Quelles dimensions donner à une boîte ( sans couvercle ) réalisée à partir d'une feuille carrée afin que b) Calculer, en fonction de x, le volume de la boîte
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Quelles dimensions donner à une boîte ( sans couvercle ) réalisée à partir d"une feuille carrée
afin que cette boîte soit de volume maximal ?Exercice :
( L"unité est le centimètre )Dans une feuille carrée de carton ( 10 sur 10 ) , on découpe dans chaque coin un carré de x cm de côté.
a) Calculer, en fonction de x, l'aire du carré EFGH. ( x est compris entre 0 et 5 ) b) Calculer, en fonction de x, le volume de la boîte obtenue en découpant les quatre carrés situés aux coins, puis en pliant comme ci-contre. c)Compléter le tableau suivant :THEME :
CONSTRUCTION D"UNE
BOITE EI x0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Aire 100 0
Volume 0 0
d) Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère en choisissant comme unités : axe des abscisses : 1 cm représente 0,5 cm axe des ordonnées : 1 cm représente 5 cm 3.Tracer, dans ce repère, les points d'abscisse x et d'ordonnée le volume correspondant, points obtenus à
partir du tableau ci-dessus.En utilisant ce graphique, déterminer un encadrement de x d'amplitude 1 afin que le volume ait une valeur
maximale. e)Calculer le volume de la boîte lorsque x = 3 5 . Dans une feuille carrée de carton, on découpe dans chaque coin un carré de x cm de côté. a) Calcul, en fonction de x, de l'aire du carré EFGH. La longueur du côté du carré est 10 - x - x , soit 10 - 2x.Par suite, l'aire du carré EFGH est :
( 10 - 2x )²Aire du carré EFGH : ( 10 - 2x )²
i r u b) Calcul, en fonction de x, du volume de la boîte :La boîte est un parallélépipède rectangle ( encore appelé pavé droit ). Le volume d'un tel solide est
Le volume de la boîte est
donc ( la hauteur de la boîteétant égal à x ) :
V = x( 10 - 2x)²
c)Tableau : Il suffit de remplacer x par 0,5, puis par 1, puis par 1,5 , etc... dans les formules obtenues précédemment.Pour x = 0,5 , nous avons :
( le symbole de multiplication a été remplacé par un point afin d'éviter toute confusion avec la lettre x qui représente la hauteur de cette boîte ) Aire : ( 10 - 2 . 0,5 )² = ( 10 - 1 )² = 9² =81 cm²
Volume : 0,5 . ( 10 - 2 . 0,5 )² = 0,5 . 81 =40,5 cm3
x0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Aire 100 81 64 49 36 25 16 9 4 1 0
Volume 0 40,5 64 73,5 72 62,5 48 31,5 16 4,5 0 d) Représentation graphique : axe des abscisses : 1 cm représente 0,5 cm axe des ordonnées : 1 cm représente 5 cm 3.Ceci représente
l'aire déjà calculéeTraçons, dans le repère les points de coordonnées ( 0 ; 0 ) , ( 0,5 ; 40,5 ) , ( 1 , 64 ) , ( 1,5 ; 73,5 ) , ( 2 ; 72 ) , ( 2,5 ; 62,5 ), ( 3 ; 48 ) , ( 3,5 ; 31,5 ) , ( 4 ; 16 ) , ( 4,5 ; 4,5 ) , ( 5 ; 0 )
Encadrement de la valeur maximale
du volume :La valeur maximale du volume semble
être obtenue lorsque la hauteur x est
comprise entre 1 et 21 < x < 2
Dans ce repère, nous n'avons
représenté que quelques points qui correspondent à certaines valeurs de x.Si nous avions placé beaucoup plus de
points, nous aurions obtenu un ensemble de points dont la disposition aurait été la suivante :Cette courbe représente la variation du volume de la boîte en fonction de la hauteur x de cette boîte.
e)Calcul du volume de la boîte lorsque x = 3 5 .