2 2 )×2 = 1−1 = 0 Les plans (ABE) et (FDC) ont un vecteur normal commun, ils sont
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Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 31 mai 2016 - APMEP
rigé du baccalauréat ES/L Liban 31 mai 2016 Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats
Baccalauréat ES/L Liban 31 mai 2016 - APMEP
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Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 31 mai 2016 - APMEP
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k est concave sur [0 ; +∞[ * Exercice 2 5 points Liban 12 31
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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S Liban31 mai 2016?Exercice 14 points
Commun à tous les candidats
1. a)Le triangleAIEest rectangle enI. Par le théorème de Pythagore,on en déduitEI2=AE2-
AI 2. D"autre part, [AC] est une diagonale d"un carré de côté 1 etIest son milieu. On a donc AI=AC 2=? 2 2.Finalement,EI2=12-1
2=12, ce qui donne
EI=? 2 2 Iétant le centre du carréABCD, ses coordonnées sontI((1 2 1 20))D"autre part,
-→IE=IE×--→AK, ce qui donneE(((1 2 1 2?2 2)))Par un argument similaire, on trouveF(((1
2 1 2-?2 2))) b)Ici, il suffit de montrer qu"il est orthogonal à deux vecteursde base du plan (ABE).On choisit les vecteurs
--→AB((100)) et--→AE(((1 2 1 2?2 2))) et on vérifie :AB·-→n=0 et--→AE·-→n=?1
2?×(-2)+?
2 2?×?2=-1+1=0
Ainsi, le vecteur
-→nest normal au plan (ABE).c)On connaît déjà un vecteur normal :-→n. On sait qu"il existe un nombreatel qu"une équa-
tion cartésienne de ce plan s"écrit -2y+?2z+a=0
CommeAappartient au plan, on en déduit-2×0+?2×0+a=0, ce qui donnea=0.
Finalement, une équation cartésienne du plan est : -2y+?2z=0 ou-y?2+z=0
2. a)On va prouver que le vecteur-→nest également normal au plan (FDC) en utilisant deux
vecteurs de base de ce plan.Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
On calcule par exemple,--→DC((100))
et--→DF(((1 2-1 2-?2 2))) . On vérifie là encore :DC·-→n=0 et--→DF·-→n=?-1
2?×(-2)+?
2 2?×?2=1-1=0
Les plans (ABE) et (FDC) ont un vecteur normal commun, ils sont donc parallèles. b)(EMN) coupe les plans (ABE) et (FDC) en deux droites parallèles. On en déduit que la droite correspondant à l"intersection de(EMN) et (FDC) est dirigée par le vecteur--→NEet passe parM. 1 2?2 2))) etM(((1 4 3 4-?2 4))) On obtient ainsi l"équation paramétrique de cette intersection.?????x=1 4y=3 4+12t z=-?2 4+? 2 2tt?R c)On a appeléQl"intersection du plan (EMN) avec l"arête [AF] etPl"intersection de ce même plan avec l"arête [DC].D"après ce qui précède (MP) et (EN) sont parallèles; ce qui permet de construire le point
P. Par des arguments semblables, on peut prouver que les plans (ABF) et (EDC) sont paral-lèles, ce qui entraîne le parallélisme des droites (NQ)et (EP) et permet ainsi de construire
le pointQ. L"intersection est ainsi le pentagoneENQMPdont les côtés [EN] et [MP] sont parallèles ainsi que les côtés [NQ] et [EP].Exercice 24 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.L"expérience constitue un schéma de Bernoulli de paramètresn=20;p=1
2. Eneffet, leslancerssontindépendants et,pour chaquelancer,laprobabilitéd"envoyeràdroite vaut 12si l"on se fie au manuel. Le nombreXde balles envoyées à droite suit donc une loi
binomiale de paramètresn=20;p=1 2.. À l"aide de la calculatrice, on obtient une probabilité deP(X=10)?0,176
d"avoir exactement 10 balles à droite.2.Ici, avec les mêmes notations, on calcule
P (5?X?10)=P(X?10)-P(X?4)?0,582Liban231 mai 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
PartieB
On vérifie les conditions d"application du calcul de l"intervalle asymptotique de fluctuation des fré-
quences : le nombrende répétitions est supérieur à 30. np=100×0,5=50?5 etn(1-p)=100×0,5=50?5 oùpdésigne la probabilité d"envoyer à droite à chaque lancer.0,5-1,96?
p(1-p) n; 0,5+1,96? p(1-p) n? =[0,402 ; 0,598]La fréquence observée42100=0,42 est bien dans cet intervalle. On n"a donc pas de raison deremettre
en cause l"affirmation du fabricant.PartieC
On noteLl"événement "la balle est liftée» etDl"événement "la balle est envoyée à droite».
