[PDF] [PDF] 1) Extrema dune fonction

[PDF] Première S - Extremums dune fonction - Parfenoff

I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Si une fonction , dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en sur I et si n'est  

[PDF] 1) Extrema dune fonction

Si f admet au point a un maximum ou un minimum, on dit que f admet un extremum en a Remarque : Un extremum global est un extremum local Dans la suite de l 

[PDF] LEÇON 219 - EXTREMUMS : EXISTENCE, CARACTÉRISATION

Fonctions convexes Définition 4 1 Soit f un fonction de U dans R On dit que f est convexe si la propriété suivante 

[PDF] V EXTREMUM ▷ 1 Les définitions de base

19 mar 2010 · minimum) de f sur D on parle de maximum (resp minimum) strict ⋆ On peut étendre ces définitions au cas f est une fonction de Rn dans R et D 

[PDF] Cours 05 –Variations et extremums dune fonction - Free

1- Fonction croissante, fonction décroissante Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I • Dire que f est croissante sur I signifie que les réels de cet 

[PDF] Optimisation dune fonction dune variable

Propriétés Convexité minimum global et local Définition Soit f une fonction définie sur I et x∗ ∈ I On dit que f admet un extremum en x∗ si et seulement si f

[PDF] Fonctions de 2 et 3 variables

l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f

[PDF] B Maximum et minimum dune fonction

DÉFINITION : Maximum, minimum et extremum d'une fonction Dire que f admet un maximum en a sur l'intervalle I signifie que : Il existe un réel M tel que pour 

[PDF] Maximum et minimum dune fonction-Cours2

Définition : Une fonction f : D → R poss`ede un maximum global au point x∗ ∈ D si Théor`eme 2 Si une fonction dérivable a un extremum local en un point, 

[PDF] extremum local et global exercices corrigés

[PDF] extremum local exercices corrigés

[PDF] équilibre du producteur définition

[PDF] exercice microeconomie corrigé pdf

[PDF] exemple de qrc

[PDF] exercices corrigés sur le monopole

[PDF] méthodologie commentaire de texte

[PDF] extremum d'une parabole

[PDF] livre ezechiel pdf

[PDF] "une démonstration élémentaire de l'équivalence entre masse et énergie"

[PDF] e=mc2 exemple

[PDF] e=mc2 explication facile

[PDF] interview questions et reponses avec un chanteur

[PDF] question couple pour mieux se connaitre

[PDF] questionnaire marrant pour couple

Exposé 75 : Applications du calcul differentiel à la recherche d'extremums d'une fonction numerique d'une variable réelle. Exemple+calto

Pre requis :

-Continuité et derivabilité d'une fonction numerique à une variable reelle -" l'image d'un segment par une application continue est un segment » -Formule de taylor-young ( à l'ordre 2 )en ox : ()2

1 2( ), ''( ) , , ( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ( )2o

o o o o o o ox xf C f x existe x I x I f x f x x x f x f x o x x-Î Þ" Î = + - + + -

Cadre : Iintervalle de ¡,:f I®¡

'( )f anombre dérivé de f en a s'il existe.

1)Extrema d'une fonction Soit

a IÎ.

Definition :

1.fadmet un maximum (resp. minimum) global ,ou dits absolu, au point asur

I si :

{}\ , ( ) ( )x I a f x f a" Î £(resp.( ) ( )f x f a³). Il est dit maximum global stricte (minimum global stricte ) si {}\ , ( ) ( )x I a f x f a" Î <( resp.( ) ( )f x f a>).

2.fadmet un maximum (resp. minimum) local au point asur

I s'il existe un ouvert Jcontenant a tel que :

{}\ , ( ) ( )x I J a f x f a" Î Ç £(resp.( ) ( )f x f a³). Il est dit maximum local stricte (minimum global stricte ) si {}\ , ( ) ( )x I J a f x f a" Î Ç < ( resp.( ) ( )f x f a>).

3.Si fadmet au point a un maximum ou un minimum, on dit que

fadmet un extremum en a. Remarque : Un extremum global est un extremum local. Dans la suite de l'exposé, on ne cherchera que des extremums locaux

Une fonction peut admettre un extremun :

-soit à l'xtremité de son intervalle -soit en un point où elle n'est pas derivable. -soit en un point aoù '( ) 0f a= remarque : attention il ya des fonctions qui n'ont pas d'extremum.

Exemple :

3:fx x®aeçè¡ ¡

a But : Avoir des conditions nécessaires et des conditions suffisantes quand à l'existence des extremas d'une fonction.

2)Recherche d'extrema

a)Une condition nécessaire locale

Theoreme : Iintervalle ouvert de ¡,a IÎ. Soit fune fonction derivable en a. Si fpresente un extremum en

aalors '( ) 0f a=.

