Toutes les fonctions citées ci-dessus sont des fonctions reliant une variable à deux ou trois autres variables Page 6 Sommaire Concepts Exemples Exercices
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f(x, y) = ln(x2 + y2 − 2y + 4x) (penser à la forme canonique) 2 Continuité, dérivées partielles Exercice 6 Montrer que les fonctions suivantes sont continues en (0,
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Donc ∂f ∂y (x0,y) n'a pas de limite quand y tend vers 0 et la fonction ∂f ∂y n' est pas continue en (x0,0) si x0 = 0 On a montré que f est de classe C1 sur Ω ∪
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TD3 – Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables Exercice 1 Montrer d' après la definition que la fonction : f(x, y) = x2 + y2 est différentiable dans R2
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fonctions de plusieurs variables : corrigés des exercices 1 b) La fonction f possède des dérivées partielles en tout point distinct de l'origine, puisqu'elle
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MT22-Fonctions de plusieurs variables etapplicationsChapitre 1 : Fonctions de plusieurs variables ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉESUTC-UTT5
SommaireConceptsExemplesExercicesDocuments2SommaireI Fonctions de plusieurs variables3I.1 Fonctions de deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4I.2 Fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46A Exercices52A.1 Exercices de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54A.2 Exercices de TD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93B Documents119
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssuivantI3Chapitre IFonctions de plusieurs variablesI.1 Fonctions de deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4I.2 Fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsection suivanteI4III.1 Fonctions de deux variablesNotations-Domaine de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . .6Eléments de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8Définition de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Continuité-propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Composée de fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . .13Etude de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Différentiabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Dérivées partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20Différentiabilité-continuité-dérivées partielles. . . . . . . . . .22Condition suffisante de différentiabilité. . . . . . . . . . . . . .24Dérivées partielles d"ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . .27Composition et dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32Formule des accroissements finis-formule de Taylor. . . . . . .34Calcul approché. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Théorème des fonctions implicites. . . . . . . . . . . . . . . . .38Extrema d"une fonction de deux variables. . . . . . . . . . . .41Certains phénomènes naturels nécessitent, pour leur analyse, l"étude de plu-
sieurs paramètres, ainsi :SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentschapitreNsection suivanteIJJ5-La pression atmosphérique à la surface de la terre dépend de l"altitude, de
la longitude et de la latitude.-La période d"un pendule estT= 2qlg=f(l;g).-La pression d"un gaz parfait de volume V à la température T estp=NRTV=
f(T;V).-La chaleur dégagée par effet Joule dans une résistance estP=RI2t= f(R;I;t). Toutes les fonctions citées ci-dessus sont des fonctions reliant une variableà deux ou trois autres variables.
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentssectionNsuivantI6IINotations-Domaine de définitionExercices:Exercice A.1.1Un vecteur de l"espace vectorielIR2est un couple(x;y). Si on munit le plan
d"un repère orthonormé d"origineO, on peut donc identifier ce vecteur et le pointMdu plan de coordonnéesxety.