À partir des données de l"énoncé, on aP(L∩D)=0,24 etP?L∩D?
=0,235.Ici, on chercheP
L(D). Commençons par calculerP?L?
à l"aide de la formule des probabilités totales : P L? =P?L∩D? +P?L∩D?Il nous faut ainsi déterminerP?
L∩D?
mais on sait, toujours d"après la formule des probabilités to- tales, queP(D)=P?L∩D?
+P(L∩D). On obtient ainsi : PL∩D?
=P(D)-P(L∩D)=0,5-0,24=0,26Ce qui donne donc :
P L? =0,26+0,235=0,495Et, finalement :
PL(D)=P?
L∩D?
P?L? =0,260,495?0,525Liban331 mai 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Exercice 34 points
Commun à tous les candidats
PartieA
1.On peut utiliser ici les fonctions associées en considérantla décomposition algorithmique
suivante de la fonctionf:1+e1-x
Quels que soientuetvde l"intervalle [0;1] tels queu1?e1-v Et par suite
2?1+e1-v<1+e1-u?1+e
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur]0;+∞[, on en déduit : 1 1+e?11+e1-u<11+e1-v?12, soit11+e?f(u) Ainsi, la fonctionfest strictement croissante.
Bien sûr, on pouvait aussi dériverfpour prouver ce résultat! 2.On "force» la factorisation par e-xau dénominateur. Pour toutxde [0 ; 1] :
f(x)=1 e-x?1e-x+e1-xe-x? 1 e-x?ex+e1-x+x? ex ex+e 3.L"écriture précédente permet de déterminer une primitive def.
En effet, la dérivée dex?→ex+e estx?→exet on reconnaît donc quefest la dérivée dex?→
ln (ex+e). On a donc 1 0 f(x)dx=?ln?ex+e??10 =ln?e1+e?-ln(1+e) =ln(2e)-ln(1+e) =ln(2)+ln(e)-ln(1+e) (d"après les propriétés du logarithme) =ln(2)+1-ln(1+e) Liban431 mai 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
PartieB
1.Un peu de calcul montre quef0est la fonction constante égale à 1. On a tracé cette fonction
en annexe. 2.Pour toutxet pour tout entier natureln, ona 1+ne1-x>1 car la fonction exponentielle prend
desvaleursstrictement positives. Enparticulier lesfnsontdesfonctions strictementpositives. u ncorrespond donc à l"aire du domaine délimité par : la courbeCn
l"axe des abscisses
les droites d"équationsx=0 etx=1
3.Ces domaines semblent "rétrécir» quandnaugmente. On conjecture donc queuest décrois-
sante. Pour toutnentier naturel et pour toutx, on vérifie 0?ne1-x<(n+1)e1-xcar e1-xest un nombre strictement positif. On obtient donc 1?1+ne1-x<1+(n+1)e1-x. Et comme la fonction inverse est strictement décroissantesur
]0 ;+∞[, on en déduit : f n(x)>fn+1(x) En raison des propriétés de l"intégrale, on obtient bien : 1 0 fn(x)dx>? 1 0 fn+1(x)dx Cela confirme la conjecture émise :uest strictement décroissante. 4.La suite étant décroissante, elle admet forcément une limite : un nombre ou bien-∞.
Nous allons maintenant préciser qu"il s"agit d"un nombre. Pour toutn,unest positif car c"est l"intégrale d"une fonction positive sur [0; 1]. La suiteu étant à la fois minorée par 0 et décroissante, le théorème de convergence monotone entraîne
l"existence d"une limite finie pour la suiteu. Exercice 45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Affirmation1 :
Ici, on ne connaît pas l"écart-typeσ. Il faut d"une manière ou d"une autre le déterminer.
On peut remarquer que 0,34 est la moitié de 0,68 et, ainsi, l"intervalle [20; 21,6] correspond à [μ;μ+
σ]. On a doncσ=21,6-20=1,6. La probabilité recherchée s"obtient à la calculatriceet vautP(X?
23,2)?0,0228.
L"affirmation est doncfausse.
Une autre manière de retrouverσconsistait à centrer-réduireX. En effet, on avait l"équivalence :
X?[20; 21,6]??X-μ
0 ;1,6σ?
Ilfallait ensuite raisonner sur laloinormale centrée réduiteet utiliser sespropriétés desymétrie pour
retrouverσpar inversion de la fonction de répartition. Affirmation2 :
Liban531 mai 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
On a|Z|=1??|iz||z-2|=1??|z|=|z-2|. On reconnaît ici la condition d"appartenance à la médiatrice du segment [OB] avecB?20? le point d"affixe 2. En particulier,A, qui est le milieu de [OB], appartient bien à cette droite. L"affirmation est doncvraie.
