[PDF] Corrigé du baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013 - APMEP

1.La production diminue de 2% par an; or diminuer de 2% revient àmultiplier par 1-2

100=0,98.

Donc pour toutn,Un+1=Un×0,98.

De plusU0=120000.

La suite

2. a.Comme 2005=2000+5, l"année 2005 correspond àn=5.

On cherche doncU5:U5=120000×0,985≈108470

b.Pour déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouetsfabriqués sera strictement in-

120000

6??ln(0,98n) ??nln(0,98)ln?5 6? ln(0,98)car ln(0,98)<0 Or ln?5 6? ln(0,98)≈9,02 doncn?10. C"est donc à partir de 2000+10=2010 que le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100000.

À la calculatrice on trouveU

9≈100050etU10≈98049.

Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

c.L"algorithme donné dans le texte affichera le plus petit entierntel queUn<90000 si on com- plète les lignes 8 et 9 ainsi : 8 nprend la valeurn+1

9Aprend la valeurA×0,98

Autre possibilité :

8 nprend la valeurn+1

9Aprend la valeur 120000×0,98n

3. a.1+0,98+0,982+···+0,98nest la somme desn+1 premiers termes d"une suite géométrique

de premier terme 1 et de raison 0,98; donc :

1-0,98=10,02×?1-0,98n+1?

=50?1-0,98n+1? =6000000?1-0,98n+1?

c.Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premièresannées est égal àU0+U1+···+

U

14=S14=6000000?1-0,9815?=1568585

Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premièresannées de production est égal

à 1568585.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.Le graphe probabiliste traduisant les données de l"exercice est :

C T 0,03 0,02

0,970,98

2.P1=?c1t1?

Orlepremierjour, 70%desemployésontchoisiuncafédoncc1=0,7 etdonct1=1-c1=1-0,7= 0,3.

DoncP1=?0,7 0,3?

3.La matrice de transitionMde ce graphe, estM=?0,97 0,030,02 0,98?

La probabilité qu"un employé choisisse du thé le quatrième jour estt4; on va donc chercher

P

4=?c4t4?.

On sait queP4=P3×Met queP3=P2×MdoncP4=P2×M2; de mêmeP2=P1×Mdonc P

4=P1×M3.

En effectuant les calculs à la calculatrice, on trouveP4≈?0,66 0,34?, donc la probabilité qu"un

employé choisisse un thé le quatrième jour est 0,34.

4. a.L"état stable?c t?est l"unique état tel que?c+t=1?c t?×M=?c t?

On calcule :

0,4 0,6?×M=?0,4 0,6?×?0,97 0,030,02 0,98?

?0,4×0,97+0,6×0,02 0,4×0,03+0,6×0,98? ?0,4 0,6?

De plus 0,4+0,6=1

Donc?0,4 0,6?est l"état stable du système.

Métropole221 juin 2013

Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

b.Puisque l"état stable est?0,4 0,6?, la probabilité qu"a un employé de prendre du café tend

vers 0,4 donc la société CAFTHÉ qui pensait que la machine à café serait toujours la plus

utilisée avait tort.

5. a.Par définitionPn+1=Pn×Mdonc?cn+1tn+1?=?cntn?×?0,97 0,030,02 0,98?

ce qui équivaut à ?cn+1=0,97cn+0,02tn t n+1=0,03cn+0,98tn On en déduit quecn+1=0,97cn+0,02tn; ortn=1-cndonc c ??cn+1=0,95cn+0,02 b.En faisant tourner l"algorithme proposé, voici l"état des variables à chaque étape :

VariablesniAJour

Saisie den3

Initialisation deA30,701

1ertour de boucle310,6852

2etour de boucle320,670753

3etour de boucle330,65721254

La valeur affichée par l"algorithme quand la valeur denest égale à 3 est 0,6572125.

pourn=3, donc le quatrième jour, il y a à peu près 66% des employés quiprennent un café.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

PartieA : Étude du processusde mise en bouteille

1.Voici l"arbre pondéré traduisant l"énoncé :

R

1-0,05=0,95

B1-0,04=0,96

B0,04

R0,05B

0,08

B1-0,08=0,92

2.L"évènement "labouteille est correctement remplie et elleaun bouchon» est l"évènementR∩B.

P

La probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu"elle ait un bouchon est égale à

0,912.

