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DIRO

IFT 6150

TRAITEMENT D"IMAGES

FILTRAGE SPATIAL

Max Mignotte

Département d"Informatique et de Recherche Opérationnelle. Http : //www.iro.umontreal.ca/≂mignotte/ift6150

E-mail : mignotte@iro.umontreal.ca

FILTRAGE SPATIALE

SOMMAIRE

Introduction . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . 2 Convolution Discrète 2D -Rappel- . .. . . .. . . .. 4 Filtre de Moyenne (Passe-bas) . . . .. . . .. . . .. . 6 Filtre Gaussien (Passe-bas) . .. . . .. . . .. . . .. . . 7 Autres Filtres Passe-bas . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . 8 Filtre Médian .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . 9 Filtre Adaptatif . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. 11 Filtre Directionnel . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . 12 Filtre Passe-haut -Op. Mathématique- . . .. . . . 14 Filtre Passe-haut -Masque de Détection- .. . . 16 Filtre Passe-haut -Gradient- . .. . . . .. . . .. . . .. 17 Décision Contour . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . 22 Filtre Passe-haut -Laplacien- .. . . .. . . .. . . .. . . 23 Filtre de Marr-Hildreth . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . 25 Rehaussement des Contours . .. . . .. . . .. . . .. . 26 Exercices . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . 27 1

FILTRAGE SPATIALE

INTRODUCTION

Rehaussement d"Images par Filtrage Spatial/Fréquentiel

Image TF(image)

Image FiltréeFFT

FFT-1Filtrage Spectral

Filtrage Spatial

Image rehaussée

Théorème de Convolution -Rappel-

f(x,y)?g(x,y)??F(u,ν). G(u,ν) f(x,y). g(x,y)??F(u,ν)?G(u,ν) donc, sif(x,y)est l"image à filtrer (ou à rehausser) et g(x,y), le filtre spatial (ou PSF ou masque) f(x,y)?g(x,y) =F-1?

F{f(x,y)} · F{g(x,y)}????

G(u,ν)?

2

FILTRAGE SPATIALE

INTRODUCTION

Trois Types de Filtrage

•PSF: Point Spread Function

(ou Fonction d"Étalement Spectrale)

•MTF: Modulation Transfer Function

(ou Fonction de Transfert) Filtre Passe-bas :diminue le bruit mais atténue les détails de l"image Filtre Passe-haut :accentue les contours et les détails de l"image mais amplifie le bruit Filtre Passe-bande :élimine certaines fréquences in- désirables présentes dans l"image 3

FILTRAGE SPATIALE

CONVOLUTION DISCRÈTE 2D -RAPPEL-

Convolution Discrète 2D -Rappel-

Transformation basée sur le voisinage d"un point(x,y)

Exemple

16 16 1616

161616

160 1 2 1

1 2 1

2 4 2=12 2 21

3 7 8 7 3

4 14 4

3 9 12 9 3

13 4 31*

(1/16)11 11 4

FILTRAGE SPATIALE

CONVOLUTION DISCRÈTE 2D -RAPPEL-

g(x,y) = (f?filtre)(x,y) =? i? jf(x-i,y-j)filtre(i,j)

Remarque

•Généralement le masque est de dimension (DF) impair et symétrique. Dans ce cas (f?filtre)(x,y) =(DF-1)/2? i=-(DF-1)/2(DF-1)/2? j=-(DF-1)/2f(x+i,y+j)filtre(i,j) w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9Filtre(i , j)

Filtre(0,0)=w5

DF=3 g(x,y) =w1f(x-1,y-1) +w2f(x,y-1) +w3f(x+ 1,y-1) +w4f(x-1,y) +w5f(x,y) +w6f(x+ 1,y) +w7f(x-1,y+ 1) +w8f(x,y+ 1) +w9f(x+ 1,y+ 1) •Afin de conserver la moyenne de l"imagef(x,y), la somme des éléments du filtre est normalisée à1(i.e.,? iwi= 1) 5

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE DE MOYENNE (PASSE-BAS)

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 11/25 *

Filtre 5x5

1 1 1 1 1 1

1 1 11/9 *

Filtre 3x3

Exemple

?Filtre Passe-bas: diminue le bruit mais atténue les détails de l"image (flou) 6

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE GAUSSIEN (PASSE-BAS)

Gaussienne(x,y)= exp?-π(x2+y2)/σ2?

