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LM 256 - Exercices corrigés

Feuille 2

Exercice 1.1. Pour parvenir à l"identité demandée, on fait le calcul dea?(b?c)(selon la " règle du gamma » comme je l"ai expliqué en TD) : (a 1 a 2 a 3) (b 1 b 2 b 3) (c 1 c 2 c 3) (a 1 a 2 a 3) (b

2c3-b3c2

3c1-b1c3

1c2-b2c1)

2b1c2-a2b2c1-a3b3c1+a3b1c3

3b2c3-a3b3c2-a1b1c2+a1b2c1

1b3c1-a1b1c3-a2b2c3+a2b3c2)

(et les calculs sont considérablement réduits si l"on remarque que dans tous les cas, pour

passer d"une ligne à la suivante il suffit de permuter les indices dans le sens1→2→3→

1). On remarque alors qu"en ajoutant et en retranchanta1b1c1à la première ligne du

résultat, on peut écrire celle-cib1(a·c)-c1(a·b). De même, la deuxième et la troisième

lignes s"écrivent respectivementb2(a·c)-c2(a·b)etb3(a·c)-c3(a·b). Autrement dit, on a exactement les composantes du vecteur(a·c)b-(a·b)c, ce qu"il fallait démontrer. Pour la non-associativité de?, on a en utilisant cette formule pour tousa,b,c: a?(b?c)-(a?b)?c=a?(b?c) +c?(a?b)(d"après l"anti-commutativité de?, u?v=-v?u), ce qui vaut donc(a·c)b-(a·b)c+(c·b)a-(c·a)b= (a·b)c+(c·b)a. Or pour prouver que?n"est pas associatif, on veut trouvera,betctels que cette différence soit non-nulle; un rapide examen nous incite à prendrea=b, par exemplet(1,0,0), etc orthogonal àaetb, par exemplet(0,1,0). On obtient alorsa?(b?c)-(a?b)?c=c?= 0, et l"on en déduit que?n"est pas associatif. On prendra donc garde à ne pas écrire de choses du genrea?b?c, qui n"auraient pas un sens précis.

2. On peut pour cette question calculer le déterminant3×3 det[a,b,c]selon la règle de

Sarrus, mais il y a plus rapide; si en effet on utilise le développement par rapport à la 1 2 première colonne, on a : det[a,b,c] =? ?a 1b1c1 a 2b2c2 a

3b3c3?

?=a1? ????b 2c2 b 3c3? ????-a2? ????b 1c1 b 3c3? ????+a3? ????b 1c1 b 2c2? =a1? ????b 2c2 b 3c3? ????+a2? ????b 3c3 b 1c1? ????+a3? ????b 1c1 b 2c2? en permutant les deux lignes du second déterminant2×2. Or on remarque que le premier de ces déterminants,? ????b 2c2 b 3c3? ????, n"est autre que la première composante deb?c=b2c3- b

3c2; de même, le second est la seconde composante deb?cet le troisième est la troisième

de ces composantes. Autrement dit,det[a,b,c] =a1·(b?c)1+a2·(b?c)2+a3·(b?c)3, ce qui est bien égal àa·(b?c), quantité que l"on appelleproduit mixte dea,betc. Pour obtenir la seconde égalité,det[a,b,c] = (a?b)·c, il suffit de permuter les colonnes aetc(et multiplier par-1) dansdet[a,b,c]- ou tout simplement dévelloper par rapport à la colonne de droite - et l"on a donca·(b?c) = det[a,b,c] =-det[c,b,a] =

-c·(b?a) =c·(a?b) = (a?b)·c. Cette formule nous dit donc, étant donnés trois vecteurs,

comment échanger produit scalaire et produit vectoriel (sans oublier le re-parenthésage). En somme, il suffit de garder l"ordre d"écriturea,b,c, et d"écrire les produits dans un ordre tel que l"expression obtenue ait un sens (produit vectoriel, puis produit scalaire).

