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donc pour avoir :z( w(: < E, il suffi t queon ait :z w: < E/2r φ δ Page 24 2 Fonctions dZune variable complexe 24 2 4 Exercices

Par exemple

z=x+iyo`ux, y?R ou bien encore z=ρeiθ avecρ≥0 etθ?[0,2π[ `a 2kπpr`es. On a doncx=ρcosθ,x=ρsinθ. Rappelons aussi que|z|=? x2+y2=ρ et que z= 0?ρ= 0?x= 0 ety= 0. Remarque 1Onne doit pasutiliser les relations d"ordre>et2.1.2 Disques

Disque ouvert :D(a,r) ={z?C||z-a|< r}.

2.1.3 Chemins

Un cheminL(z1,z2) du plan complexe peut ˆetre caract´eris´e par une fonction γ`a valeurs complexesz(t) =γ(t) du param`etre r´eelt?[α,β]. La fonctionγest continue ent, `a d´eriv´ee entcontinue par morceaux . Remarque 21. On peut consid´erer avec profit une image en terme de cin´ematique du point mat´eriel dans le plan : on consid`ere quez(t)repr´esente la po- sition `a l"instanttd"un point mobileM. Le pointMest autoris´e `a un 1

2CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

αβz(t)

tγ(t) z

1=γ(α)z

2=γ(β)

changement brusque de direction en certains points de sa trajectoire, en dehors de ces points la vitesse est une fonction continue.

2. On peut avoirγ(t1) =γ(t2)pour des tempst1ett2diff´erents.

2.1.4 Chemins homotopes

Deux cheminsLetL?ayant mˆemes extr´emit´es sont ditshomotopess"il est possible de les d´eformer l"un en l"autre d"une mani`ere continue (intuitivement : sans les d´echirer `a aucun moment au cours de cette d´eformation). Remarque 3Cette derni`ere op´eration si elle est toujours possible dansCtout entier, n"est pas toujours possible dansC- {a}. aL L ?z1z 2

2.1.5 Domaine connexe

C"est un ensembleDde points du plan complexeCtels que

1. Chaque pointz0deDpeut ˆetre le centre d"undisque ouvertenti`erement

contenu dansD.

2. Deux points quelconquesz1etz2deDpeuvent ˆetre reli´es entre eux par

un cheminLenti`erement contenu dansD.

2.2. S´ERIES ENTI`ERES3

Lz 1z 2

2.1.6 Domaine simplement connexe

C"est un domaine connexeDo`u deux chemins quelconques joignant deux points arbitrairesz1etz2deDsont homotopes tout en restant dansD. Exemple 4Un disque ouvert est simplement connexe alors que le domaine pr´ec´edent ne l"est pas.

2.2 S´eries enti`eres

2.2.1 D´efinition

Les polynˆomes `a coefficients complexesz?→ P(z) =a0+a1z+···adzd peuvent ˆetre vus comme des fonctions deCdansC. On a envie de passer des sommes finies aux sommes infinies. D´efinition 5On appelles´erie enti`ereune s´erie de fonctions? n≥0fnde la forme f n(z) =anzn.

On la note

?anzn. Exemple 6On appelles´erie exponentiellela s´erie enti`ere de terme g´en´eral z n/n!,n≥0.

2.2.2 Rayon de convergence

Th´eor`eme 1Soit?anznune s´erie enti`ere. Il existe un nombreR?[0,+∞] tel que

1. Si|z|< R, la s´erie?anznest absolument convergente.

2. Si|z|> R, la s´erie?anznest divergente.

D´efinition 7On appelle le nombre fourni par le th´eor`eme 1 lerayon de conver- gencede la s´erie enti`ere?anzn. Le disqueD={z?C||z|< R}s"appelle le disque de convergencede la s´erie enti`ere?anzn.

4CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

Exemple 8Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere?znest ´egal `a 1. Sur le disque de convergence, la somme de cette s´erie vaut1 1-z. toutztel que|z|<1, doncR≥1. On conclut queR= 1. L"identit´e remarquable

1 +z+···+zN-1=1-zN

1-z montre que si|z|<1, les sommes partielles de la s´erie convergent vers1 1-z. Exemple 9Le rayon de convergence de la s´erie exponentielle est ´egal`a+∞. En effet, pour toutz?C, on peut appliquer le crit`ere de d"Alembert au module |zn/n!|.