Preuve : Si

aest un minimum local ][0, , , ( ) ( )x a a f x f ae e e$ > " Î - + ³d'où ( ) ( )0, , ( ) ( )0, , f x f ax a ax a f x f ax a ax a e e fdérivable en a donc ' ''( ) ( ) ( )g df a f a f a= =donc '( ) 0f a=.

Remarque : la reciproque est fausse

3:fx x®aeçè¡ ¡

a

Extremum localÞderivabilité en

a:fx x®aeçè¡ ¡ a

Extremum localÞcontinuité en

a [][]21,1 0,1 :, 0

1, 0fx xxxae- ®çae¹ççç=èèa

Le theoreme n'est plus valable si

aest une extremité : [[[[0, 0,:fx xae+¥ ® +¥çèa

Corollaire : théoreme de Rolles (soit

a b<) Soit []: ,f a b®¡continue sur [],a b et dérivabilité sur ][,a btelle que ( ) ( )f a f b=

Alors il existe

][,c a bÎtel que '( ) 0f c=.

Preuve : (a faire)

fcontinue sur [],a bdonc ,m M$ Ρtels que [][]( , ) ,f a b m M=zvec m M£. -si m M= :la fonction fest constante sur [],a b, donc ][, , '( ) 0x a b f x" Î = -si m M< l'un des réels, au moins, metMest different de ( )f a. Supposons par exemple ( )m f a¹, ][,c a b$ Î tel que ( )f c m= donc fadmet un minimum en cdonc '( ) 0f c=avec ][,c a bÎ

Corollaire : Theoreme des accroissements finis.

Soit []: ,f a b®¡continue sur [],a b et dérivabilité sur ][,a b,

Alors il existe

][,c a bÎ,( ) ( ) '( )( )f b f a f c b a- = - . Preuve (a faire) on applique le théoreme de Rolles à la fonction ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f ah x f x x ab a-= - --, hcontinue,.... b)Une condition suffisante globale

Theoreme : Iintervalle ouvert de ¡,

a IÎ. :f I®¡continue. Si fest derivable en tout point de {}/I aet si pour tout {}/x I aÎ,( ) '( ) 0x a f x- £(resp.( ) '( ) 0x a f x- ³ alors fadmet un maximum global (resp. minimum global) en a.

Preuve : On applique le T.A.F à

fen xet en a. c)Conditions suffisantes locales

Theoreme : Soit

Iun ouvert contenant aSoit :f I®¡ dérivable sur I. Si '( ) 0f a= et si 'fchange de signe en a, alors fadmet un extremum local en aPreuve : Supposons que '( ) 0, ,f x x I x a< " Î <,'( ) 0, ,f x x I x a> " Î > - on restreint fà l'intervalle ]],I aÇ -¥que l'on nommera °f , alors °fest decroissante donc aest un minimum global de °f. - on restreint

fà l'intervalle [[,I aÇ +¥que l'on nommera °f , alors °fest croissante donc aest un minimum global de

°f.

Donc aest le minimum global pour f. On suppose maintenant la situation opposée et on obtien un maximum.

Theoreme : Soit

Iun ouvert contenant aSoit :f I®¡ dérivable deux fois sur Iavec '( ) 0f a= et ''( ) 0f a¹ Alors fadmet un extremum local en a et : -si''( ) 0f a<, c'est un maximum -si''( ) 0f a>, c'est un minimum

Preuve :

Cas où ''( ) 0f a>.2

2''( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) lim 1''( )2( )2x a x a

x af a f x f af x f a x af ax a® ®

Alors il existe

][{}0, , /x a a ad d d> " Î - +,2( ) ( )0''( )( )2f x f a f ax a-> -. Or ''( ) 0f a> donc

Alors il existe

][{}0, , /x a a ad d d> " Î - +,( ) ( ) 0f x f a- > Donc fadmet en aun minimum local (strict)

Remarque : ce n'est pas une condition necessaire.

4: , '(0) 0, ''(0) 0f x x f f= =a or 0 est un

minimum pour la fonction. On peut generaliser le resultat pas a la deuxieme derivé, mais a la ne premiere derivée non nulle, cependant il faudra admettre la formule de taylor young z l'ordre n CONCLUSION : il n'existe aucun theoreme donnant une condition necessaire et suffisante pour les extrema

2)Application

Quelle sont les dimensions du rectangle d'aire maximale que l'on peut inscrire dans un triangle iscèle de base 12cm et de hauteur 10cm

Resolution

2 triangles semblables 10(6 )6 106 2

561026Ll

Lll L= -

5( ) (10 )6

5'( ) (10 )3

'( ) 0 6

6, 5A L L L

A L L A L L

L l= - ´

quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30