Lanorme euclidiennede ce vecteur sera notée suivant les cas : !OM ou x y ouk(x;y)ket elle est égale àpx2+y2: On définit leproduit scalairede deux vecteurs par :!OM1:!OM2=x1x2+y1y2; d"où !OM2=!OM:!OM:
Puisque l"on peut identifier le vecteur(x;y)deIR2au pointMdu plan de coordonnées(x;y), on notera indifféremmentf: IR2!IRpar : f: (x;y)!f(x;y) ou par f:M!f(M)Domaine de
définitionou enfin par f:x y !f(x;y): Une fonction de 2 variables n"est pas toujours définie surIR2tout entier, mais seulement sur un sous ensemble appelé domaine de définition. Ce domaine de définition est une surface, sous ensemble du planxOy.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI8IIEléments de topologieExercices:Exercice A.1.2Exercice A.1.3Exercice A.1.4Définition I.1.1Aétant donné dansIR2, on appelle disque ouvert de centre A et
de rayon >0le sous ensemble deIR2défini parB(A;) =fM2IR2;
!AM < g:Définition I.1.2On appelle ouvertOdeIR2une partie deIR2qui est vide ou qui vérifie la propriété suivante : pour tout point A deO, il existe un disque ouvertcentré en A et contenu dansO.Proposition I.1.1Oest un ouvert deIR2, si et seulement siOest vide ouOest
la réunion d"un nombre quelconque de disques ouverts. La proposition précédente donne une propriété caractéristique des ouverts, elle aurait pu être donnée comme définition. Cette proposition se démontre très facilement. SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ9Eléments de topologieDéfinition I.1.3On appelle fermé tout sous ensemble deIR2qui est le complé-mentaire d"un ouvert.Proposition I.1.2L"intersection d"un nombrefinid"ouverts est un ouvert.Définition I.1.4Soit A un point deIR2, on appelle voisinage de A toute partie V
deIR2qui contient un ouvert contenant A.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI10Définition de la continuitéExercices:Exercice A.1.5Exercice A.1.6Définition I.1.5Dest un ouvert deIR2,M02D, soitfune fonction définie sur
D, sauf éventuellement enM0, à valeurs dansIR, on dit quefadmet une limite `au pointM0, si8" >0;9 >0tel que8M2D;f0<
!M0M < =) jf(M)`)j< "g:Définition I.1.6Dest un ouvert deIR2,M02D, on dit qu"une fonctionf:D!IRest continue au pointM0, si
8" >0;9 >0tel que8M2D;f
!M0M < =) jf(M)f(M0)j< "g: On peut relier la définition de continuité et de limite : la fonctionfest conti- nue enM0si elle admet une limite`enM0et si cette limite vérifie`=f(M0). Géométriquement la continuité signifie que lorsque le pointMtend versM0 (dans le planxOy), la valeur réellef(M)tend versf(M0). La surfaceSd"équa- tionz=f(x;y), n"a pas de "trou" au point d"abscissex0et d"ordonnéey0.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI11IIContinuité-propriétésExercices:Exercice A.1.7Exercice A.1.8Proposition I.1.3(x0;y0)étant donnés, à partir de la fonctionfde 2 variables
on définit les fonctions d"une variablef1etf2par f1(x) =f(x;y0);f2(y) =f(x0;y)
Si la fonctionf: IR2!IRest continue en(x0;y0), alorsf1est continue enx0et f2est continue eny0.Remarque I.1.1L"ensembleC1des points de coordonnées(x;y0;f1(x))est une
courbe tracée sur la surfaceSd"équationz=f(x;y). De même l"ensembleC2des points de coordonnées(x0;y;f2(y))est une courbe tracée sur la surfaceSd"équa- tionz=f(x;y).C1est la courbe intersection deSavec le plan d"équationy=y0, C2est la courbe intersection deSavec le plan d"équationx=x0.
La propositionI.1.3donne une condition nécessaire pour que la fonctionf soit continue en(x0;y0), elle est utile pour démontrer quefn"est pas continue. propriétésProposition I.1.4Dest un ouvert deIR2, soientfetgdeux fonctionsD!IR,soitM02D-sifetgsont continues enM0,f+gest continue enM0.-sifest continue enM0, siest un paramètre réel,fest continue enM0.-sifetgsont continues enM0,fgest continue enM0.-sifetgsont continues enM0, et sig(M0)6= 0,fgest continue enM0.
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI13IIComposée de fonctions continuesExercices:Exercice A.1.9La composée de fonctions continues est continue, nous allons expliciter cette
propriété fondamentale dans quelques cas particuliers maintenant.Proposition I.1.5Soientetdeux fonctions réelles définies sur un voisinage
det0et continues ent0, on notex0=(t0);y0=(t0). Soitfune fonction définie sur un voisinage de(x0;y0)à valeurs dansIR. On définit la fonction réellepar(t) =f((t);(t)). Sifest continue au point(x0;y0), alors la fonctionest continue ent0. La propositionI.1.3est un cas particulier de la propositionI.1.5, le démon- trer en exercice.Proposition I.1.6Soienta,betftrois fonctions deIR2!IROn définit (u;v) =f(a(u;v);b(u;v)).
