[PDF] [PDF] Fiches de math (MPSI/MP) - LIX-polytechnique

[PDF] Formulaire de Maths - Mathieu Mansuy

ques (un formulaire et un recueil « d'astuces »), un mémento d'espagnol, un mémento http://www prepa-hec org/prepa/programmes/mathematiques php 

[PDF] Formulaire de maths &# révisions &# entrée en CPGE - Cité Scolaire

Formulaire de maths # révisions # entrée en CPGE Ce formulaire est destiné aux élèves entrant en première année de CPGE, MPSI ou PCSI au lycée Michelet

[PDF] Fiches de math (MPSI/MP) - LIX-polytechnique

Fiches de math (MPSI/MP) Samuel Formule du binôme de Newton : si f et g commutent : (f + g)n = ∑n Formule de Gibbs : (a ∧ b) ∧ c = b − a

[PDF] Formulaire : Trigonométrie - Normale Sup

Formulaire : Trigonométrie Toutes le formules de trigo se retrouvent à partir de l' exponentielle complexe et des règles de calcul sur les puissances

[PDF] Mathématiques Résumé du cours en fiches MPSI-MP - Cjoint

La formule de Taylor-Young permet d'obtenir de nombreux développements limi- tés Beaucoup de propositions mathématiques sont de type universel

[PDF] Formulaire PanaMaths (CPGE) Formules de Taylor

Octobre 2010 Formulaire PanaMaths (CPGE) Formules de Taylor Formule locale : le développement de Taylor-Young Soit f une application d'un intervalle I  

[PDF] EXERCICES ET FORMULAIRE DE REVISION DU PROGRAMME

La Réunion Lycée Roland Garros CPGE/BCPST1 MATH Exercices de Révisions de TS et Formulaire Rentrée d'Août 2018 SOMMAIRE: PARTIE I: ENONCE 

[PDF] Le Formulaire MPSI - MP - PSI - Dunod

Mathématiques 12 1 Analyse 12 1 1 Les nombres réels 12 1 2 Continuité 12 1 3 Dérivation 13 1 4 Suites numériques 15 1 5 Intégration 16

[PDF] Formulaire de trigonométrie circulaire - Maths-francefr

Formulaire de trigonométrie circulaire A 1 B x M H K cos(x) sin(x) tan(x) cotan( x) Rouget, 2008 Tous droits réservés 1 http ://www maths-france fr 

[PDF] formulaire maths bac pro

[PDF] formulaire maths cap industriel

[PDF] formulaire maths college pdf

[PDF] formulaire maths terminale es

[PDF] formulaire mecanique bts

[PDF] formulaire mécanique des fluides

[PDF] formulaire medecin de famille cnam

[PDF] formulaire nis pdf

[PDF] formulaire non affiliation cnas algerie

[PDF] formulaire ofii regroupement familial

[PDF] formulaire openoffice calc

[PDF] formulaire optique ondulatoire

[PDF] formulaire ordre de virement attijariwafa bank maroc

[PDF] formulaire p11 des nations unies en français doc

[PDF] formulaire p11 des nations unies en français word

Fichesdemath(MPSI/MP)

SamuelMIMRAM

2000-2002

Tabledesmatières

1Divers

jA[Bj=jAj+jBjjA\Bj jFj=p,jP(F)j=2p P

X2P(F)jXj=p2p1

2Algèbregénérale

2.1Divers

Signaturede2n:"()=Q

fi;jg2P(j[1;n]j)(j)(i) ji

ThéorèmedeGauss:(a^b=1etajbc))ajc

2.2Groupes

Hsous-groupedeG,8

:H,?

