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Construction de cercles donnes par trois conditions

Daniel Perrin

1 Introduction

Le but de ce texte est d'examiner la construction de cercles du plan euclidienPdonnes par trois conditions. Cet objectif est essentiellement geometrique, mais pour comprendre la problematique du sujet (et notam- ment le pourquoi du nombre 3 de conditions) il faut se souvenir qu'un cercle du plan a une equation de la forme : x

2+y22x2y+

= 0 ou le pointO= (;) est le centre du cercle et ou le rayon est donne par la formuleR2=2+2 . Cela montre que l'espace des cercles est (une variete) de dimension 3, precisement, c'est l'ouvert deR3forme des triplets ) tels que2+2 >0. Les conditions auxquelles peut ^etre soumis un cercle peuvent ^etre de dierentes natures. Nous nous limiterons ici a deux types de conditions : le cercle passe par un point donne, le cercle est tangent a une droite donnee. On peut en imaginer bien d'autres (par exemple ^etre tangent a un cercle donne, voire a une courbe donnee, etc.).

1.1 Proposition.1) L'ensemble des cercles dePpassant par un pointm2

Pest l'intersection de

avec un plan aneHdeR3. C'est un ouvert non vide deH.

2) L'ensemble des cercles dePtangents a une droite donneeDest l'in-

tersection de avec une quadriqueQdeR3. C'est un ouvert non vide de Q. Demonstration.1) Posonsm= (X;Y). Les cercles cherches correspondent aux triplets (;; ) veriantX2+Y22X2Y+ = 0 et cette equation est lineaire en;; donc denit un plan deR3. Dans ce plan, c'est un ouvert non vide (si l'on xe;il y a un unique solution).

2) On peut choisirY= 0 comme equation deD. Le cercle deni par

) est alors tangent aDsi et seulement si son rayon est egal a la distance du centre aD, donc si l'on ajj=Rou encore2=R2, soit 1 2= . Cette equation etant de degre 2 est celle d'une quadrique (ici un cylindre a base parabolique). Tout point de cette quadrique veriant6= 0 donne un cercle convenable.

1.2Remarque.On montre que l'ensemble des cercles tangents a un cercle

donne est l'intersection de et d'une quadrique. Par exemple, si le cercle donne est de centre (0;0) et de rayonRles cercles tangents sont donnes par

4R2(2+2

R2)2.

1.3 Commentaire.L'ensemble des cercles veriant trois conditions du type

ci-dessus est donc l'intersection de trois surfaces (plans ou quadriques) et il est, en general, ni (et de cardinal8). On peut donc legitimement se poser la question de construire (a la regle et au compas) le ou les cercles veriant trois de ces conditions.

2 Cercles passant par trois points

Le resultat est bien connu :

2.1 Proposition.SoientA;B;Ctrois points distincts deP.

1) SiA;B;Csont alignes il n'y a aucun cercle passant parA;B;C.

2) SiA;B;Cne sont pas alignes, il y a un unique cercle passant par

A;B;C: le cercle circonscrit au triangleABC.

Demonstration.C'est bien connu! Le ressort de la preuve est le lemme sui- vant :

2.2 Lemme.Les centres des cercles passant par deux pointsA;Bdistincts

sont les points de la mediatrice de[AB]. Pour un centre donne il y a un unique cercle convenable.

3 Cercles tangents a trois droites

Le resultat est presque aussi connu :

3.1 Proposition.SoientD;E;Ftrois droites distinctes du plan.

1) Si les droites sont paralleles ou concourantes, il n'y a aucun cercle

tangent aux trois droites.

2) Si deux des droites sont paralleles et si la troisieme coupe les deux

autres, il y a deux cercles tangents aux trois droites.

3) Si les trois droites determinent un triangleABCil y a quatre cercles

tangents aux trois droites : le cercle inscrit et les cercles exinscrits. 2 Demonstration.Le ressort de la preuve est l'analogue du lemme 2.2 :

3.2 Lemme.Les centres des cercles tangents a deux droites distinctes sont :

Les points de la parallele equidistante si les droites sont paralleles. Les points des bissectrices des deux droites si elles sont secantes. Pour un centre donne il y a un unique cercle convenable.

4 Cercles tangents a une droite et passant

par deux points

La, les choses deviennent interessantes :

4.1 Theoreme.SoientA;Bdeux points distincts etDune droite.

1) SiAetBsont surD, ou de part et d'autre deD, il n'y a aucun cercle

tangent aDpassant parAetB.

2) SiAest surDmais pasBil y a un unique cercle tangent aDpassant

parAetB.

3) SiA;Bsont du m^eme c^ote deDil y a un deux cercles tangents aD

passant parAetB. Demonstration.Le premier point est evident et le deuxieme facile (le centre du cercle est sur la mediatrice de [AB] et sur la perpendiculaire aDpassant parA). Pour le troisieme, on commence par traiter le cas, facile, ou les droites Det (AB) sont paralleles. Sinon, on appelleCle point d'intersection deDet (AB) etTle point de contact cherche. Alors, on aCACB=CT2(puissance deCpar rapport au cercle) et on construitTcomme moyenne geometrique. Il y a deux solutions. On nit en utilisant la perpendiculaire aDenTet la mediatrice de [AB], voir gure 1. Pour la discussion, l'approche analytique est commode. On peut supposer que la droiteDa pour equationy= 0, que les points sontA= (0;a) avec a6= 0 etB= (b1;b2) et on cherche sous la formex2+y22x2y+ = 0.

On a vu qu'on devait avoir

=2. Le pointAest sur le cercle si et seulement si on a 2=a2+2a et en ecrivant queBest sur le cercle il reste une equation du second degre en: (ab2)22ab1a+a(b21+b22ab2) = 0 dont le discriminant reduit est =ab2(b21+(ab2)2). Le dernier facteur est >0 carAetBsont distincts. On voit qu'il y a une solution unique sib2est nul (BsurD), aucune sib2<0 et deux sib2>0. 3 D A B C T' O' T"

O"Figure1 { Deux points une droite

5 Cercles tangents a deux droites et passant

par un point

Cette fois, le resultat est le suivant :

5.1 Theoreme.SoientD1;D2deux droites secantes enIetAun point non

situe sur les droites. Alors, il existe deux cercles passant parAet tangents a D

1etD2.

Demonstration.On procede par abandon de contraintes. On trace un cercle

0tangent aux deux droites, situe dans l'angle qui contientA, sans se

preoccuper qu'il contienneA. Pour cela, on prend le centreOsur la bis- sectrice des droites, on le projette surD1enTet 0est le centre de centre Oqui passe parT, voir gure 2. Ce cercle coupe la droite (IA) enA0etA00 et il sut de considerer les cercles homothetiques de

0dans les homotheties

de centreIenvoyant respectivementA0etA00surA, voir gure 2.

5.2Remarque.Pour la dicile question des cercles tangents a trois cercles

donnes, voir par exemple le paragraphe 4.3.2 de : http://www.math.u-psud.fr/ perrin/Livregeometrie/DPPartie6.pdf 4 D 1 D 2 0 I O T A A' A" O'

O"Figure2 { Deux droites et un point

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