Si les fonctionsaetbsont définies au voisinage du point(u0;v0)et continues en ce point, sifest définie au voisinage du point(a(u0;v0);b(u0;v0))et continue en ce point. alors la fonction est continue au point(u0;v0) SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ14Composée de fonctions continuesProposition I.1.7Soitf: IR2!IRune fonction définie dans un voisinage de M0et continue enM0,
soit: IR!IRdéfinie dans un voisinage def(M0)et continue enf(M0), alors f: (x;y)7!(f(x;y)) est continue enM0.On ne démontrera pas ces propositions.
Les propositionsI.1.4,I.1.5,I.1.6,I.1.7nous permettent de conclure quant àla continuité dans la majorité des cas. Par exemple :-x3y5+6xy2et de façon plus générale tout polynôme enx;yest une fonction
continue en tout pointM0.-cosxy,exp(x3+y5)sont continues en tout pointM0.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI15IIEtude de la continuitéExercices:Exercice A.1.10Exercice A.1.11Exercice A.1.12Exercice A.1.13Proposition I.1.8SoitM0(x0;y0)etM(x;y), on pose
x=x0+rcos;y=y0+rsin;(r >0);alors !M0M =r:Si l"on peut montrer quejf(M)f(M0)j "(r)
où"est une fonction réelle (qui ne dépend que der) dont la limite est nulle quandrtend vers0, alorsfest continue enM0: La proposition précédente permet de démontrer la continuité , c"est une condition suffisante de continuité. Pour démontrer qu"une fonctionfn"est pas continue enM0, on peut utiliserla propositionI.1.5que l"on va énoncer différemment :Proposition I.1.9Soientetdeux fonctions réelles définies sur un voisinage
det0et continues ent0, on notex0=(t0);y0=(t0). SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ16IIEtude de la continuitéSoitfune fonction définie sur un voisinage de(x0;y0)à valeurs dansIR. On définit la fonction réellepar(t) =f((t);(t)). Sin"est continue ent0alors la fonctionfn"est pas continue au point(x0;y0). Là encore on est ramené à étudier une fonction réelle. Pourquoi la proposi- tion précédente est-elle équivalente à la propositionI.1.5? Etudions 2 exemples :-On définit la fonctionfpar : f(x;y) =x3yx2+y2;si(x;y)6= (0;0); f(0;0) = 0: Montrer en exercice quejf(M)f(O)j r2. En déduire quefest continue enO.-On définit la fonctionfpar : f(x;y) =xyx2+y2;si(x;y)6= (0;0); f(0;0) = 0: Poser(t) =t;(t) =t;(t) =f((t);(t)), montrer en exercice que la fonctionn"est pas continue en0, en déduire quefn"est pas continue en (0;0). Dans l"exemple précédent, lorsquet!0, le pointM(t) = (t;t)tend versOenrestant sur la droite d"équationy=x. On a donc démontré dans l"exerciceA.1.12que lorsqueMtend versOle long du chemin d"équationy=x,f(M)ne tend
pas versf(O), donc la fonctionfn"est pas continue enO. SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ17Etude de la continuitéPour démontrer quefn"est pas continue enM0, il suffit de trouver un chemin particulier qui passe parM0tel que quandMtend versM0le long de ce chemin, f(M)ne tend pas versf(M0). Bien sûr même lorsquefn"est pas continue en M0, il est parfois possible de trouver des chemins passant parM0sur lesquels
quandMtend versM0,f(M)tend versf(M0). Reprendre l"exerciceA.1.12SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI18IIDifférentiabilitéExercices:Exercice A.1.14Exercice A.1.15Revoyez le chapitre dérivation des fonctions d"une variable dans le polycopié
de MT21. On y a défini la dérivabilité dans le cas d"une fonctionfdeIRdansIR.Définition I.1.7Dest un intervalle ouvert deIR, on dit qu"une fonctionf:
D!IRest dérivable enx0appartenant àD;si la limite suivante existe : d= limh!0f(x0+h)f(x0)h Dans ce cas on dit que le nombredest la dérivée defau pointx0et on note d=dfdx(x0):On a démontré la proposition suivante :Proposition I.1.10Une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction
fsoit dérivable au pointx02Dest qu"il existed2IRet une fonction"tels que ,SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ19Différentiabilitépourx0+h2D, on puisse écrire :
