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Produit scalaire de l'espace.

Applications.

Exercice (d'après bac)

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;⃗i;⃗j;⃗k). On considère les points : A(0 ; 0 ; 2), B(0 ; 4 ; 0) et

C(2 ; 0 ; 0).

1. Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est :

2x+y+2z=4.

2. a. Déterminer une équation du plan P passant par A et orthogonal à la droite (BC).

b. Soit

Δla droite intersection du plan P et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la

droite Δ. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ?

3. a. Soit

Δ'la médiane issue de B du triangle ABC.

Montrer qu'une représentation paramétrique de

Δ'dans le triangle ABC est : {x=t

y=4-4t z=tt∈ℝb. Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

4. Soit H le point d'intersection des droitesΔetΔ'. Montrer que le point H a pour coordonnées

(8 9;4 9;8 9). Que représente le point H pour le triangle ABC ?

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Calculer alors la distance du

Produit scalaire de l'espace.

Applications.

Correction :

1. ⃗AB

(0 4 -2)⃗AC (2 0 -2)Les vecteurs ⃗ABet⃗ACne sont pas colinéaires.

Pour démontrer que

2x+y+2z=4est une équation du plan (ABC), il suffit de vérifier que les trois points A ;

B et C sont des solutions de l'équation proposée.

A(0;0;2)

2×0+0+2×2=4B(0;4;0)

2×0+4+2×0=4C(2;0;0)

2×2+0+2×0=4Conclusion : 2x+y+2z=4est une équation du plan (ABC).

2. a. Pest le plan passant par A(0;0;2)et de vecteur normal

⃗BC(2 -4 0).

M(x;y;z)appartient au plan P

⃗AM⋅⃗BC=0⇔

2×(x-0)-4×(y-0)+0×(z-2)=0⇔

2x-4y=0b.

⃗BC(2 -4

0)est un vecteur normal au plan P.

⃗n(2 1

2)est un vecteur normal au plan (ABC).

⃗BC=λ⃗n⇔{2=2λ -4=λ

0=2λ⇔{λ=1

λ=-4

λ=0les vecteurs

⃗BCet⃗nne sont pas colinéaires donc les plans (ABC) et P sont sécants.

Δest leur droite d'intersection.

{2x+y+2z=4

2x-4y=0On choisit

xetzpour inconnues etypour paramètre doncy=t1avec t1∈ℝ {2x+2z=4-t1

2x=4t1

Produit scalaire de l'espace.

Applications.

On obtient pour représentation paramétrique deΔest :{x=2t1 y=t1 z=2-5

2t1t1∈ℝ

Δest la droite passant parA(0;0;2)et de vecteur directeur⃗u (2 1 -5 2). (BC) est orthogonale au plan P donc orthogonale à toute droite contenue dans le plan P. Δest contenue dans PdoncΔest orthogonale à (BC).

Δest contenue dans (ABC) etΔest orthogonale à (BC) etΔpasse par le point A doncΔest la hauteur du

triangle ABC issue de A. 3. a. Δ'est la médiane du triangle ABC issue de B.

Soit I le milieu de [AC]. I(1;0;1).

Δ'=(BI)est la droite passant parB(0;4;0)et de vecteur directeur ⃗BI(1 -4 1). On obtient pour représentation paramétrique de {x=t y=4-4t z=tt∈ℝ b. ⃗AB (0 4 -2)AB2=16+4=20 ⃗AC (2 0 -2)AC2=4+4=8 ⃗BC(2 -4

0)BC2=4+16=20

Produit scalaire de l'espace.

Applications.

4. {x=2t1=t(1)

y=t1=4-4t(2) z=2-5

2t1=t(3)

On considère les équation (1) et (3) :

{x=2t1=t(1) z=2-5

2t1=t(3)

{t-2t1=0 t+5 2t1=2

On obtient 9

2t1=2soit t1=4

9et t=2t1=8

On vérifie pour l'équation (2) :

t1=4

9et 4-4t=4-4×8

9=4-32

9=4 9 Donc x=2t1=8

9 ; y=t1=4

9 ; z=t=8

9. Donc, H(8 9;4 9;8 9).

Le triangle ABC est isocèle de sommet principal B orΔ'est la médiane du triangle ABC issue de B donc

Δ'est aussi la hauteur du triangle ABC issue de B.

Δest la hauteur du triangle ABC issue de A.

Donc H est l'orthocentre du triangle ABC.

5. ⃗OH (8 9 4 9 8 9 )⃗n(2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Produit scalaire de l'espace.

Applications.

Exercice (d'après bac)

C(2 ; 0 ; 0).

1. Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est :

2x+y+2z=4.

2. a. Déterminer une équation du plan P passant par A et orthogonal à la droite (BC).

3. a. Soit

Δ'la médiane issue de B du triangle ABC.

Δ'dans le triangle ABC est : {x=t

4. Soit H le point d'intersection des droitesΔetΔ'. Montrer que le point H a pour coordonnées

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Calculer alors la distance du

Produit scalaire de l'espace.

Applications.

Correction :

1. ⃗AB

Pour démontrer que

2x+y+2z=4est une équation du plan (ABC), il suffit de vérifier que les trois points A ;

A(0;0;2)

2×0+0+2×2=4B(0;4;0)

2×0+4+2×0=4C(2;0;0)

2×2+0+2×0=4Conclusion : 2x+y+2z=4est une équation du plan (ABC).

2. a. Pest le plan passant par A(0;0;2)et de vecteur normal

M(x;y;z)appartient au plan P

2×(x-0)-4×(y-0)+0×(z-2)=0⇔

2x-4y=0b.

0)est un vecteur normal au plan P.

2)est un vecteur normal au plan (ABC).

0=2λ⇔{λ=1

λ=-4

λ=0les vecteurs

Δest leur droite d'intersection.

2x-4y=0On choisit

2x=4t1

Produit scalaire de l'espace.

Applications.

2t1t1∈ℝ

Soit I le milieu de [AC]. I(1;0;1).

0)BC2=4+16=20

Produit scalaire de l'espace.

Applications.

4. {x=2t1=t(1)

2t1=t(3)

On considère les équation (1) et (3) :

2t1=t(3)

On obtient 9

2t1=2soit t1=4

9et t=2t1=8

On vérifie pour l'équation (2) :

9et 4-4t=4-4×8

9=4-32

9 ; y=t1=4

9 ; z=t=8

Δest la hauteur du triangle ABC issue de A.

Donc H est l'orthocentre du triangle ABC.