[PDF] [PDF] Optimisation dune fonction dune variable

Propriétés Convexité minimum global et local Définition Soit f une fonction définie sur I et x∗ ∈ I On dit que f admet un extremum en x∗ si et seulement si f



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Si f admet au point a un maximum ou un minimum, on dit que f admet un extremum en a Remarque : Un extremum global est un extremum local Dans la suite de l 



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Fonctions convexes Définition 4 1 Soit f un fonction de U dans R On dit que f est convexe si la propriété suivante 



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19 mar 2010 · minimum) de f sur D on parle de maximum (resp minimum) strict ⋆ On peut étendre ces définitions au cas f est une fonction de Rn dans R et D 



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Propriétés Convexité minimum global et local Définition Soit f une fonction définie sur I et x∗ ∈ I On dit que f admet un extremum en x∗ si et seulement si f



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l'ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluer f est le domaine de définition de f Objectif : chercher les extremums d'une fonction de deux variables f



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DÉFINITION : Maximum, minimum et extremum d'une fonction Dire que f admet un maximum en a sur l'intervalle I signifie que : Il existe un réel M tel que pour 



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Définition : Une fonction f : D → R poss`ede un maximum global au point x∗ ∈ D si Théor`eme 2 Si une fonction dérivable a un extremum local en un point, 

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOptimisation d"une fonction d"une variable

1ère année

E.N.S.T.B.B.

I.P.B.

Année Universitaire 2015-16

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

4Convexité

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherche x vérifiant

Minimiserf(x)

x2I on dit que l"on a un problème d"optimisation.

La f onctionfest

souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéC. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global

sur I au point x , si

8x2I f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) local au point x , s"il existe un intervalle ouvert JI contenant x tel que

8x2J f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un extremum en x

si et seulement si f admet un maximum ou un minimum en x .Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes, on parle d"extremum (min ou max) strict.Remarque

Un extremum global est un extremum local.

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité

Figure:la f onctionx7!x2présente un minimum global strict en 0.C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité-5

0 5 10

0.00.51.01.52.02.53.0

Maximum localMaximum global

Minimum local

Figure:

f onctionprésentant des maxim umsstr ictslocaux et globaux, un minimum local et des minima globaux non stricts sur[5;10]C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéFigure:f onctionprésentant des e xtremanon str icts.

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrethéorème de Weierstrass L"existence d"extrema n"est pas garantie pour toute fonction. Mais sur un intervalle fermé borné...Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I= [a;b]. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I. A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I).

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Propriétés

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExistence Si la recherche d"un minimum ne se limite pas à un intervalle fermé borné, on a aussi le résultat suivant:Définition Une fonction f est dite coercive surRsi " elle tend vers l"infini à l"infini » limjxj!+1f(x) = +1 ou coercive sur un intervalle ouvert]a;b[si lim x!af(x) = +1etlimx!bf(x) = +1C. NazaretOptimisation

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Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreSoit

un intervalle ouvert.Théorème

Toute fonction continue et coercive sur

atteint son minimum sur .C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du 1er ordre

Théorème

Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert

I et si f admet en un point x

de I un extremum alors f

0(x) =0:C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreRemarque

La réciproque de ce théorème est fausse (la fonction x7!x3admet une dérivée nulle en0mais ce n"est pas un extremum).Si f

0(x) =0, on dit que xest un point critique de f. Les

extrema sur l"ouvert I sont à chercher parmi les points critiques.Si on cherche un extremum sur un intervalle fermé[a;b], on fera l"étude sur]a;b[ouvert puis on comparera à f(a)et f(b).C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

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ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.

En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I. On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.

Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le

théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.

En1et1, elle n"est pas dérivable.

De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1 quand x tend vers l"infini.

En plusieurs dimensions ,les choses

seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée

nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1

quand x tend vers l"infini.

En plusieurs dimensions ,les choses

seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée

nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1

quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.

C. NazaretOptimisation

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExemple

On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13