8(x;y)2H2;xy2H

8x2H;x12H

Transportdestructure:

Lesss-groupesdeZsontlesnZ

H[Kgroupe,HKouKH

Pluspetitss-groupecontenantH[K:H+K

finjective,Kerf=f0g

Décompositioncanonique:Ef!F:ilexiste

f,bijective,tq:E f!F s? yx ?i E=Rf f!f(E)

Groupecyclique:monogènefini

1 (G;)estungroupe (Z=nZ)estungroupedecardinal'(n)'(n)=nQ i11 pi

Sim^n=1alors'(mn)='(m)'(n)

démo:: kmn7!(km;kn)etdimIm=mnm^ncarm^n=dimKer pgcd:générateurdeP iaiZppcm:générateurdeT iaiZ

EQDIOPH

2.3Groupeopérantsurunensemble

(Ag)1=Ag1

Automophismeintérieur:a:x1

x2E=RGjOxj=jE=RGjjGj

SijGj=nalors8g2G;gn=eG

xinvbds(Z=nZ),x^n=1,Gr(x)=Z=nZ

Centre:Z(G)=fg2G=8x2G;gx=xgg

Touteorbiteeststablesousl'actiondeG

8a2Ox;Card(Ox)Card(Stab(a))=Card(G)

ThdeBurnside:NjGj=P

Ilyap+1

2.4Anneaux-corps

Anneau(A;+;):

Bsous-anneaudeA,8

:1 A2B

8(x;y)2B2;xy2B

8(x;y)2B2;xy2B

aestrégulier:ax=ay)x=yetxa=ya)x=y arégulier,anondiviseurde0 (A;):groupedesélémtsinversibles aestnilpotent:9n2N;an=0

Idéalprincipal:9a2A;I=aA

2

Caractéristique:ordredeeAdans(A;+)

démo:(x+y)p=Pp k=0Ck pxkypket8k2j[1;p1]j;pjCk p

Corps(K;+;):

Lsous-corpsdeK,8

:1 K2L

8(x;y)2L2;xy2L

8(x;y)2L2;xy2L

8x2Lnf0g;x12L

Uncorpsestunanneauintègre

Toutcorpsfiniestcommutatif

Toutcorpsfiniapourcardinalpnavecppremier

2.5Polynômes

dimKn[X]=n+1

K[X]estunanneauprincipal

PjQ)[P(x)=0)Q(x)=0]

nxi) attentionàlanormalisationdeP -parité,conjugaison? -calculerlapartieentièredeP -siN(X) -valeursparticulières!équations Si p q(avecp^q=1)estracinedePalorspja0etqjan Poly avecP2K[X]tqdegP=n1:deg(kP)=nkdoncnP=0 surCn[X]:Ker=C0[X]etIm=Cn1[X] T nP(X)=P(X+n)etT=TdoncnP(X)=(TId)nP(X)=Pn k=0(1)kCk nTk=Pn k=0(1)kP(X+k) )P(n+1)sionconnaittslesP(k)aveck2j[1;n]j 3

2.6PolynômesetK-algèbres

Algèbre(A;+;;):

Bsous-algèbredeA,8

:12B

8(x;y)2B2;x+y2Betxy2B

82K;8x2B;x2B

Poly

3Algèbrelinéaire

3.1Espacesvectoriels

Espace-vectoriel(E;+;:):

Fsous-evdeE,8

:F,?

8(x;y)2F2;x+y2F

82K;8x2F;x2F

PourmontrerFss-evdeE,onpeutmontrerF=Ker'

normed'algèbre:N(ab)N(a)N(b) jN(x)N(y)jN(x+y)N(x)+N(y) doncx7!kxkestcontinuecar1-lipschitzienne

Normesusuelles:kxk1=Pjxijkxk2=q

Px2 ikxk1=maxjxij

Dsunevn:

B(x;r)=Bf(x;r)etviceversa

x2Bf(0E;1)N[f(x)]=sup x2S(0E;1)N[f(x)]=sup x2Enf0EgN[f(x)] kxk

N[f(x)]kjfkjkxkkjgfkjkjgkjkjfkj

SiFevncalors(Lc(E;F);kjkj)evnc

(x;y)7!x+yet(;x)7!xsontcontinues

Fss-evdedimfiniedeE)FevncetfermédeE

UnK-evdedimfinieestunespacedeBanach

Surunproduitd'evdedimfinies,uestcontinue

4

Fss-evdeE:siH,HalorsEH

H

1\H2ss-evH1+H2ppss-evcontenantH1etH2

,8k;Pk1i=1Ei\Ek=f0g,8j;Ej\Pn i=1i,jE i=f0g E

1+E2=E1E2,E1\E2=f0g,dimE1+dimE2=dimE

Familleorthogonaledeprojecteurs:

si(fi)2L(E)htqPh i=1Imfi

Sisestunesymétrie,s+IdE

2estunprojecteur...

