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Mécanique des Fluides Travaux dirigés Contenu 1 Formulaire 2 2 A propos du théor`eme du transport de Reynolds 6 3 Ressaut hydraulique dans un canal

Ma^triseetMagistere

dePhysiqueFondamentaleAnnee2002{2003

MecaniquedesFluides

Travauxdiriges

Contenu

1Formulaire2

2AproposdutheoremedutransportdeReynolds6

3Ressauthydrauliquedansuncanal8

6Resorptiond'unecavite15

7Oscillationsdansun

uidevisqueux16

8Unproblemed'adherence17

12Instabilitedel'imprimeur26

13Pourunecuillerdemiel...29

14Enoncesdivers32

1FORMULAIRE2

1Formulaire

Operateursdierentiels

Relationsusuelles:

div(!gradU)=U div(!rot~A)=0 !rot(!gradU)=0 !rot(!rot~A)=!graddiv~A~~A !grad(UW)=U!gradW+W!gradU div(U~A)=Udiv~A+~A!gradU !rot(U~A)=!gradU^~A+U!rot~A div(~A^~B)=~B!rot~A~A!rot~B

Relationsintegrales:

I C ~A!dl=ZZ

S(C)!rot~A!dS

I C

U!dl=ZZ

S(C)!gradU^!dS

ZZ S ~A!dS=ZZZ

V(S)div~AdV

ZZ S

U!dS=ZZZ

V(S)!gradUdV

ZZ S ~A^!dS=ZZZ

V(S)!rot~AdV

ZZ S (U!gradWW!gradU)!dS=ZZZ

V(S)(UWWU)dV

TheoremedeLeibnitz:

d dtZ h(t) 0 f(x;t)dx=Z h(t)

0@f@tdx+f[h(t);t]dh(t)dt

TheoremedutransportdeReynolds:

d dtZZZ

V(t)f(~r;t)dV=ZZZ

V(t) @f@t+div fd~rdt dV

1FORMULAIRE3

Coordonneescartesiennes:

!grad(U)=~r(U)=@U @x~ex+@U@y~ey+@U@z~ez div(~A)=~r~A=@Ax @x+@Ay@y+@Az@z !rot(~A)=~r^~A=@Az @y@Ay@z ~ex+@Ax@z@Az@x ~ey+@Ay@x@Ax@y ~ez

U=~r2(U)=@2U

@x2+@2U@y2+@2U@z2 (~A)=~r2(~A)=(Ax)~ex+(Ay)~ey+(Az)~ez

Coordonneescylindriques:

xOm=r mM=z ~er m~eyM ~ez Oz !gradU=~rU=@U @r~er+1r@U@~e+@U@z~ez div(~A)=~r~A=1 r@(rAr)@r+1r@A@+@Az@z !rot(~A)=~r^~A=1 r@Az@@A@z ~er+@Ar@z@Az@r ~e+1r@(rA)@r1r@Ar@ ~ez

U=~r2U=1

r@@r(r@U@r)+1r2@

2U@2+@2U@z2

(~A)=~r2~A=(ArAr r22r2@A@)~er+(AAr2+2r2@Ar@)~e+(Az)~ez

1FORMULAIRE4

Coordonneesspheriques:

xO mz M ~er ~e' ~e y !grad(U)=~rU=@U @r~er+1r@U@~e+1rsin@U@'~e' div(~A)=~r~A=1 r2@(r2Ar)@r+1rsin@(sinA)@+1rsin@A'@' !rot(~A)=~r^~A=1

U=~r2U=1

2@r2(rU)+1r2sin@@(sin@U@)+1r2sin2@

2U@'2 (~A)=~r2~A=(Ar2 r2Ar2r2sin@@(sinA)2r2sin@A'@')~er +(AA

Pourun

uideNewtonienetincompressibleona: div(~u)=~r~u=0 @~u @t+(~u~r)~u=1~rp+~fm+~r2u

Encoordonneescartesiennesavec~u=(u;v;w):