f(x0+h) =f(x0) +hd+jhj"(h);aveclimh!0"(h) = 0 La propositionI.1.10donne une autre caractérisation possible de la dériva-bilité, c"est cette caractérisation qui sert à définir la notion de différentiabilité
dans le cas d"une fonction de 2 variables.Définition I.1.8Dest un ouvert deIR2, on dit qu"une fonction
f:DIR2!IRest différentiable au point(x0;y0)appartenant àD;s"il existe des constantesAetBet une fonction"(de deux variables) telles que, pour (x0+h;y0+k)2D, on puisse écrire f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +Ah+Bk+k(h;k)k"(h;k)(I.1.1)aveclim(h;k)!(0;0)"(h;k) = 0:SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI20IIDérivées partiellesExercices:Exercice A.1.16Exercice A.1.17Exercice A.1.18On peut maintenant définir la notion de dérivée partielle :Définition I.1.9Dest un ouvert deIR2,(x0;y0)2D,fest définie surD, on
appelle dérivée partielle defpar rapport àxen(x0;y0), si elle existe, le réel noté @f@x(M0); défini par @f@x(M0) = limh!0f(x0+h;y0)f(x0;y0)h:De la même manière on définit :
@f@y(M0) = limk!0f(x0;y0+k)f(x0;y0)k: partiellesPour calculer les dérivées partielles lorsqu"elles existent, par exemple@f@x(x0;y0), la variableyest fixée ày0. Si on notef1(x) =f(x;y0);f2(y) =f(x0;y), alors @f@x(M0) =df1dx(x0);@f@y(M0) =df2@y(y0)Montrer cette propriété en exercice.
Faites attention à la différence de notation entre dérivée partielle@et déri- véed. Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d"une variable, il n"y a pas équivalence entre la différentiabilité et l"existence de dérivées partielles, voir le paragraphe suivant.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI22IIDifférentiabilité-continuité-dérivées partiellesExercices:Exercice A.1.19Exercice A.1.20Exercice A.1.21Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d"une variable, la pro-
priété de différentiabilité et l"existence de dérivées partielles ne sont plus desnotions équivalentes, on a seulement l"implication suivante.Théorème I.1.1Sifest différentiable au pointM0alors elle admet des dérivées
partielles premières enM0.Démontrer ce théorème en exercice.
Géométriquement, on peut montrer que sifet différentiable en(x0;y0), la surfaceSd"équationz=f(x;y)admet un plan tangent au point P0= (x0;y0;f(x0;y0)), donc toute courbe tracée surSet passant par le point
P0admet une droite tangente enP0(cette droite est contenue dans le plan tan-
gent). En particulier les courbesC1etC2définies dans la remarqueI.1.1ont cette propriété, on retrouve donc quef1etf2sont dérivables, donc que les déri- vées partielles existent. continuité- dérivées partiellesThéorème I.1.2Sifest différentiable au pointM0, elle est continue enM0.Démontrer ce théorème en exercice.
Il n"y a pas de d"implication entre l"existence de dérivées partielles et la pro- priété de continuité. La fonction définie parf(x;y) =xyx2+y2si(x;y)6= (0;0) f(0;0) = 0n"est pas conti- nue en(0;0), mais elle admet des dérivées partielles en(0;0). Revoir les interprétations géométriques des 2 propriétés pour se convaincre qu"il n"existe pas de lien entre les 2.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI24IICondition suffisante de différentiabilitéExercices:Exercice A.1.22Exercice A.1.23Théorème I.1.3Sifadmet des dérivées partielles premières continuesdans un