SiFEalorsdimF=dimE,F=E

dim(F+G)=dimF+dimGdim(F\G) dimKergfdimKerg+dimKerf

Codimension:dimensiondusupplémentaire

finjective,Kerf=f0g k=0Ck nfkgnk

Sifggf=Idalors,parréc:fgngnf=(n1)g

3.2Matrices

SiC=ABalorsci;j=Pn

k=1ai;kbk;jt(AB)=tBtA M

B1B3(vu)=MB2B3(v)MB1B2(u)

AestsemblableàB:B=P1AP(!mêmetrace)

M n(K)=Sn(K)An(K)démo:':M7!(M+tM

2;MtM2)isom

Pourunprojecteur:trp=rgp

E i;jEk;l=j;kEi;l detA=P

2n"()a(1)1:::a(n)n

det(AB)=detAdetBdet AB 0C! =detAdetCdémo: AB 0C! = IB

0C! A0

0I!

AtCom(A)=(detA)InA1=1

detA(tCom(A))

FormuledeCramer:xi=detB(v1;:::;b;:::;vn)

detA 5 (tA)1=t(A1)A2Sn(K)\GLn(K))A12Sn(K) pIn;1pCorol:SpMSn i=1DiavecDi=fz2C=jaiizjPnj=1 j,ijaijjg

DéterminantsdeVanderMonde:

1111
x

1xnxn:

x n11xn12xn1n Q

1i

K[A](A)(commutant)

3.3Réductiondesendomorphismes

E (f)=Ker(fIdE)SpK(f):ensbdesvlprdef finversb,festdevaluationnulle

SiP(f)=0,ttvlprdefestracinedeP

Poly

ˆninterpolateursdeLagrange:

W k(X)=n Q i=0i,k(Xi) nQ i=0i,k(ki)Wk(j)=jk8P2Kn[X];P(X)=Pn k=0P(k)Wk(X):basedeKn[X] k=0Wk(f)(x) endim2:M(X)=X2(trM)X+detM dimEestaupluslamultiplicitédedansf

Diagonalisation:M=PDP1

MatricesdeFroebenius:A=0

B B B B B B B B B B B B B B B B B B @0:::0a1 1 :a2: ::::0:

0:::1an1

C C C C C C C C C C C C C C C C C C

Drapeau:(Ei)tqdimEi=ietEiEi+1

6 )(f0;f1;:::;fn)estliée Sifestnilpotentd'indicen=dimEalorsilexisteunebaseBtqfB !0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B @010 :::1 001 C C C C C C C C C C C C C C C C C C A fnilpotent,f(X)=(1)nXn,9B;fB !0 B B B B B B B B B B @0? 001 C C C C C C C C C C A u enparticulier:siKeru=Keru2alorsE=KeruImu fscindé:f(X)=(1)nQ i(Xi)mi

E=Kerf(f)=L

3.4Dualité

EestisomorpheàE(ontˆmdimension)

Baseduale:(e

i)1intqe i(ej)=ijf=Pn i=1f(ei)e !siontrouve(ei)et(e i)tqe i) i:P7!P(ai))labasedualeassociée

8'2E;9!a2E;8x2E;'(x)=8M2M

n;9!A2Mn;'(M)=tr(AM) démo:mq:Mn!M n=A7![M7!tr(AM)]estinjective cesontdesss-evdeE F (Ker')?=Vect' démo:prendreunebasedeEetmqF?F=E doncF7!F?estbijectivederéciproqueG7!G

SiFetGss-evalorsF=G,F?=G?

Vect(ei)=E,Vect(ei)?=f0g(=E?)

