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OPTIMISATION 45
3C - JtJ 2016Thème 17: Optimisation
Introduction :
Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géomé triques sont exprimées à l'aide d'une formule contenant une fonction. Il peut s'agir de la température d'un corps au moment t, du volume d'un gaz dans un ballon sphérique de rayon x, de la vitesse d'un corps au temps t ... Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables. Déterminer ces valeurs constitue ce que l'on appelle un problème d'optimisation.17.1 L'optimisation lors de la construction de boîtes
Modèle 1 :
Optimisation
On souhaite construire une boîte en découpant quatre carrés aux coins d'une feuille cartonnée, et en rabattant les bords restants. La feuille mesure 22 cm de long et 18 cm de large. De la taille des carrés découpés dépendra le volume de la boîte. Calculer la dimension des carrés de sorte que la boîte ait le plus grand volume possible.46 THÈME 17
3C - JtJ 2015 http://www.javmath.chExercice 17.1:
On désire construire une boîte en carton à partir d'une feui lle rectangulaire en coupant 6 carrés à chaque coin et au milieu des côtés et en pliant les côtés. Si la feuille de carton admet comme dimensions: 45 x 30 cm, le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte fermée admettant un volume maximum. a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule de base ? b)Justifier les relations suivantes :
p = 30 - 2x l=453x 2 c)Déterminer E
D , l'ensemble des valeurs admissibles pour x. d) Montrer que le volume exprimé en fonction de x est :V(x)=3x
3 90x2 +675x
e) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume est maximum. f)