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Chapitre 2
Taux de variation, dierentielles
et derivees 2.1 T auxde v ariationmo yenDenition 2.1.Soitfune fonction reelle. Sixvarie deaab, on note parx lavariation enx: x=ba Lavariation enycorrespondant a cette variation enxsur l'intervalle[a;b]est denie par y=f(b)f(a): Si on connaitaetxplut^ot queaetb, commex=baest equivalant a b=a+x, on peut aussi calculer la variation enycomme ceci : y=f(a+x)f(a):Exemple 2.1.Siy=x2, alorsy=x2(1;f(1))(3;f(3))11 39x=2y=8xy Il faut garder en t^ete que pour une variation enxxxee,ydepend de la valeur choisie pourx=a. Dans le graphe suivant,xest le m^eme pour l'intervalle commen- cant aaque pour celui commencent ab. On voit cependant que leycorrespondant a chacun est dierent. 28
y=x3aa+xbb+xxy Denition 2.2.Le taux de variation moyen dey=f(x)pourxallant dex=a jusqu'ab=a+xest deni par TVM
Denition 2.3.
Letaux de variation moyen(TVM) d'une fonctionfsur
un intervalle[a;b]est deni par TVM [a;b](f)=yx=f(b)f(a)ba: Le TVM est le changement moyen de la valeur de la fonctionfquand son argument passe deaab(ou deaaa+x). Dans le cas ou la fonction donne une distance parcourue en fonction du temps (que nous denoterons parx(t), alors le TVM est lavitesse moyennesur le parcours entret=aett=b.La vitesse moyenne entret=aett=bestxt:
2.2T auxde v ariationins tantane
Letaux de variation instantane(TVI) de la fonctionfenx=aest le taux de variation obtenu a partir du taux de variation moyen quandxdevient tres petit 29(ont dit quexest"innitesimal.»). Le taux de variation instantane represente le taux de changement de la fonctionfa un point donne. TVI a(f)=dydx def=f(a+x)f(a)xouxtres petit(a;f(a))(a+x;f(a+x))a xxy Quandxdevient de plus en plus petit, le point(a+x;f(a+x)se rapproche du point(a;f(a)). Les secantes passant par ces deux points sont de plus en plus similaire a la tangente au graphe au point(a;f(a)).(a;f(a))a xxy(a;f(a))ax(a;f(a))ax Ultimement (c'est a dire quandxdevient"inniment petit»), les segments secants et la courbe elle m^eme se confondent.Denition 2.4. Le taux de variation instantane de la fonctiony=f(x)enx=a est la pente de la tangente au point(a;f(a))au graphe def(x)(si cette tangente existe). Siy=f(x), on note le taux de variation instantane enx=apar dydx x=aouTVIa(f) Le taux de variation instantane varie d'un point a l'autre du graphe d'une fonction, comme on peut le voir dans le graphe suivant ou la pente de la tangente n'est pas la m^eme enx=1,x=2etx=3. 30
123(1;f(1))(2;f(2))(3;f(3))xyOn peut aussi remarquer dans ce dernier exemple que la pente de la tangente est liee
a la croissance de la fonction : elle est positive la ou la fonction est croissante (en x=3), negative la ou la fonction est decroissante (enx=2). Elle est nulle (tangente horizontale) quand il y a un maximum (ou un minimum), comme enx=1. Une interpretation physique permet de se faire une intuition de la signication de dydx: la vitesse. La vitesse moyenne dans un parcours est le rapport de la distance parcouruexsur le temps de parcourst. La vitesse instantanee est la vitesse a un instant donnee (celle des indicateurs de vitesse dans les voitures!). La vitesse instantanee est le rapport de la distance parcourue parcouruedxpendant un temps innitesimaldt.Vitesse moyenne=xyVitesse instantanee=dxdt
2.3Di erentielles
On vient de denir le taux de variation instantane enx=a dydx x=a comme etant la pente de la tangente au point(a;f(a)). Voyons comment on peut calculer ce taux pour une fonctiony=f(x).xy xx+dxf(x)ydx xydyy+dyy+y=f(x+dx)y=f(x) Quandxest tres petit, on peut approximer l'accroissementysur le graphe de la fonction par l'accroissementdysur la droite tangente. Comme la pente de la tangente estdydx , sixest tres petit on a que ydy; 31c'est a dire que dyf(x+x)f(x):Proposition 2.1.Siyest une fonction dex,y=f(x), alors la dierentielle eny est dyf(x+dx)f(x) quanddxest tres petit.Denition 2.5. Letaux de variation instantanede la fonctiony=f(x)en x=aest TVI a(f)=dydx x=adef=f(a+dx)f(a)dx Exemple 2.2.Calculons la pente de la tangente a la fonction denie par y=f(x)=x3 enx=2.2f(2)2+dxf(2+dx)xy dy dx x=2f(2+dx)f(2)dx (2+dx)3(2)3dx =23+(3)22dx+(3)(2)dx2+dx323dx
12dx+6dx2+dx3dx
dx12+6dx+dx2dx =12+6dx+dx212(quanddxtres petit).32
La pente de la tangente au graphe de la fonctiony=x3enx=2est 12.De maniere generale, pour calculer la pente de la tangente a partir de la denition
du taux de variation moyendydx , nous devons 1.