Vect('i)=(PVect('i))=TVect('i)=TKer('i)

Intersectiond'hyperplans:dimT

1stHsnt(égalitéssi(fs)1stlibre)

démo:siH=Ker'=Ker mq='(x) (x)convientavecxdsEH Transposéedef2L(E;F):l'uniquetf2L(F;E)tq:8 2F;tf( )= f

8 2F;8x2E;=< jf(x)>

Fstableparf,F?stablepartf

7

4Algèbrebilinéaire

g ':x7!'(x;:)d':y7!'(:;y) 'symétrique,g'=d' L

2(E)=S2(E)A2(E)dimL2(E)=n2dimS2=n(n+1)

2démo:':M7!(M+tM2;MtM2)isom

Identitédepolarisation:'sym(x;y)=1

2[q(x+y)q(x)q(y)]=14[q(x+y)q(xy)]

q(x)=Pn i=1x2 i'(ei;ei)+2P iAetBsontcongruentes:9P2GLn(K);B=tPAP

8(X;Y)2M2

n;1(K);tXAY=tXBY,A=B 8X2M2 n;1(K);tXAX=tXBX,ABestantisym xetyst'-orthogonaux:'(x;y)=0x?'y A ?'=fx2E=8y2A;'(x;y)=0gss-evdeE

AB)B?A?A?B,AB?,BA?

H

Rangde':rgd'

dim(Rad')=nrg' x+y2C',x?'yRad'C''(x;x)=0,Kx(Kx)? 'estdéfinie:C'=f0Eg

Recherchedelasignature:

-parachuterlasolution:E=F?G -utiliserunedécompositiondeGauss

4[(a+b)2+(ab)2]ex:Pn

i;j=1ixixj=(Pn i=1ixi)(Pn i=1xj) -aveclesvlpr

ConditiondeSylvester:M2S++

Gauss:formecanonique/produit

avectZMZ

Thspectral:

8

8M2Sn(R);92On(R);9D2Dn(R);D=1M=tM

hp:8S2S++ n(R);9!p

S;(pS)2=Sdémo:induits

Thderéductionsimultannée:

8A2S++

(x+y)p(x)+p(y) siestdéfiniepositive,p (x+y)=p(x)+p(y),(x;y)positivementliée

Si'estpositive:Cône=Raddémo:ics

4.1Espaceseuclidiens

Normeeuclidienne:p

Normes:(f;g)7!Rb

afg(P;Q)7!R1

0PQet2(P;Q)7!R1

0PQ poly

Sif2C0([a;b];R)esttq8p2N;Rb

kPx2 ikkPxik2

8f2E;9!y2E;8x2E;f(x)='(x;y)

Thdelabaseorthogonaleincomplète

M:mij=tr(u)=P

E=F?G)E=F??G?etF??=G?=F

E=F?G,F?GetF??G?

E=Vect(ei),[Vect(ei)]?=f0g

Adjoint:=

(u)=u(u)1=(u1)u(H)H)u(H?)H?Keru=(Imu)?

Dsunebon:Mat(uM)=tM

dscecas:E=Keru+Imu fautoadjointpositif: kjfjk=Sup kjfjk2=kjfjk2=kjffjkkjfjk=Sup kxk1;kyk1jjdémo:kxk=sup kyk=1jj kjMjk2;2=p (tMM)

Endomorthogonalu(2O(E)GL(E)):

)detM2f1;1g

SiFstableparualorsF?stableparu

Dansunbonr,si

=Matr(u)alorsttvlprde estdemodule1 9 i=1viwk+1=vk+1

Topologiematricielle:

-S++ n:partieferméedeMn(R) -On(R):partiecompactedeMn(R) -GLn(R):partiedensedeMn(R) S n(R);M=OS tMMetO=MS1conviennent

AvecH2S++

netK2Sn,HKnilpotent,K=0 démo:92S++

DécompositiondeCholeski:8A2S++

ralors:

A=tSInSavecS2Tsupn

':Mn(R)!R=M7!Sup

O2On(R)jtr(OM)j:normedeMn(R)

'-matricedeGram:G=('(vi;vj))'[(xi)]=detG '(f1;:::;fn)quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1