voisinage deM0(x0;y0), alors elle est différentiable enM0(x0;y0): Démonstration. On reprend la définition de la différentiablilitéI.1.8. Il s"agit donc d"établir une formule du type (I.1.1) en partant de l"existence des dérivées partielles. On peut décomposer : f(x0+h;y0+k)f(x0;y0) =f(x0+h;y0+k)f(x0+h;y0)+f(x0+h;y0)f(x0;y0): On peut donc commencer par écrire (c"est la partie facile!) : f(x0+h;y0) =f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +jhj"1(h): Il suffit en effet d"écrire que la fonctionf1(x) =f(x;y0)est dérivable enx0. Comme les dérivées partielles defexistent dans un voisinage deM0, pourh assez petit, la fonctionf2(y) =f(x0+h;y)est dérivable eny0et on peut invoquer suffisante de différentiabi- litéle théorème des accroissements finis pour les fonctions d"une variable. f(x0+h;y0+k) =f(x0+h;y0) +k@f@y(x0+h;y0+k): avec0< <1, en notant que=(h;k)puisqu"il dépend dek(comme dans le théorème des accroissements finis) et également dehqui joue, ici, le rôle d"un paramètre. Si on rassemble les deux relations on n"obtient pas exactement ce qu"on cherche puisque, dans la relation précédente, la dérivée @f@yn"est pas évaluée en(x0;y0). Il faut donc maintenant invoquer l"argument de continuité pour écrire qu"il existe une fonction"2(h;k)qui tend vers 0 quandk(h;k)k !0 telle que@f@y(x0+h;y0+k) =@f@y(x0;y0) +"2(h;k): En rassemblant tout ce qui précède on arrive à f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +k@f@y(x0;y0) +jhj"1(h) +k"2(h;k): ce qui s"écrit facilement sous la forme f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +k@f@y(x0;y0) +ph2+k2"(h;k) avec"(h;k)définie, pour(h;k)6= (0;0)par : "(h;k) =jhj"1(h) +k"2(h;k)ph2+k2 suffisante de différentiabi- litéIl est clair que"(h;k)vérifie bien la propriétéI.1.1de la définition puisque j"(h;k)j jhjph2+k2j"1(h)j+jkjph2+k2j"2(h;k)j j"1(h)j+j"2(h;k)jCe qui termine la démonstration.Définition I.1.10On dit qu"une fonctionfest continûment différentiable sur
un ouvertDsifadmet des dérivées partielles continues surD.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI27Dérivées partielles d"ordre supérieurExercices:Exercice A.1.24Sifest différentiable surDouvert deIR2, les dérivées partielles premières de
fpeuvent être considérées comme des fonctions deDdansIR, si elles sont diffé- rentiables, on peut calculer les dérivées partielles de ces fonctions, par exemple2f@x2(x0;y0) = limh!0@f@x(x0+h;y0)@f@x(x0;y0)h;
On peut définir de façon similaire
@2f@y2ainsi que les dérivées partielles croisées2f@x@y=@@x(@f@y)et@2f@y@x=@@y(@f@x):Théorème I.1.4( de symétrie de SCHWARZ ) Sifadmet des dérivées partielles
secondes au voisinage de(x0;y0)et si les dérivées partielles croisées@2f@x@yet@2f@y@x sont continues en(x0;y0)alors elles sont égales en ce point.Ce théorème est admis.
SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI28IIComposition et dérivationExercices:Exercice A.1.25Exercice A.1.26Exercice A.1.27Exercice A.1.28Revoir la dérivée des fonctions composées dans le cas des fonctions d"une
variable. On va maintenant énoncer quelques résultats sur les composées de fonctions de deux variables. 1 erCas.Proposition I.1.11Soientetdeux fonctions réelles et soit f: IR2!IR. On définit(t) =f((t);(t)). Sifest différentiable au point ((t0);(t0))et si les fonctionsetsont dérivables au pointt0alorsest déri- vable ent0et on a :0(t0) =@f@x((t0);(t0))0(t0) +@f@y((t0);(t0))0(t0)
Démonstration.(t0+h) =f((t0+h);(t0+h))
;sont des fonctions dérivables ent0, donc : et dérivation(t0+h) =(t0) +h0(t0) +jhj"1(h)aveclimh!0"1(h) = 0 (t0+h) =(t0) +h0(t0) +jhj"2(h)aveclimh!0"2(h) = 0On pose
x0=(t0);y0=(t0);H=h0(t0) +jhj"1(h);K=h0(t0) +jhj"2(h)
On obtient(t0+h) =f(x0+H;y0+K)
fest différentiable donc : f(x0+H;y0+K) =f(x0;y0) +H@f@x(x0;y0) +K@f@y(x0;y0) pH2+K2"3(H;K)aveclim(H;K)!(0;0)"3(H;K) = 0 d"où : (t0+h) =(t0) +h@f@x((t0);(t0))0(t0) +@f@y((t0);(t0))0(t0) +jhj"(h)On a noté
"(h) ="1(h)@f@x(x0;y0) +"2(h)@f@y(x0;y0) +"4(h) et dérivationavec"4(h) =pH2+K2jhj"3(H;K), on peut montrer quelimh!0"4(h) = 0, on en déduit quelimh!0"(h) = 0. On vient donc de montrer queest dérivable et que :0(t0) =@f@x((t0);(t0))0(t0) +@f@y((t0);(t0))0(t0):
2 meCas.Proposition I.1.12Soienta,betftrois fonctions deIR2!IROn définit (u;v) =f(a(u;v);b(u;v)).