3.D"après la formule des probabilités totales :P(B)=P(R∩B)+P?

R∩B?

=0,912+0,05×0,08=0,912+0,04=0,916 La probabilité que la bouteille ait un bouchon est donc égaleà 0,916.

4.On cherche la probabilité de l"évènementRsachantB:

P

B(R)=P(B∩R)

P(B)=0,9120,916≈0,996

Sachant que la bouteille a un bouchon, la probabilité qu"elle soit correctement remplie est égale

à 0,996.

PartieB : Productionjournalière

Métropole321 juin 2013

Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

1.La variable aléatoireXsuit la loi normale de paramètresμ=2000 etσ=200 et on cherche

P (X???1800;2200??).

Or 1800=μ-σet 2200=μ+σet on sait queP?X???μ-σ;μ+σ???≈0,683 donc la probabilité

quelaproductionjournalièresoit compriseentre1800 et2200 bouteilles estapproximativement de 0,683.

2.On demandeP(X<1600); à la calculatrice, on trouveP(X<1600)≈0,023.

Donc la probabilité que le service de maintenance intervienne sur les machines est approxima- tivement de 0,023. On peut aussi utiliser ce que l"on sait sur la courbe en clocheassociée à une loi normale. On remarque d"abord que 1600=2000-2×200=μ-2σ.

D"après le rappel de cours, on sait queP?X???μ-2σ;μ+2σ???≈0,954, ce qui correspond à l"aire

de 0,046 soit 0,023. =2000μ-2σ =1600μ+2σ =2400

0,9541-0,954

2=0,023

1-0,954

2=0,023

EXERCICE46 points

Commun à tous lescandidats

PartieA :

1.Le nombre de milliers d"insectes est donné parf(t)=25e-0,5toùtest exprimé en années; donc

le nombre d"insectes au départ estf(0)×1000=25000, et le nombre d"insectes au bout d"un an estf(1)×1000≈15163.

Le pourcentage d"évolution est

15163-25000

25000×100≈-39,35.

Le pourcentage de diminution du nombre d"insectes la première année est approximativement de 39%.

2. a.La fonctionFdéfinie sur??0 ; 4??parF(t)= -50e-0,5test une primitive defsi, pour touttde

??0 ; 4??,F?(t)=f(t). F ?(t)=-50×(-0,5)e-0,5t=25e-0,5t=f(t)

DoncFest une primitive defsur??0 ; 4??.

b.? 4 2 e2 c.On calcule la valeur moyenne de la fonctionfentre 2 et 4 : 1 4-2? 4 2

La population moyenne d"insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième

année est de 5814.

PartieB :

1.Sig(t)=20e-0,1t2+t-4,65, alors :

g

2.On admet que la fonctiong?est continue et strictement croissante sur l"intervalle??4 ; 10??.

g ?(4)=1-16e-1,6≈-2,23<0 etg?(10)=1-40e-10≈0,998>0 On établit le tableau de variation de la fonctiong?sur l"intervalle??4;10??:

Métropole421 juin 2013

Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.

t4 10 0,998 g?(t) -2,23 0 D"aprèsle tableau devariation deg?on peut déduireque l"équationg?(t)=0 admet une solution uniqueαdans l"intervalle??4;10??. g ?(5)≈ -0,64<0 g ?(6)≈0,34>0? =?α???5;6??;g?(5,5)≈ -0,07<0 g ?(5,6)≈0,03>0? =?α???5,5;5,6?? g ?(5,57)≈ -0,001<0 g ?(5,58)≈0,008>0? =?α???5,57;5,58?? Donc la valeur arrondie au dixième deαest 5,6.

Onpeut aussi faire référenceau tableaude valeurstrouvé à la calculatrice pour donner ce résultat.

3. a.D"après le tableau de variation de la fonctiong?sur??4;10??, on peut dire que :

•g?(t)<0 sur??4;α??; •g?(t)=0 sit=α; •g?(t)>0 sur??α;10??. b.On en déduit que : • la fonctiongest strictement décroissante sur??4;α??; • la fonctiongest strictement croissante sur??α;10??.

c.D"après les résultats des questions précédentes, on peut voir que le nombre d"insectes com-

mence à remonter à partir det=α, c"est-à-dire à partir de la sixième année puisqueα≈5,7.

Donc le traitement semble efficace sur la population d"insectes à partir de la sixième année.

Métropole521 juin 2013

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