Affirmation3 :
Pour toutz, on posez=x+iyoùxetysont des réels. Pourz?=2,Z=iz
ix2+xy-2ix-xy+iy2+2y (x-2)2+y2=2y(x-2)2+y2+ix2-2x+y2(x-2)2+y2 Zimaginaire pur??2y
(x-2)2+y2=0??y=0??zest un réel L"affirmation est doncvraie.
Liban631 mai 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Affirmation4 :
Un raisonnement équivalent à celui mené au début de l"exercice 3 permet de prouver quefest stric-
tement croissante. De plus, elle est continue. Il suffit doncde calculer ses limites en+∞et-∞et le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permettra de se prononcer au sujet de cette affir-
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Et par suite
2?1+e1-v<1+e1-u?1+e
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur]0;+∞[, on en déduit : 11+e?11+e1-u<11+e1-v?12, soit11+e?f(u) Ainsi, la fonctionfest strictement croissante.
Bien sûr, on pouvait aussi dériverfpour prouver ce résultat! 2.On "force» la factorisation par e-xau dénominateur. Pour toutxde [0 ; 1] :
f(x)=1 e-x?1e-x+e1-xe-x? 1 e-x?ex+e1-x+x? ex ex+e 3.L"écriture précédente permet de déterminer une primitive def.
En effet, la dérivée dex?→ex+e estx?→exet on reconnaît donc quefest la dérivée dex?→
ln (ex+e). On a donc 1 0 f(x)dx=?ln?ex+e??10 =ln?e1+e?-ln(1+e) =ln(2e)-ln(1+e) =ln(2)+ln(e)-ln(1+e) (d"après les propriétés du logarithme) =ln(2)+1-ln(1+e) Liban431 mai 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
PartieB
1.Un peu de calcul montre quef0est la fonction constante égale à 1. On a tracé cette fonction
en annexe. 2.Pour toutxet pour tout entier natureln, ona 1+ne1-x>1 car la fonction exponentielle prend
desvaleursstrictement positives. Enparticulier lesfnsontdesfonctions strictementpositives. u ncorrespond donc à l"aire du domaine délimité par : la courbeCn
l"axe des abscisses
les droites d"équationsx=0 etx=1
3.Ces domaines semblent "rétrécir» quandnaugmente. On conjecture donc queuest décrois-
sante. Pour toutnentier naturel et pour toutx, on vérifie 0?ne1-x<(n+1)e1-xcar e1-xest un nombre strictement positif. On obtient donc 1?1+ne1-x<1+(n+1)e1-x. Et comme la fonction inverse est strictement décroissantesur
]0 ;+∞[, on en déduit : f n(x)>fn+1(x) En raison des propriétés de l"intégrale, on obtient bien : 1 0 fn(x)dx>? 1 0 fn+1(x)dx Cela confirme la conjecture émise :uest strictement décroissante. 4.La suite étant décroissante, elle admet forcément une limite : un nombre ou bien-∞.
Nous allons maintenant préciser qu"il s"agit d"un nombre. Pour toutn,unest positif car c"est l"intégrale d"une fonction positive sur [0; 1]. La suiteu étant à la fois minorée par 0 et décroissante, le théorème de convergence monotone entraîne
l"existence d"une limite finie pour la suiteu. Exercice 45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Affirmation1 :
Ici, on ne connaît pas l"écart-typeσ. Il faut d"une manière ou d"une autre le déterminer.
On peut remarquer que 0,34 est la moitié de 0,68 et, ainsi, l"intervalle [20; 21,6] correspond à [μ;μ+
σ]. On a doncσ=21,6-20=1,6. La probabilité recherchée s"obtient à la calculatriceet vautP(X?
23,2)?0,0228.
L"affirmation est doncfausse.
Une autre manière de retrouverσconsistait à centrer-réduireX. En effet, on avait l"équivalence :
X?[20; 21,6]??X-μ
0 ;1,6σ?
Ilfallait ensuite raisonner sur laloinormale centrée réduiteet utiliser sespropriétés desymétrie pour
retrouverσpar inversion de la fonction de répartition. Affirmation2 :
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Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
On a|Z|=1??|iz||z-2|=1??|z|=|z-2|. On reconnaît ici la condition d"appartenance à la médiatrice du segment [OB] avecB?20? le point d"affixe 2. En particulier,A, qui est le milieu de [OB], appartient bien à cette droite. L"affirmation est doncvraie.
Affirmation3 :
Pour toutz, on posez=x+iyoùxetysont des réels. Pourz?=2,Z=iz
ix2+xy-2ix-xy+iy2+2y (x-2)2+y2=2y(x-2)2+y2+ix2-2x+y2(x-2)2+y2 Zimaginaire pur??2y
(x-2)2+y2=0??y=0??zest un réel L"affirmation est doncvraie.