3. La première question nous disait que pour tousu,v,w, on avaitu?(v?w) =

(u·w)v-(u·v)w. En posant iciu=a?b,v=cetw=d, on a :(a?b)?(c?d) =?(a?b)·d?c-?(a?b)·c?d. Apparaissent donc deux produits mixtes?celui de(a,b,d)et celui

de(a,b,c)?, et en échangeant produit scalaire et produit vectoriel comme nous l"enseigne la question 2., il vient(a?b)?(c?d) =?a·(b?d)?c-?a·(b?c)?d, ce qui est la première forme du résultat à démontrer. Pour la seconde, on part de(a?b)?(c?d) =-(c?d)?(a?b), et l"on procède de même. Exercice 2.1. Une des propriétés fondamentales du produit vectoriel de deux vecteurs est d"être orthogonal à ces deux vecteurs. Le plan passant par les pointsP,QetR

étant engendré par les vecteurs--→PQet-→PR?ou bien--→PQet--→QR, ou encore-→PRet--→QR?,

leur produit vectoriel sera bien perpendiculaire à ce plan. Or, un calcul direct donne

PQ?-→PR= 5(

(-8 3 -3)

2. Si l"on noteSle pointR+--→PQ(c"est-à-dire le point obtenu en traçant--→PQpartant

deR), on a que l"aire du parallélogrammePQSR(attention à l"ordre des lettres) est le double de celle du trianglePQR. Or l"aire de ce parallélogramme est aussi (c"est une

autre propriété du produit vectoriel) égale à la norme???--→PQ?-→PR???, soit5?(-8)2+ 32+

(-32)?1/2= 5⎷82. L"aire du triangle est donc de52 ⎷82.

3. Supposons, comme c"est le cas ici, que les trois vecteurs sont linéairement indépen-

dants (sans quoi la question est réglée). Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si 3 leur déterminant est nul; or d"après l"exercice 1, le déterminant d"un triplet de vecteurs est égal à leur produit mixte, et donc trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. Une autre manière de l"expliquer est la suivante : le premier vecteur est dans le plan qu"engendrent les deux derniers si et seulement s"il est ortho- gonal à tout ce qui est orthogonal à ce plan, c"est-à-dire à ces deux derniers vecteurs; or cet orthogonal est de dimension1(car on est dans l"espace à trois dimensions, et cet orthogonal est un supplémentaire du plan en question), et est donc engendré par le produit vectoriel des deux derniers vecteurs. Le premier vecteur est donc dans le plan qu"engendrent les deux derniers si et seulement s"il est orthogonal à leur produit vecto- riel,i.e.si et seulement si son produit scalaire avec le produit vectoriel des deux autres est nul, ou encore si et seulement si le produit mixte des trois est nul.

Cela dit, le calcul donne?a??b=(

(9 -18 -9) ), puis? ?a??b?

·c= 0+(-18)·(-9)+(-9)·18 = 0.

4. L"aire du parallélépipède construit sur les vecteurs?a,?bet?c(qui est une figure

géométrique de dimension3) est simplement la somme des aires des parallélogrammes que sont ses faces. Ces parallélogrammes (au nombre de 6, comme pour le cube qui est un parallélépipède particulier) sont engendrés deux à deux par?aet?b,?bet?cet?aet ?c. Leur aire est donc respectivement????a??b???,????b??c???et??a??c?. Or?a??b=( (-18 20 3) b??c=( (-22 -76 -28) ), et?a??c=( (30 42
-5) ), de normes carrées respectives733,2712 = 4·(678)et

2689. L"aire recherchée est donc2?⎷733 +

⎷2712 + ⎷2689 , ce qui vaut environ262.

5. On refait la même chose;

--→PQ?-→PR=t(-6,0,3)?de norme3⎷5 ?,-→PR?-→PS= t(12,3,-6)?de norme3⎷21 ?et--→PQ?-→PS=t(7,7,0)?de norme7⎷2 ?. L"aire recherchée est donc2?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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