque : ces propriétés restent valables si f " s"annule en quelques points seulement2) Extremum local :
Dire que f (définie sur I) admet un maximum en x0 є I, c"est dire quePour tout x de I, on a f(x) ≥ f(x
0)On définit de même
le minimum en x0.Remarques :
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Un maximum, des maxima.
Il faut parfois réduire l"intervalle d"étude, pour parler d"extremum local :Exemple :
f est définie dur [-3 ; 6] f(1) = 1,2 est maximum local (sur [-1 ; 5] par exemple de la fonction f(4) = -4,8 est minimum de la fonction Théorèmes : f est dérivable sur I, et x0 є I Si f admet un extremum local en x0, alors f "(x0) = 0 Si f"(x0) s"annule en changeant de signe, alors x0 est un extremum local pour f · si f "(x) est négatif puis positif, alors f(x0) est un minimum local pour f · si f "(x) est positif puis négatif, alors f(x0) est un maximum local pour f. Remarques si f ' ne change pas signe, le résultat n"est pas valable : f(x) = x3 et f"(x) = x² s"annule en 0, mais f(0) = 0 n"est pas un extremum local de la
fonction3) Les tangentes
On a vu que le coefficient directeur de la tangente à Cf en a est donné par f"(a) En particulier, si f "(a) = 0 , la courbe admet une tangente horizontale en (a, f(a))Exemple : la fonction f(x) = x
3 admet une tangente horizontale en 0
De plus, si f(a) est défini mais que lim
x ® af "(x) = +-∞ alors la courbe admet une tangente verticale en (a, f(a))Exemple : la fonction f(x) =
x admet une tangente verticale en 0Enfin, si lim
h ® 0+ f(x + h) - f(x) h et limh ® 0- f(x + h) - f(x) h existent mais sont différentes, on dit que la fonction admet un point anguleux. Exemple : la fonction f(x) = |x| admet un point anguleux en (0 ;0)4) Position de la courbe par rapport à la tangente
Si f "(x0) = 0 alors
· si f(x0) est un maximum local alors la tangente est au dessus de la courbe. · si f(x0) est un minimum local alors la tangente est en dessous de la courbe. · Si f "(x0) s"annule sans changer de signe, alors la courbe traverse la tangente.Si f "(x
0) 0 alors la position relative est déterminée par f "" (x0) (si ce nombre existe !)
· si f "" (x0) > 0 alors la courbe est au dessus de la tangente. (fonction convexe localement) · si f "" (x0) < 0 alors la courbe est en dessous de la tangente. (fonction concave localement)· si f "" (x0) = 0 on ne peut pas conclure, il faudrait ensuite s"intéresser aux dérivées successives de f.
fonction convexe fonction concave