2.2.3 D´erivation terme `a terme

D´efinition 10Soitz0?C, soitr >0. Soitfune fonction d´efinie sur le disque de centrez0et de rayonrdansC. On dit quefestd´erivable au sens complexe s"il existe??Ctel que lim h→0|f(z0+h)-f(z0) h-?|= 0. Le nombre?s"appelle lad´eriv´eedefenz0, not´eef?(z0). Exemple 11Un polynˆomez?→ P(z) =a0+a1z+···adzdest d´erivable au sens complexe, de d´eriv´eeP?(z0) =a1+ 2a2z0+···+dadzd-10. Th´eor`eme 2Soit?anznune s´erie enti`ere dont le rayon de convergence n"est pas nul. Alors sa sommef(z) =?∞n=0anznest d´erivable au sens complexe sur le disque de convergence, et sa d´eriv´eef?s"obtient en d´erivant terme `a terme, f ?(z) =∞? n=0na nzn-1=∞? n=0(n+ 1)an+1zn. Preuve.Utiliser le th´eor`eme de d´erivation dans l"int´egrale, pour la mesure de d´ecompte.

2.2.4 S´eries de Laurent

D´efinition 12Unes´erie de Laurent, c"est une s´erie de fonctions de la forme? n?Zanzn, i.e. une s´erie de puissances positives et n´egatives dez.

Pour que

n?Zanznconverge, il faut et il suffit que les s´eries?∞n=0anznet?∞n=1a-n(1/z)nconvergent. Par cons´equent, une s´erie de Laurent poss`ede une

couronne de convergenceA={R1<|z|< R2}. Le th´eor`eme de d´erivation terme `a terme (Th´eor`eme 2) s"´etend aux s´eries de Laurent.

2.3. FONCTIONS HOLOMORPHES DANS UN DOMAINE5

2.3 Fonctions holomorphes dans un domaine

2.3.1 D´efinition

Soitz=x+iy?Detz?→f(z)≡f(x+iy) une fonction d´efinie pourz?D. D´efinition 13La fonctionfestholomorphe dansD,si l"une des troiscondi- tions suivantes (I, II ou III) est satisfaite I.La fonctionfest d´erivable au sens complexeen tout pointz0deD. II.Si on d´ecomposef(x,y)en parties r´eelleP(x,y)et imaginaireQ(x,y) f(x,y) =P(x,y) +iQ(x,y)

1. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)sont continues en tout pointz=x+iy

deD.

2. Les d´eriv´ees partiellesP?xP?yQ?xQ?yexistentet sontcontinuesenx

etyen tout point deD.

3. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)satisfont auxconditions de Cauchy-Riemann

en tout point deD.∂P ∂x(x,y)-∂Q∂y(x,y) = 0 ∂P ∂y(x,y) +∂Q∂x(x,y) = 0 III.Pour toutz0?D, la fonctionh?→f(z0+h)est ´egale, au voisinage de

0, `a la somme d"une s´erie enti`ere de rayon de convergence non nul

f(z0+h) =∞? n=0a n(z0)hn. Remarque 141. Les propri´et´esI,IIetIIIsont ´equivalentesseulement lorsqu"on consid`ere un domaineD. Elles ne sont plus ´equivalentes si on ne consid`erequ"un seul point. On dit que ce sont des propri´et´eslocalement

´equivalentes mais pas ponctuellement.

2. Les conditions de Cauchy-Riemann seules (cf. la d´efinition II) n"assurent

pas l"holomorphie.

3. La condition III s"appelle traditionellement conditiond"analyticit´e.

Proposition 151. Une fonction holomorphe dansDest continue en tout point deD.

2. Une fonction holomorphe dansDest born´ee sur tout disque ferm´e (plus

g´en´eralement une union finie de tels disques) contenu dansD.

2.3.2 Exemples de fonctions holomorphes

1.z?→z.

2.z?→ P(z) o`uPest un polynˆome enz.

3.z?→eaz= 1 +az+1

2(az)2+...+1n!(az)n+..., o`ua?C.

Ces trois derni`eres fonctions sont holomorphes dans tout le plan complexe.

6CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

4.z?→1

z, qui est holomorphe dansC- {0}.

5.z?→P(z)

Q(z), o`uPetQsont des polynˆomes enz, est holomorphe dansC priv´e des racines de l"´equationQ(z) = 0.

6. La d´eriv´eep-`emef(p)d"une fonctionfholomorphe dansDest holomorphe

dansD. (En d´eduire quean=1 n!f(n)(z0)).

