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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S Métropole?21 juin 2017
EXERCICE 17 points
Commun à tous les candidats
PartieA
On considère la fonctionhdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par :h(x)=xe-x.1.Pour toutx,h(x)=x
ex=1ex x; d"après les croissances comparées, lim x→=∞? ex x? =+∞donclimx→+∞h(x)=0.2.hest dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.
h=uewavec?u(x)=x w(x)-x. h w ?(x)=-1. On en déduit :h?(x)=e-x+x×(-1)e-xdonc, après factorisation par e-x: h?(x)=(1-x)e-x.Pour toutx?0, e-x>0;h?(x)=0??1-x=0??x=1 et
h ?(x)>0??1-x>0??x<1. h(0)=0 eth(1)=e-1=1 e.Tableaude variation:
x0 1+∞ h?(x) ????1e≈0,37 ????03.L"objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonctionh.
a.Pour toutx?0, e-x-h?(x)=e-x-(1-x)e-x=e-x-e-x+xe-x=xe-x= h(x) donc h(x)=e-x-h?(x) b.Soit la fonctionv:x?-→e-x;v(x)= -(-1)e-x= -w?(x)ew(w)(avec les notations précédentes) donc une primitive devestV:x?-→-ew(x)=-e-x
c.SoitHune primitive deh. h(x)=e-x-h?(x)doncH(x)=-e-x-h(x)d"oùH(x)=-e-x-xe-x=-(x+1)e-x.
PartieB
On définit les fonctionsfetgsur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=xe-x+ln(x+1) etg(x)=ln(x+1).Baccalauréat SA. P. M. E. P.
On noteCfetCgles représentations graphiques respectives des fonctionsfetg dans un repère orthonormé.1.Pour un nombre réelxappartenant à l"intervalle [0 ;+∞[, on appelleMle
point de coordonnées (x;f(x)) etNle point de coordonnées (x;g(x)) :Met Nsont donc les points d"abscissexappartenant respectivement aux courbes C fetCg. a.MetNont la même abscisse etf(x)?g(x) (carx+1?1 donc ln(x+1)?0).D"oùMN=f(x)-g(x)=xe-x=h(x) :
MN=h(x)=xe-x.
b.D"après l"étude des variations deh,MNest maximum pourx=1. 121 2 3 4 5
×M N Cf C g2.Soitλun réel appartenant à l"intervalle [0 ;+∞[. On noteDλle domaine du
plan délimité par les courbesCfetCget par les droites d"équationsx=0 et x=λ. a.Hachurons le domaineDλ. correspondant à la valeurλproposée sur le graphique. (voir ci-dessus) b.Aλ=? 0 (f(x)-h(x)) dx=? 1 0 h(x)=H(λ)-H(0)=-(λ+1)e-λ-(-1) =1-(λ+1)e-λ=1-λ+1 eλ:Aλ=1-λ+1eλ.
c.Aλ=1-λ eλ+1λ. lim 1 =0 et limλ→+∞?λeλ?
=0 (croissances comparées).Par conséquent :
limλ→+∞Aλ=1.L"aire entre les deux courbes (pour 0?x) vaut 1.
Métropole221 juin 2017
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
3.On considère l"algorithme suivant :
Variables:
λest un réel positif
Sest un réel strictement compris entre 0 et 1.
Initialisation:
SaisirS
λprend la valeur 0
Traitement :
Tant Que 1-λ+1eλSortie :
Afficherλ
a.À la calculatrice, on obtient :λ1-λ+1eλ00
10,264241118
20,59399415
30,800851727
L"algorithmeafficheradonc 3.
b.L"algorithme calcule la plus petite valeur entière deλpour laquelle Aλ>S.
EXERCICE 23 points
commun à tous les candidatsL"espace est mini d"un repère?
O;-→i;-→j;-→k?
SoitPle plan d"équation cartésienne : 2x-z-3=0. On note A le point de coordonnées?1 ;a;a2?oùaest un nombre réel.1.2xA-zA-3=2-a2-3=-1-a2<0 donc A n"appartient pas àP(puisque ses
coordonnées ne vérifient pas l"équation deP). 2. a. -→v((20 -1)) est un vecteur normal àP; c"est aussi un vecteur directeur deD. Dpasse par A donc une représentation paramétrique deDest : ?x=1+2t y=a z=a2-t,t?R b.Soit M un point appartenant à la droiteD, associé à la valeurtdu para- mètre dans la représentation paramétrique précédente. --→AM((2t 0 -t)) ;onendéduitqueAM=? (2t)2+(-t)2=?5t2=|t|?5;AM=|t|?5Métropole321 juin 2017
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
On note H le point d"intersec-
tion du planPet de la droiteDorthogonale àPet passant
par le point A. Le point H est appelé projeté orthogonal du point A sur le planPet la dis- tance AH est appelée distance du point A au planP. P H ?A D3.Happartient à la droiteDet au planP.
Hest associé à un nombretH, solutio n du système : ?x=1+2t y=a z=a2-t y=a z=a2-t y=a z=a2 t=a2+1 5.H est donc associé à la valeurtH=a2+1
5.On a alors :AH=|tH|?
5=a2+1?5.
a?→a2+1 admet un minimum poura=0 donc la distance de A au planPest minimum poura=0 et vaut alors 1?5Métropole421 juin 2017
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
EXERCICE 35 points
Commun à tous les candidats
Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d"incendie. Le but de l"exercice est d"étudier les impacts de foudre détectés par un capteur. L"écran radar, sur lequel les points d"impact de foudre sontobservés, a l"allure sui- vante :20406080100EstNord
Ouest Sud 54321AB
C D E F GH O ×P Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l"écran, cinq cercles concen- dans l"ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leurdistance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ou- verture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique deA à H. entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3. On assimile l"écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé?O;-→u;-→v?de la manière suivante :l"origine O marque la position du capteur;
l"axe des abscisses est orienté d"Ouest en Est; l"axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord;l"unité choisie est le kilomètre.
Dans la suite, un point de l"écran radar est associé à un pointd"affixe z.PARTIEA
1.On notezPl"affixe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précé-
r=zP; d"après le dessin, 404<θ<π2.
La réponse est la proposition C.
Métropole521 juin 2017
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.Un impact de foudre est matérialisé sur l"écran en un point d"affixez. Dans
chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appar- tient : a.Siz=70e-iπ3, son module estr=70 et un argument estθ=-π3, compris
entre-π2etπ4.
L"impact de foudre appartientdoncau secteur G4.
b.z=-45?3+45i=90?
-?32+12i?
=90ei5π 6. z|=90 etθ=arg(z)=5π 6?? -3π4;π?L"impact de foudre est dansle secteurD5
Partie B
On suppose dans cette partie que le capteur affiche un impact au point P d"affixe 50eiπ 3. En raison d"imprécisions de mesures, le point d"impact affiché ne donne qu"une in- dication approximative du point d"impact réel de la foudre. Ainsi, lorsque le capteur affiche le point d"impact P d"affixe50eiπ