On suppose quefest différentiable au point(a(u0;v0);b(u0;v0)), on note@f@x;@f@y ses dérivées partielles. On suppose que les fonctionsaetbsont différentiables au point(u0;v0), on note @a@u;@a@v;@b@u;@b@vleurs dérivées partielles, alors la fonction est différentiable au point(u0;v0)et ses dérivées partielles sont données par : @ @u(u0;v0) =@f@x(a(u0;v0);b(u0;v0))@a@u(u0;v0) @f@y(a(u0;v0);b(u0;v0))@b@u(u0;v0) et dérivation@ @v(u0;v0) =@f@x(a(u0;v0);b(u0;v0))@a@v(u0;v0) @f@y(a(u0;v0);b(u0;v0))@b@v(u0;v0) 3 meCas.Proposition I.1.13Soitf: IR2!IRune fonction différentiable au point (x0;y0), soitune fonction réelle dérivable au pointf(x0;y0), on définitg: IR2!IRparg(x;y) =(f(x;y)), alorsgest différentiable en(x0;y0)et on a : @g@x(x0;y0) =@f@x(x0;y0)0(f(x0;y0)) @g@y(x0;y0) =@f@y(x0;y0)0(f(x0;y0)) On verra à la fin de ce chapitre que tous ces cas particuliers sont inutiles, et que l"on peut énoncer un théorème général sur les composées des fonctions de plusieurs variables. Sifest différentiable en(x0;y0), l"application deIR2dansIRdéfinie par : (h;k)!@f@x(x0;y0)h+@f@y(x0;y0)k est une application dite linéaire deIR2dansIR. Cette application est appelée la différentielle defau point(x0;y0)et se notedf(x0;y0). Si l"on prend comme fonctionfl"applicationf(x;y) =x(resp.f(x;y) =y), ladifférentielle de cette fonction, que l"on notedx(resp.dy) est définie par :dx(x0;y0)(h;k) =h(resp.dy(x0;y0)(h;k) =k).
D"où l"on a
df(x0;y0)(h;k) =@f@x(x0;y0)dx(x0;y0)(h;k) +@f@y(x0;y0)dy(x0;y0)(h;k);8(h;k) donc df(x0;y0) =@f@x(x0;y0)dx(x0;y0) +@f@y(x0;y0)dy(x0;y0); ce qui explique la notation df=@f@xdx+@f@ydy:SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ33DifférentielleSi on reprend la définition de la différentiabilité on a
f(x0+h;y0+k)f(x0;y0) =df(x0;y0)(h;k) +k(h;k)k"(h;k)Si on définit la fonctiongpar
g(h;k) =f(x0+h;y0+k)f(x0;y0) Alors la fonctiongest approchée par l"application linéairedf(x0;y0). Vous aurez l"occasion de définir et d"étudier les applications linéaires dans l"UV d"al- gèbre linéaire.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI34IIFormule des accroissements finis-formule de TaylorExercices:Exercice A.1.29Exercice A.1.30formule des accroissements finis
Revoir la formule des accroissements finis pour une fonction d"une variable. On rappelle que sifest une fonction différentiable en(x0;y0), on a : f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +k@f@y(x0;y0) p(h2+k2)"(h;k)aveclim(h;k)!(0;0)"(h;k) = 0 Si on suppose maintenant quefest une fonction définie et différentiable sur un disque ouvertDde centre(x0;y0), pour(x0+h;y0+k)2D, on a la formule des accroissements finis :92]0;1[tel que
f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +h@f@x(x0+h;y0+k) +k@f@y(x0+h;y0+k) Pour démontrer ce résultat, on définit la fonction réellepar SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ35IIFormule des accroisse- ments finis-formule de Taylor(t) =f(x0+ht;y0+kt), on applique la formule des accroissements finis à la fonction réelleet on en déduit la formule des accroissements finis pour la fonction de 2 variablesf. Traiter cette démonstration en exercice. Formule de Taylor à l"ordre 2On peut maintenant énoncer la formule deTaylor à l"ordre 2 :