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Affirmation4 :
Un raisonnement équivalent à celui mené au début de l"exercice 3 permet de prouver quefest stric-
tement croissante. De plus, elle est continue. Il suffit doncde calculer ses limites en+∞et-∞et le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permettra de se prononcer au sujet de cette affir-
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Ainsi, la fonctionfest strictement croissante.
Bien sûr, on pouvait aussi dériverfpour prouver ce résultat!2.On "force» la factorisation par e-xau dénominateur. Pour toutxde [0 ; 1] :
f(x)=1 e-x?1e-x+e1-xe-x? 1 e-x?ex+e1-x+x? ex ex+e3.L"écriture précédente permet de déterminer une primitive def.
En effet, la dérivée dex?→ex+e estx?→exet on reconnaît donc quefest la dérivée dex?→
ln (ex+e). On a donc 1 0 f(x)dx=?ln?ex+e??10 =ln?e1+e?-ln(1+e) =ln(2e)-ln(1+e) =ln(2)+ln(e)-ln(1+e) (d"après les propriétés du logarithme) =ln(2)+1-ln(1+e)Liban431 mai 2016
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PartieB
1.Un peu de calcul montre quef0est la fonction constante égale à 1. On a tracé cette fonction
en annexe.2.Pour toutxet pour tout entier natureln, ona 1+ne1-x>1 car la fonction exponentielle prend
desvaleursstrictement positives. Enparticulier lesfnsontdesfonctions strictementpositives. u ncorrespond donc à l"aire du domaine délimité par :la courbeCn
l"axe des abscisses
les droites d"équationsx=0 etx=1
3.Ces domaines semblent "rétrécir» quandnaugmente. On conjecture donc queuest décrois-
sante. Pour toutnentier naturel et pour toutx, on vérifie 0?ne1-x<(n+1)e1-xcar e1-xest un nombre strictement positif. On obtient donc1?1+ne1-x<1+(n+1)e1-x. Et comme la fonction inverse est strictement décroissantesur
]0 ;+∞[, on en déduit : f n(x)>fn+1(x) En raison des propriétés de l"intégrale, on obtient bien : 1 0 fn(x)dx>? 1 0 fn+1(x)dx Cela confirme la conjecture émise :uest strictement décroissante.4.La suite étant décroissante, elle admet forcément une limite : un nombre ou bien-∞.
Nous allons maintenant préciser qu"il s"agit d"un nombre. Pour toutn,unest positif car c"est l"intégrale d"une fonction positive sur [0; 1]. La suiteuétant à la fois minorée par 0 et décroissante, le théorème de convergence monotone entraîne
l"existence d"une limite finie pour la suiteu.Exercice 45 points
Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialitéAffirmation1 :
Ici, on ne connaît pas l"écart-typeσ. Il faut d"une manière ou d"une autre le déterminer.
On peut remarquer que 0,34 est la moitié de 0,68 et, ainsi, l"intervalle [20; 21,6] correspond à [μ;μ+
σ]. On a doncσ=21,6-20=1,6. La probabilité recherchée s"obtient à la calculatriceet vautP(X?
23,2)?0,0228.
L"affirmation est doncfausse.
Une autre manière de retrouverσconsistait à centrer-réduireX. En effet, on avait l"équivalence :
X?[20; 21,6]??X-μ
0 ;1,6σ?
Ilfallait ensuite raisonner sur laloinormale centrée réduiteet utiliser sespropriétés desymétrie pour
retrouverσpar inversion de la fonction de répartition.Affirmation2 :
Liban531 mai 2016
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
On a|Z|=1??|iz||z-2|=1??|z|=|z-2|. On reconnaît ici la condition d"appartenance à la médiatrice du segment [OB] avecB?20? le point d"affixe 2. En particulier,A, qui est le milieu de [OB], appartient bien à cette droite.L"affirmation est doncvraie.
Affirmation3 :
Pour toutz, on posez=x+iyoùxetysont des réels.Pourz?=2,Z=iz
ix2+xy-2ix-xy+iy2+2y (x-2)2+y2=2y(x-2)2+y2+ix2-2x+y2(x-2)2+y2Zimaginaire pur??2y
(x-2)2+y2=0??y=0??zest un réelL"affirmation est doncvraie.
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Un raisonnement équivalent à celui mené au début de l"exercice 3 permet de prouver quefest stric-
tement croissante. De plus, elle est continue. Il suffit doncde calculer ses limites en+∞et-∞et le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permettra de se prononcer au sujet de cette affir-
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