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SI un triangle est rectangle ALORS Le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse Exemple SI un triangle ABC est rectangle en A, ALORS ABC 

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Le théorème suivant précise où se trouve le centre de ce cercle Théorème 1 (du cercle circonscrit) Les trois médiatrices d'un triangle ABC sont concourantes en 

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Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le Le rayon du cercle circonscrit à un triangle rectangle est égal à la moitié de la longueur de l' hypoténuse

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Que peut-on en déduire sur les longueurs IG, IH et IK ? Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle GHK ? d Écris la propriété que tu viens de démontrer

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Définition Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l' hypoténuse et le troisième sommet du triangle appartient au cercle Le centre du  

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4ème-XI-Triangle rectangle : Cercle circonscrit, distance, Tangente 1 2 (C) est un cercle de centre O Conséquence : MNP est un triangle rectangle en P

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Prop : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse Démonstration : tracer un triangle ABC rectangle en A,  

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Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse I A B C Démonstration : Soit ABC un triangle rectangle en C

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Soit GUS un triangle rectangle en U c'est à dire que GUS est un angle droit Le point d'intersection des trois médiatrices est centre du cercle circonscrit

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I Centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle : 1) Démonstration : ABC triangle rectangle en A ce qui signifie : (AB) i (AC) - (d) médiatrice de [AB] ce qui  

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4èmeCh 10 : Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Objectifs

•Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-

cercle dont le diamètre est un côté du triangle.•Caractériser les points d"un cercle de diamètre donné par lapro-

priété de l"angle droit.

1Sens direct

Théorème

Siun triangle est rectangle,alorsle centre de son cercle circonscrit est le milieu de l"hypoténuse.

?I AB C

Démonstration :SoitABCun triangle rectangle enC.Iest le milieu de[AB]. SoitMle symétrique deCpar rapport àI. Par symétrie,I

est le milieu des diagonales du quadrilatèreACBM. Il s"agit donc d"un parallélogramme. Comme il a un angle droit,ACBMest un rectangle.

On en déduit que les diagonales[AB]et[CM]sont de même longueur et que les segments,[IA],[IB],[IM]et[IN]sont de même longueur.

Il existe donc un cercle de centreIet de rayon[IA]qui passe par les pointsA,B,MetC. Le cercle circonscrit àACBa donc pour centre

Iet pour diamètre[AB].

Propriété

- Si un triangle est rectangle, son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. Le rayon du cercle circonscrit

est donc égal à la moitié de la longueur de l"hypoténuse.

- La médiane issue de l"angle droit du triangle rectangle estégale à la moitié de l"hypoténuse.

?I AB C

2Sens réciproque

Théorème

Siun triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre unde ses côtés,alorsce triangle est rectangle.

Propriété

Si le milieu d"un côté d"un triangle est équidistant des trois sommets, alors ce triangle est rectangle.

Exemple :A,B,CetDsont quatre points distincts d"un cercleCavec?ABC= 90◦. Démontrer que?ADC= 90◦.

CA D B ×I CA D BCA D B

ABC= 90◦donc, le triangle

ABCest rectangle enB.Bappartient ainsi au cercleCde diamètre[AC]or, le ponitDappartient aussi au cercle de diamètre[AC]donc, le triangleADC est rectangle enDet?ADC= 90◦. 1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35