On suppose quefadmet des dérivées partielles continues jusqu"à l"ordre 2 sur un disque ouvertDde centre(x0;y0), pour(x0+h;y0+k)2D:Il existe2]0;1[tel que
f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +k@f@y(x0;y0) 12 h2@2f@x2(x;y) + 2hk@2f@x@y(x;y) +k2@2f@y2(x;y)
avecx=x0+h;y=y0+k Puisque les dérivées partielles secondes sont continues en(x0;y0), on peut écrire une autre version de la formule de Taylor : f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +k@f@y(x0;y0) 12 h2@2f@x2(x0;y0) + 2hk@2f@x@y(x0;y0) +k2@2f@y2(x0;y0)
+(h2+k2)"(h;k)aveclim(h;k)!(0;0)"(h;k) = 0 SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantIJJ36Formule des accroisse- ments finis-formule de TaylorFormule de Taylor à l"ordre nSifadmet des dérivées partielles continues jusqu"à l"ordrensur un disque ouvertDde centre(x0;y0), pour (x0+h;y0+k)2D, on obtient la formule de Taylor à l"ordren:Il existe2]0;1[tel que
f(x0+h;y0+k) =f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +k@f@y(x0;y0) 12 h2@2f@x2(x0;y0) + 2hk@2f@x@y(x0;y0) +k2@2f@y2(x0;y0)
1n!f(n)(x0+h;y0+k)(h;k)
où f (m)(x0;y0)(h;k) =mX p=0C pmhpkmp@mf@xp@ymp(x0;y0) (1mn). Puisque les dérivées partielles n -ièmes defsont continues, on peut écrire f n(x0+h;y0+k)(h;k) =fn(x0;y0)(h;k) + (h2+k2)n2"(h;k): f m(x;y)(h;k)est un polynôme en h,k homogène de degré m.SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI37Calcul approchéExercices:Exercice A.1.31Si on suppose connues les valeurs de la fonctionfet de ses dérivées en
(x0;y0), la valeur (inconnue)f(x0+h;y0+k)est donnée par la formule de Taylor : f(x0+h;y0+k) =A(h;k) +R(h;k)où-A(h;k)est un polynôme enhetk"facile" à calculer.-R(h;k) =1n!f(n)(x0+h;y0+k)(h;k), appelé reste, est un terme que la
formule de Taylor ne permet pas de calculer car on ne connait pas. Mais ce reste est petit, d"autant plus petit quenest grand. Si par exempleh= k= 101, alorshpknp= 10n, doncf(n)qui est un polynôme homogène de degrénest de l"ordre de10n. A(h;k)permet donc d"obtenir une approximation def(x0+h;y0+k)d"autant meilleure quenest grand. Une des approximations les plus utilisées est celle au premier ordre : f(x0+h;y0+k)f(x0;y0) +h@f@x(x0;y0) +k@f@y(x0;y0)SommaireConceptsExemplesExercicesDocumentsJprécédentsectionNsuivantI38IIThéorème des fonctions implicitesExercices:Exercice A.1.32Documents:Document B.1Une courbe du planxOypeut avoir une équation cartésienne explicite
y=(x)ou une équation cartésienne implicitef(x;y) = 0. Nous reverrons cela dans le chapitre "Courbes et surfaces". Est-il possible de passer d"une équation à l"autre? Par exemplex2+y2r2= 0est l"équation implicite d"un cercle, est-il possiblede trouver une équation explicitey=(x)de ce même cercle?Théorème I.1.5Soitfune fonctionIR2!IRcontinûment différentiable, soit
(x0;y0)un point tel quef(x0;y0) = 0.On suppose que
@f@y(x;y)6= 0dans un voisinage de(x0;y0)(I.1.2)Alors il existe un voisinage V de(x0;y0)de la formeIJoùIetJdésignent des
intervalles deIRet une fonction:I!IRtels que :