a b c n 3 La dernière phase : un produit scalaire de deux manières Le produit scalaire AH n peut se calculer de
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Première étape : Déterminer un vecteur normal au plan (ABC) Rappels les coordonnées d'un point du plan et on résout l'équation pour trouver d On a ces deux formules à notre disposition qui permettent de calculer des distances ; hélas
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E 1 Distance d'un point à un plan Pour tout point M du plan, le vecteur −−→ Il suffit de faire le calcul, en s'aidant des propriétés de bilinéarité et de sy- métrie : équation du plan (ABC), avec A(1, 0, 1),B(0, −1, −1) et C(−2, 1, 1) III
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On désigne par P le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 et par M0 le point de plan P 2 Le but de cette question est de calculer la distance d par une autre méthode On en déduit que le plan (ABC) est le plan P ou encore qu'une équation
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8 fév 2021 · La distance MH est la plus courte distance de M à un point du plan (P) (P) M H A Exemple : Calculer les coordonnées du projeté orthogonal H
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10 fév 2021 · du plan (AFH) 1) Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants : b) En déduire la distance du point A au plan (BDC) EXERCICE 12 a) Déterminer b et c pour que u soit normal au plan (ABC) b) En déduire
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Que représente le point H pour le triangle ABC ? 5 Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC) Calculer alors la distance du
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Exemple Calculer le point d'intersection des 2 droites suivantes : (d): x y z ⎛ ⎝ b) Montrer que la droite DE est incluse dans le plan ABC c) Montrer que Exercice 4 53 : Montrer que la distance du point P(15 ; -2 ; 5) au plan (α) : 3x – 2y +
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Vestiges d"une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l"espace rapporté à un repère orthonormé
Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)Formule donnant la distance entre un point et un plan L"espace est rapporté à un repère orthonormé
O; i, j,k? ? ?La distance entre le point
A A AA x ;y ;z
et le planP d"équation cartésienne
a.x b.y c.z d 0 est donnée par : A A A 2 2 2 a.x b.y c.z d distance A; a b c + +P Rappelons que la distance entre un point A et un ensemble E est la plus petite des distances AM existant entre le point A et chaque point M de E. La formule marche lorsque le point A appartient au plan P. Car alors, les coordonnées du premier vérifient l"équation du second. Donc A A A a.x b.y c.z d 0 . D"où : ( ) A A A2 2 2 2 2 2
a.x b.y c.z d 00 distance A;
a b c a b c+ + + P Dans la démonstration suivante, nous supposerons que le point A n"appartient pas à P. La preuve de la formule 1. Où la distance AM est-elle minimale ? Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des distances AM où M est un point quelconque de P. A priori, cette distance semble minimale lorsque le point M est le projeté orthogonal H du point A sur le plan P.Voyons pourquoi il en est ainsi !
Pour tout point N du plan P, le triangle
ANH est rectangle en H.
Donc en application du théorème de
Pythagore, il vient :
2 2 2AN AH HN
2 HN étant un réel positif ou nul, il vient alors :2 2 2 2
La racine est une fonction
croissante sur 0; .AN AH d"où AN AH donc AN AH
Conclusion :
la distance entre le point A et le plan P est égale à la distance existant entre le point A et son projeté orthogonal H sur P.2. Quelques conséquences
Comme le point H appartient au plan P alors H H H
Ses coordonnées en vérifient l"équation.
a.x b.y c.z d 0 Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du plan P d"équation a.x b.y c.z d 0 est abc( )( )( )( )( )n?.3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières
Le produit scalaire
.AHn????? peut se calculer de deux manières : Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère orthonormé : H AH A H A H A H A
H AH H H A A A A A A
dCar le point H appartient à
a x x .AH b . y y a x x b y y c z z c z za.x b.y c.z a.x b.y c.z a.x b.y c.z d n????? P ? En utilisant le fait que les vecteurs n? etAH????
ont même direction (mais pas nécessairement même sens)En effet, tout deux sont normaux
ou orthogonaux au plan P. Le plus ou moins indiquesi les vecteurs ont même sens. 2 2 2Norme dans un repère
orthonormé .AH AH a b c AH = ± + + ×n nAinsi venons-nous d"établir l"égalité :
2 2 2A A A
2 2 2A A A
On a passé l"égalité à la valeur absolue pour éliminer le et le .Rappelons qu"un réel positif est sa propre valeur absolue.
a.x b.y c.z d .AH a b c AH a.x b.y c.z d a b c AH + + + = + + ×n A A A