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Devoir - 1 D

À faire pour le lundi 25 mars 2013Recommandations

Ces exercices vont vous faire travailler quelques notions du cours de trigonométrie. L"usage du cours

polycopié est fortement recommandé!Exercice résolu n o1

Énoncé

Sachant que cos

2¼5

AEp5¡14

1. en déd uirela v aleurexac tede cos

3¼5

2. calcule rla v aleurexa ctede sin

2¼5

et sin3¼5 3. et c ellede cos ¼5

Solution

1.

O nr emarquequ e:

2¼5

Å3¼5

AE¼()3¼5

AE¼¡2¼5

Or8x,x2?, cos(¼¡x)AE¡cos(x), donc : cos

3¼5

AE¡cos2¼5

AE¡p5¡14

AE1¡p5

4 2.

O nsait que 8x,x2?, cos2xÅsin2xAE1, donc :

sin

2µ2¼5

AE1¡cos2µ2¼5

()sin2µ2¼5

AE1¡Ã

p5¡14 2

AE10Å2p5

16 Or,

2¼5

2i

0;¼2

h , donc sin2¼5

È0.

Ainsi :

sin

2¼5

AEp10Å2p5

4

De plus,8x,x2?, sin(¼¡x)AEsin(x), donc :

sin

3¼5

AEsinµ

¼¡2¼5

AEsin2¼5

AEp10Å2p5

43¼52¼5

5

ÅÅ0¼

2 1

3.O nsait que 8x,x2?, cos2xAE1Åcos2x2, donc :

cos

2³¼5

AE1Åcos2¼5

2

AE1Åp5¡14

2

AE3Åp5

8

AE6Å2p5

16

AE1Å2p5Å516

AEÃ

1Åp5

4 2 Or, ¼5 2i

0;¼2

h , donc cos¼5

È0.

Donc :

cos ¼5

AE1Åp5

4

Exercice n

o2 1.

O ncon naîtl av aleurde cos

¼6 et celle de sin¼6 , (voir cours), a)

C alculerla v aleurexac tede cos

¼12

et celle de sin¼12 b) en dédui rel esv aleursexact esde cos

5¼12

, de cos7¼12 et de cos11¼12 2.

O ncon naîtl av aleurde cos ¼5

, (voir devoir précédent) a)

C alculerla v aleurexac tede cos

¼10

et celle de sin¼10 b) en dédui rel esv aleursexact esde cos

¡9¼10

et de sinµ

¡9¼10

Exercice résolu n

o3

Énoncé

SoitEl"équation trigonométrique : cosx¡p3sinxAE2. 1.

J ustifierl "équivalence:

E()12 cosx¡p3 2 sinxAE1 2.

I dentifierl "expression

12 cosx¡p3 2 sinxà l"expression d"un développement du type sin(x¡a). 3. E ndéduir ele ssol utionsd el "équationt rigonométriqueEsur [¡¼;¼].

Solution

1. E ndivi santpar 2 de ch aquecôt éde l "égalité,on obt ientl "équivalence. 2.

O nsait, d "aprèsle cour s,qu e

si n(a¡b)AEsinacosb¡cosasinb, quesin ¼6 AE12 et que c os¼6 AEp3 2 donc : 12 cosx¡p3 2 sinxAEsin¼6 cosx¡cos¼6 sinxAEsin³¼6

¡x´

3.

Résolu tionde E:

E()sin³¼6

¡x´

AE12

AEsin¼6

()8 >:¼6

AE¼6

¡xÅ2k¼

¼6

AE¼¡¼6

ÅxÅ2k0¼()8

:xAE2k¼ xAE¡2¼3

¡2k0¼

Ainsi, [¡¼;¼],SAE½

¡2¼3

; 0¾ 2

Exercice n

o4

Résoudre cosxÅsinxAEr3

2

Exercice n

o5, pour aller plus loin!

Soient®et¯deux nombres réels.

1. À quelle(s)condition(s)surcesdeuxnombres,sont-ilsrespectivementlecosinusetlesinusd"unangle 2.

S oientaetbdeux nombres réels. On munit le plan du repère orthonormé direct (O;~ı;~|), on note P le

point de coordonnées (a,b) etCle cercle trigonométrique de centre O. a)

Q uev autla distan ceOP ?

b) O nn oteM l ep ointd "intersectionde la d emi-droite[ OP)et du c ercleC. Déterminer les coor- données de M. c) Q uellespr opriétésn umériquesv érifientalors le scoor donnéesde M ? 3. E ndéduireque®et¯sontrespectivementlecosinusetlesinusd"unangleµsietseulementsi,ilexiste deux réelsaetbtels que :

®AEapa

2Åb2et¯AEbpa

2Åb2Coup de pouce

Soit M(®;¯). Le vecteur¡!OP est un vecteur directeur de la droite (OM), ses coordonnées sont¡a

b¢.

La distance OM vaut 1 ...Exercice n

o6, encore plus loin!

Soienta,betctrois nombres réels. On considère l"équation trigonométrique (E) :acosxÅbsinxAEc.

1. J ustifierq u"ilexist eu nu niqueréel µ0tel que : 8>><

02]¡¼;¼]

cosµ0AEapa

2Åb2et sinµ0AEbpa

2Åb2

2.

E ndéduir el "équivalence:

(E)()cos(x¡µ0)AEcpa

2Åb2

3.

Do nnerune c onditionnécess aireet s uffisantep ourqu el "équationt rigonométrique( E) admette au

moins une solution. 3

Correction devoir n

o4, 1 DExercice n o2 1. cos ¼6 AEp3 2 , sin¼6 AE12 a)

V aleurexact ede cos ¼12

et de sin¼12 cos

2¼12

AE1Åcos¼6

2

AE1Åp3

2 2

AE2Åp3

4

AE4Å2p3

8

AE1Å2p3Å38

AE(1Åp3)

28
sin

2¼12

AE1¡cos¼6

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28