2.3.3 Propri´et´es alg´ebriques des fonctions holomorphes

Supposons donn´ees deux fonctionsz?→f(z) etz?→g(z) holomorphes dans un domaine communDdu plan complexe. On a alors

1.af(z) +bf(z) qui est holomorphe dansDpouraetb?C.

2.f(z)g(z) est holomorphe dansD.

3. f(z) g(z)est holomorphe dansDpriv´e des points deDo`ug(z) = 0.

4. (Loi de composition des fonctions holomorphes) Soientz?→f1(z) holo-

morphe dansD1etz?→f2(z) holomorphe dansD2et supposons que l"imagef(D1) soit contenue dansD2, on a alors :z?→f2(f1(z)) qui est holomorphe dansD1.

2.4 Int´egrales le long de chemins du plan com-

plexe

2.4.1 D´efinition

D´efinition 16SoitL: [α,β]→γ(t)un chemin du plan complexe. Soit z?→f(z)une fonction de la variable complexez, qu"on suppose holomorphe dans un domaineDcontenant le cheminL. On appelleint´egrale defle long deL, la quantit´e not´ee?

Lf(z)dzdonn´ee par

L f(z)dz=? [α,β]f(γ(t))dγ(t) dtdt. Remarque 17Bien quef(z)soit une fonction continue enzet quedγ(t) dtsoit continue par morceaux ent, nous consid´erons ici que l"int´egrale est prise au sens de Lebesgue, alors que Riemann suffirait. Cela facilitera la formulation d"un certain nombre de th´eor`emes. Remarque 18En d´ecomposantf(z)en partie r´eelle et imaginaire f(z) =P(x,y) +iQ(x,y) de mˆeme pourγ(t) =x(t) +iy(t). On pourra encore ´ecrire?

Lf(z)dzsous la

forme d"une int´egrale curviligne dans le plan des variables r´eellesxety, L f(z)dz=? L

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx

2.4. INT´EGRALES LE LONG DE CHEMINS DU PLAN COMPLEXE7

Il est tr`es instructif de consid´erer l"analogie m´ecanique suivante. On peut dire que? Lf(z)dzrepr´esente le travail accompli par la forcef(z) appliqu´ee sur un point mobile se trouvant au pointz(t) `a l"instanttsur la trajectoireL, lorsqu"il parcourt tout le cheminLavec la vitessedγ(t) dt.

Proposition 19L"int´egrale?

Lf(z)dzestind´ependantede la param´etrisation prise pour d´ecrireL. Ceci veut dire que sit??[α?,β?]→z(t?) =μ(t?) est une autre param´etrisation

´equivalente

1deL, L f(z)dz=? [α,β]f(μ(t?))dμ(t?) dt?dt?=? [α,β]f(γ(t))dγ(t)dtdt. L"analogue en m´ecanique du point de cette propri´et´e n"est autre que l"invariance, par rapport `a la vitesse du point mobile, du travail accompli par une force appliqu´ee sur ce point lors de son d´eplacement le long d"unchemin donn´e. Proposition 20SoitL-un chemin identique `aLmais d´ecrit en sens inverse par la param`etrisation t?[α,β]→z(t) =γ-(t)?L- avecγ-(α) =γ(β)etγ-(β) =γ(α), alors L f(z)dz=-? L -f(z)dz. LL Proposition 21(Formule de majoration). Soitfholomorphe dans un domaine connexeDetL: [α,β]→z(t)un chemin contenu dansD. Alors L z?L|f(z)|, o`uλ(L)est la longueur deL.

1C"est `a dire quet?= Φ(t) etγ(t) =μ(Φ(t)) o`u Φ est une fonction continue croissante `a

d´eriv´ee continue par morceaux, appliquant de fa¸con bijective [α,β] sur [α?,β?].

8CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

Preuve.On peut ´ecrire

L f(z)dz|=|? [α,β]f(γ(t))γ?(t)dt| [α,β]|f(γ(t))||γ?(t)|dt z?L|f(z)|)? [α,β]|γ?(t)|dt.

Commeγ?(t) =x?(t) +iy?(t), on a

|γ?(t)|=? (x?(t))2+ (y?(t))2. D"autre part, il est bien connu en g´eom´etrie que (x?(t))2+ (y?(t))2dt=λ(L). Proposition 22Soitf(z)holomorphe dans un domaine connexeDetL: [α,β]→z(t)un chemin contenu dansD. On a alors L f?(z)dz=f(z(β))-f(z(α)). Preuve.PosonsF(t) =f(z(t)). Par la formule des d´eriv´ees compos´ees (la d´eriv´eez?(t) est d´efiniep.p./dt) dF(t) dt=dfdz.dz(t)dt=f?(z).dz(t)dt, d"o`u L f?(z)dz=? [α,β]f?(z)dz(t) dtdt [α,β]dF(t) dtdt =F(β)-F(α) =f(z(β))-f(z(α)).

