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Taux de variation

Nombre dérivé

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A. Taux de variation:

1. Définition:

Soient f une fonction définie sur un intervalle I, et a et b deux nombres réels distincts appartenant à I.On appelle taux de variation de f entre a et b, le nombre: f ( b ) - f ( a ) b - a

2. Propriétés:

a.

Si f ( x ) = m . x + p: = m = constante.

b.

Si f est croissante sur I, alors: 0

Si f est décroissante sur I, alors: 0.

B. Taux de variation entre a et b = a + h (

h 0 ):Entre a et b, avec b = a + h et h 0, le taux de variation est: h f ( a + h ) - f ( a ) a + h ) - a f ( a + h ) - f ( a ) h

C. Interprétation du taux de variation:

Soit f la courbe représentative de la fonction f.

Soient A (

x A ; f ( x A ) ) et B ( x B ; f ( x B ), deux points.

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Le taux de variation entre x

A et x B est égale à la pente de la sécante ( AB ).

Autrement dit:

y B - y A x B - x A

D. Nombre dérivé:

1. Définition:

Le nombre dérivé de f en " a " est: f ' ( a ) = lim h 0 h ) = lim h 0 f ( a + h ) - f ( a ) h

2. Propriété:

Lorsque

h tend vers un nombre réel unique ( fini ) quand h prend des valeurs proches de 0, on dit que: f est dérivable en a.

E. Tableaux des dérivées:

1. Fonctions usuelles:

f ( x )f ' ( x )Remarques k0Dérivable sur ¨ x1Dérivable sur ¨ x 2 2 xDérivable sur ¨ x 3 3 x 2

Dérivable sur ¨

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freemaths fr Mathématiques Taux de variation, Nombre dérivé 3 x n n x ( n - 1 ) n *

Dérivable sur ¨ si n 1

Dérivable sur ¨ * si n - 1

1 x 1 x 2

Dérivable sur ¨ *

x 1 2 x

Dérivable sur ] 0

2. Formules usuelles:

FonctionFonction dérivée

U + VU' + V'

U x VU' x V + U x V'

k x Uk x U' 1 V V' V 2 U V

U' x V - U x V'

V 2 F. Fonction dérivée de f ( x ) = g ( a x + b ):

1. Théorème:

Si g est une fonction dérivable sur I, alors pour tout x réel tel que a x + b I, la fonction f ( x ) = g ( a x + b ) est dérivable et: f ' ( x ) = a x g' ( a x + b ).

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2. Exemple:

Soit la fonction f définie sur [

3 7 ; + [ par: f ( x ) = 7 x - 3 . Posons: g ( x ) = x ; g est définie sur [ 0 ; + [ et dérivable sur ] 0 ; + [ .

7 x - 3 > 0 ssi x >

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