1 1 1 1 1 2 1 1 1

1 1(1/4) (1/4)*=

(1/4) 1 2 1* (1/4)=42 21 2 1 2 11

42 21 2 1

2 1142 21 2 1

2 11(1/16)

(1/16) (1/16)

Remarque

Idéalement on devrait prévoir un filtre (ou masque) de taille(6σ+ 1)×(6σ+ 1) 7

FILTRAGE SPATIALE

AUTRES FILTRES PASSE-BAS

Filtre Binomial

Les coefficients de ce filtre sont obtenus par le binome de Newton. Un filtre 1D Binomial du quatrième ordre donne le vecteur(1/16)(1 4 6 4 1). Le filtre 2D est 1 256

1 4 6 14

4 4 4 4

1 14 4616 16161624 246 624

2436

Filtre Pyramidal

1 1

12 3 2

2 4 4 26

96 63 32 4 6 4 21 2 3 281

1

Filtre Conique

10 0 0 0

00 0 0 000 02 2

2221 11

122
5225
8

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE MÉDIAN (1)

g(x,y) =médian{f(n,m) (n,m)?S} (Svoisinage de(x,y)) 30 20
10 25

2520 301010

10 20 20 25

25025bruit

médiane

30 30 250

Utile pour contrer l"effet d"un bruit Poivre & Sel (faux "0" et "255" dans l"image) 9

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE MÉDIAN (2)

- Exemple de bruit P & S avec gros agrégats - Si le bruit P & S est supérieur à la moitié de la dimension du filtre?filtrage inefficace. 10

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE ADAPTATIF

g(x,y) =?filtre PB[f(x,y)]si |filtrePB[f(x,y)]-f(x,y)|FILTRAGE SPATIALE

FILTRE DIRECTIONNEL

•Trouver le voisinage orienté tq

θ0= argminθ|f(x,y)-f?Vθ(x,y)|

•Calculer la moyenne (ou autre) suivantVθ

g(x,y) =f?Vθ0(x,y)

Image bruitée originale

4×4 7×2

12

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE PASSE-HAUT -OP. MATHÉMATIQUE- (1)

Filtre "High-boost"

Passe-bas Passe-haut (K= 1)

High boost=K(original)-Passe-bas(original)

g(x,y) =Kf(x,y)-f(x,y)?h(x,y) = (K-1)f(x,y) +?f(x,y)?δ(x,y)?-f(x,y)?h(x,y) = (K-1)f(x,y) +f(x,y)??δ(x,y)-h(x,y)? ? F

G(u,v) = (K-1)F(u,v) +F(u,v)?1-H(u,v)?

Passe-haut?

•K= 1Passe-haut

•K >1Rehaussement de Contour

13

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE PASSE-HAUT -OP. MATHÉMATIQUE- (2)

- Filtre3×3-

δ(x,y)-h(x,y) =

1 9 000 090
000 -19 111
111
111
=19 -1-1-1 -18-1 -1- 1-1 - Filtre5×5- 1 25
-1-1-1-1-1 -1- 1-1-1-1 -1- 124-1-1 -1- 1-1-1-1 -1- 1-1-1-1

Opérations sur les filtres de voisinage

Passe-bas

1 35
11111
12221
12321
12221
11111
=135? 11111
11111
11111
11111
11111
111
111
111
+1

Passe-haut

1 25
-1-1-1-1-1 -1-1-1-1-1 -1-124-1-1 -1-1-1-1-1 -1-1-1-1-1 =125? 11111
11111
11111
11111
11111
+25
14

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE PASSE-HAUT -OP. MATHÉMATIQUE- (3)

Détection de Point

Convolution avec

-1-1-1 -18-1 -1- 1-1 •Grande valeur positive?point blanc sur fond noir •Grande valeur négative?point noir sur fond blanc - Exemple - 55555

5551005

55555
-1-1-1 -18-1 -1- 1-1

00-95-95-95

00-95760-95

00-95-95-95

15

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE PASSE-HAUT -MASQUE DE DÉTECTION-

Détection des contours

- Contour d"une ligne - - Contour d"un objet - 16

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE PASSE-HAUT -GRADIENT- (1)

Le Gradient

•Soitf(x,y), alors

?f=?G x G y? =((∂f ∂x ∂f ∂y))

•Magnitude du Gradient

mag(?f) =? ?∂f ∂x? 2 +?∂f∂y? 2

Approximation de la Magnitude

mag(?f)≈ |∂f∂x|+|∂f∂y|

Direction du Gradient

θ= arctan?

∂f∂y/∂f∂x? 17

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE PASSE-HAUT -GRADIENT- (2)

Approximation du Gradient (enx)

•∂f∂x=limΔ

x→0f(x+ Δx,y)-f(x,y)Δx=limΔ x→0f(x,y)-f(x-Δx,y)Δx x=1?Masque de convolution?

1-1ou-11

•∂f∂x=limΔ

x→0f(x+ Δx,y)-f(x-Δx,y)2Δx x=1?Masque de convolution? 10-1

Approximation du Gradient (eny)

Masque de convolution?1

-1ou-1 1ou -1 0 1 ou 1 0 -1

Image original Gradient en x Gradient en y

18

FILTRAGE SPATIALE

FILTRE PASSE-HAUT -GRADIENT- (3)

Filtre de Robert

∂f ∂x≈f(x,y)-f(x-1,y-1) ∂f ∂y≈f(x-1,y)-f(x,y-1)

On obtient respectivement, les masques suivants,

10

0-1et01

-10 ?Sensible au bruit

Filtre de Prewitt

Filtre Moyenneur + Gradient

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