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Cercle passant par 3 points (Obs. Lyon - phm - 2006/02/05 - cercle_3pts.wpd) 1/2 P 2 C 1 P M P M' 3 y = a'x+b' y = ax+b

Centre et rayon d'un cercle

passant par trois points donnés (Phm 2006/02/05) Quand on traite des images du Soleil ou de la Lune, il est souvent nécessaire de m e surer sur ces im ages (num

ériques ou non), la

postion du centre et les diam

ètres.

Le Soleil et la Lune étant assimilé à des cercles, la mesure de trois points permet de définir ces valeurs par un calcul algébrique à partir de formules assez élémentaires. Ceci revient à rechercher les éléments d'un cercle circonscrit à un triangle. L'utilisation de ces formules algébriques dans un tableur permet de traiter un plus grand nombre de données sans avoir à refaire les calculs à chaque fois.

I - Formules algébriques

Soit trois points non alignés :

P1 (x 1 , y 1 ) ; P 2 (x 2 , y 2 ) ; P 3 (x3 , y 3 Le centre du cercle est à l'intersection des médiatrices de segments P 1 P 2 et P 2 P 3 On calcule les pentes et les ordonnées à l'origine des deux médiatrices a et b médiatrices du segment P 1 P 2 et a' et b' pour P 2 P 3 Le centre du cercle est à l'intersection des deux droites et yaxbyaxb'' de coordonnées : xbb aa yaxb c cc

Le rayon du cercle vautRxx yy

cc c 1212
Calcul des coefficients des droites médiatrices

Pou P1

P 2 la droite médiatrice passe par le point milieu du segment de coordonnées et xx 21
2 yy 21
2 sa pente vaut l'inverse changé de signe de la droite passant par les deux points : axx yy 21
21
et son ordonnée à l'origine : bxxxx yyyy xxyy yy 2121

2121 22122212

21
222

Il en est de même pour la médiatrice de P

2 P 3 : axx yy' 32
32
et son ordonnée à l'origine : b xx xx yyyy xxyy yy'()() 3232

3232 32223222

32
222

On a donc les expressions des coordonnées du centre du cercle en fonction des coordonnées des points :

et xxxyy yyxxyy yy xx yyxx yy c

32223222

3222122212

21
21
2132
32

22() ()

yxx yyxxxyy yy cc 21
2122
12 22
12 21
2( ) Cercle passant par 3 points (Obs. Lyon - phm - 2006/02/05 - cercle_3pts.wpd) 2/2

Nota : le choix de l'ordre des points du triangle pour les segments peut avoir une incidence sur le calcul. Dans un triangle

dont un côté est parallèle à l'axe des abscisses, choisir ce côté comme un des segments entraîne une division par zéro. Dans

ce cas, il faut choisir les deux autres côtés.

Dans le cas particulier de deux côtés parallèles aux abscisses et ordonnées, le centre du cercle a pour coordonnées

en abscisse : la moyenne des abscisses non égales des points, en ordonnée : la moyenne des ordonnées non égales des points.

II - application dans un tableur (Excel ou autre)

Le fichier cercle_3pts.xls contient sur la ligne n o

5, les cellules où l'on rentre les abscisses et ordonnées des trois points.

Les cellules H5, I5 et J5 donnent la position du centre (x c et y c ) et le rayon du cercle (r c

Tableau et formules excel

Formules des cellules H5, I5et J5

H5 =((F5^2-D5^2+G5^2-E5^2)/(2*(G5-E5))-(D5^2-B5^2+E5^2-C5^2)/(2*(E5-C5)))/((F5-D5)/(G5-E5)-(D5-B5)/(E5-C5))

I5 =-(D5-B5)/(E5-C5)*H5+(D5^2-B5^2+E5^2-C5^2)/(2*(E5-C5))

J5 =RACINE((B5-H5)^2+(C5-I5)^2)

Tout changement de position des cellules dans la feuille doit être suivi d'une adaptation des indices des rangs et colonnes

dans les formules. Suivant le déplacement, cette adaptation est automatique. Pour de nouveaux cercles, remplir les données des cellules B6 à G6, B7 à G7.... Pour appliquer les formules aux nouvelles cellules de données - sélectionner les cellules H5 à J5 - pointer le petit carré en bas à gauche de la sélection, une petite croix apparaît,

- bouton gauche appuyé, faire glisser les cellules vers le bas, d'un ou plusieurs rangs suivant les données.

Les formules sont alors transférées et adaptées automatiquement pour le décalage des rangs.

Cellules à sélectionner

Pointer à la souris

le petit carré

Données d'un nouveau cercle

Les cellules et formules peuvent être recopiées en d'autres endroits de la feuille ou dans d'autres feuilles de calcul. Bien faire

attention à préserver les adresses relatives des 3 points par rapport aux cellules de calcul de formules .

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