2.4.2 Th´eor`eme de Cauchy

D´efinition 23Un chemin ayant ses extr´emit´es confondues est unlacet, on dit aussi souventcircuitoucontour. Th´eor`eme 3Soitfune fonction holomorphe dans un domaine simplement connexeD, soitCun circuit enti`erement contenu dansD. Alors C f(z)dz= 0. Preuve.Nous nous contenterons d"une d´emonstration utilisant lespro- pri´et´es des champs de vecteurs en analyse vectorielle.

2.5. TH´EORIE DE CAUCHY9

Consid´erons les d´ecompositions en parties r´eelles et imaginaires z(t) =x(t) +iy(t), f(z) =P(x,y) +iQ(x,y). Alors C f(z)dz=? C

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx.

On suppose connue la formule du rotationnel (formule de Green-Riemann) pourquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Par exemple

Disque ouvert :D(a,r) ={z?C||z-a|< r}.

2.1.3 Chemins

2CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

αβz(t)

1=γ(α)z

2=γ(β)

2. On peut avoirγ(t1) =γ(t2)pour des tempst1ett2diff´erents.

2.1.4 Chemins homotopes

2.1.5 Domaine connexe

1. Chaque pointz0deDpeut ˆetre le centre d"undisque ouvertenti`erement

2. Deux points quelconquesz1etz2deDpeuvent ˆetre reli´es entre eux par

2.2. S´ERIES ENTI`ERES3

2.1.6 Domaine simplement connexe

2.2 S´eries enti`eres

2.2.1 D´efinition

On la note

2.2.2 Rayon de convergence

1. Si|z|< R, la s´erie?anznest absolument convergente.

2. Si|z|> R, la s´erie?anznest divergente.

4CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

1 +z+···+zN-1=1-zN

2.2.3 D´erivation terme `a terme

2.2.4 S´eries de Laurent

Pour que

2.3. FONCTIONS HOLOMORPHES DANS UN DOMAINE5

2.3 Fonctions holomorphes dans un domaine

2.3.1 D´efinition

1. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)sont continues en tout pointz=x+iy

2. Les d´eriv´ees partiellesP?xP?yQ?xQ?yexistentet sontcontinuesenx

3. Les fonctionsP(x,y)etQ(x,y)satisfont auxconditions de Cauchy-Riemann

0, `a la somme d"une s´erie enti`ere de rayon de convergence non nul

´equivalentes mais pas ponctuellement.

2. Les conditions de Cauchy-Riemann seules (cf. la d´efinition II) n"assurent

3. La condition III s"appelle traditionellement conditiond"analyticit´e.

2. Une fonction holomorphe dansDest born´ee sur tout disque ferm´e (plus

2.3.2 Exemples de fonctions holomorphes

1.z?→z.

2.z?→ P(z) o`uPest un polynˆome enz.

3.z?→eaz= 1 +az+1

2(az)2+...+1n!(az)n+..., o`ua?C.

6CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

4.z?→1

5.z?→P(z)

6. La d´eriv´eep-`emef(p)d"une fonctionfholomorphe dansDest holomorphe

2.3.3 Propri´et´es alg´ebriques des fonctions holomorphes

1.af(z) +bf(z) qui est holomorphe dansDpouraetb?C.

2.f(z)g(z) est holomorphe dansD.

4. (Loi de composition des fonctions holomorphes) Soientz?→f1(z) holo-

2.4 Int´egrales le long de chemins du plan com-

2.4.1 D´efinition

Lf(z)dzdonn´ee par

Lf(z)dzsous la

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx

2.4. INT´EGRALES LE LONG DE CHEMINS DU PLAN COMPLEXE7

Proposition 19L"int´egrale?

´equivalente

1C"est `a dire quet?= Φ(t) etγ(t) =μ(Φ(t)) o`u Φ est une fonction continue croissante `a

8CHAPITRE 2. FONCTIONS D"UNE VARIABLE COMPLEXE

Preuve.On peut ´ecrire

Commeγ?(t) =x?(t) +iy?(t), on a

2.4.2 Th´eor`eme de Cauchy

2.5. TH´EORIE DE CAUCHY9

P(x,y)dx-Q(x,y)dy+i?

P(x,y)dy+Q(x,y)dx.