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MÉTHODES

DE

CLASSIFICATION

Pierre-Louis GONZALEZ

2

MÉTHODES DE CLASSIFICATION

Objet Opérer des regroupements en classes homogènes d'un ensemble d'individus.

Données

Les données se présentent en général sous la forme d'un tableau individus variables.

1. Ayant défini un critère de distance

(dissemblance) ou dissimilarité (pas nécessairement d'inégalité triangulaire) entre les individus, on procède au regroupement des individus.

2. Ce regroupement nécessite une stratégie de

classification : critère de classification. 3

MÉTHODES

NON HIERARCHIQUES

Partition en k classes

Exemples

: Centres mobiles

Nuées dynamiques

Avantages

: Permettent la classification d'ensembles volumineux.

Inconvénients

: On impose au départ le nombre de classes. 4 HIÉRARCHIQUES : suites de partitions emboîtées ab c de a, b, c, d, e ab, c, d, e abc, de abcdeOU

Avantages

: La lecture de l'arbre permet de déterminer le nombre optimal de classes.

Inconvénients

: Coûteux en temps de calcul. 5

Éléments de vocabulaire

classification automatique classification non supervisée apprentissage sans professeur Le terme " classification » en anglais fait référence à l'affectation d'un individu à une classe (existant a priori) dans le cadre de l'analyse discriminante. Il se traduit en français par le terme classement L'équivalent en anglais de " classification automatique » est " cluster analysis ». 6

Éléments de vocabulaire

E : ensemble des n objets à classer

Dissimilarité

: dij dji,, dii,0 dij,0

Similarité

: sij sji,, sij,0 sii sij,, 7

I. MÉTHODES DE PARTITIONNEMENT

1. Considérations combinatoires

P nk, = nombre de partitions en k classes de n individus P nk, = PkP nk nk

11 1,,

(récurrence) (nombre de Stirling de 2

ème

espèce) Ex : P 12 5

1379400

P n = nombre total de partitions (nombres de Bell) Ex : P 12

4 213 597

Nécessité d'algorithmes pour trouver une bonne partition. Comment définir la qualité d'une partition ? 8

2. Inertie intra-classe et Inertie inter-classe

n points dans un espace euclidien dii 2 , distance euclidienne

Soit une partition en k classes de poids

P i gg g k12 , ... centres de gravité II I k12 ,... inerties associées IPI Wii inertie intra IPdgg Bii 2 , inertie inter II I BW g = centre de gravité des n individus g 1 g 2 g k g xx xx x x x x xxxx x xx xx x x x x xxxx x x x x xx xx xx x x x xxx x xx xx 9

Comparaison de deux partitions en k classes

: La meilleure est celle qui a l'inertie I W la plus faible (ou l'inertie I B la plus forte). Remarque : Ce critère ne permet pas de comparer des partitions à nombres différents de classe.

3. Méthode des centres mobiles

x x x xx x x x xx x c 1 xxx x x xx x x xx x xx x x xx x x xx x xx x xx x c 2 c 3 x 1

ère

étape : choix de centres c

i et partition associée (les c i sont choisis au hasard).

La classe

E c i est formée de tous les points plus proches de c i que de tout autre centre. 10 2

ème

étape : calcul des centres de gravité de chaque classe définition d'une nouvelle partition. x x x x x x xx x xxx x x x xx x x xx x x x xxxx x x x g 12 g 32
g 22
xx + itérations successives x

RÉSULTAT FONDAMENTAL

L'inertie intra-classe diminue à chaque étape.

Démonstration

Soit E g i la classe obtenue en remplaçant c i par g i2 centre de gravité de E c i

D'après le théorème de Konig-Huygens,

g i n'étant pas le centre de gravité de E g i 1 2 1 ndg Ei ik gi , est supérieur à l'inertie intra-classe de la partition E g i 11

Il suffit de montrer alors que :

11 2 11 ndjgn jEi ik ik ci d E gi 2 ,g i Or, si on considère un point quelconque, il figurera dans le membre de droite avec son carré de distance au g i qui sera le plus proche de lui par construction des E g i , tandis que dans le membre de gauche, il figurera avec sa distance à un g i qui ne sera pas forcément le plus proche de lui, mais qui sera seulement son centre de gravité dans la partition E c i

Le nuage étant fini, l'algorithme converge

L'expérience montre que le nombre d'itérations nécessaires est en général faible. 12

EXEMPLE : Méthode des Centres Mobiles

Etape 0

c 1 c 2quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20