@u @x+@v@y+@w@z=0 @u @t+u@u@x+v@u@y+w@u@z =@p@x+fx+@2u@x2+@2u@y2+@2u@z2

1FORMULAIRE5

@v @t+u@v@x+v@v@y+w@v@z =@p@y+fy+@2v@x2+@2v@y2+@2v@z2 @w @t+u@w@x+v@w@y+w@w@z =@p@z+fz+@2w@x2+@2w@y2+@2w@z2 1 r@(rur)@r+1r@u@+@uz@z=0 surl'axer [@ur @t+ur@ur@r+ur@ur@+uz@ur@zu2 r]=@p@r+fr+[@2ur@r2+1r@ur@rurr2+1r2@

2ur@2+@2ur@z22r2@u@]

surl'axe [@u

2u@2+@2u@z2+2r2@ur@]

surl'axez @uz @t+ur@uz@r+ur@uz@+uz@uz@z =@p@z+fz+@2uz@r2+1r@uz@r+1r2@

2uz@2+@2uz@z2

Encoordonneesspheriquesavec~u=(ur;u;u'):

@ur @r+2urr+1r@u@+ucotr+1rsin@u'@'=0 surl'axer @ur @t+ur@ur@r+ur@ur@+u'rsin@ur@'u2 ru2 'r# =@p@r+fr +@2ur @r2+2r@ur@r2urr2+1r2@

2ur@2+cotr2@ur@+1r2sin2@

2ur@'22r2@u@2ucotr22r2sin@u'@'

surl'axe [@u @t+ur@u@r+urur+ur@u@+u'rsin@u@'u2 'cotr]=1r@p@+f +[@2u

2u@'2+2r2@ur@2cosr2sin2@u'@']

surl'axe' [@u' +[@2u' @r2+2r@u'@ru'r2sin2+1r2@

2u'@2+cotr2@u'@+1r2sin2@

2u'@'2+2r2sin@ur@'+2cosr2sin2@u@']

2APROPOSDUTHEOREMEDUTRANSPORTDEREYNOLDS6

2AproposdutheoremedutransportdeReynolds

auxvariationstemporellesdelagrandeur

M(t)=Z

D(t)f(~r;t)d3~r;

d dt" Z

D(t)f(~r;t)d3~r#

D(t)@f@td3~r+

S(t)f(~r;t)!V(~r;t)d!S(1)

Z D(t) @f @t+divh f(~r;t)!V(~r;t)i d

3~r(2)

champ!F,ilvient: d dt" Z

D(t)!F(~r;t)d3~r#

D(t)@!F@td3~r+

S(t)!F(~r;t)!Vd!S

:(3)

Pourunvolumedecontr^olexe,onretrouve:

d dtZ

D!F(~r;t)d3~r=Z

D@!F@td3~r:(4)

Conservationdelamasse

uide(eventuellement dansledomaineD(t)estainsidonnepar dM dt=Z

D(t)@@td3~r+

S(t)(~r;t)!Vd!S=Z

D(t) @@t+div !V d 3~r: uides dM dt=0()Z D(t) @@t+div(~v) d

3~r=0;

etl'onretrouvelarelationdecontinuite.

2APROPOSDUTHEOREMEDUTRANSPORTDEREYNOLDS7

Transportdelaquantitedemouvement

uides !F(t)=d dt" Z

D(t)(~r;t)~v(~r;t)d3~r#

!F(t)=Z D(t)@ @t(~v)d3~r+ ZZ

S(t)~v

~vd!S :(5) d dtZ h(t)

0f(x;t)dx=Z

h(t)

0@f@tdx+f[h(t);t]dh(t)dt:

parladivergenceduchampdevitesse~v: 1 vd(v)dt=div~v: (~r;t),ona d dtZ

D(t)d~r=Z

D(t)DDtd~r;

theoremedeReynolds.

3RESSAUTHYDRAULIQUEDANSUNCANAL8

3Ressauthydrauliquedansuncanal

uideetsupposelesvitesses fondducanal~ V2

V1surfaceduliquide

H 2P 0z H 1 x

Figure1:Ressauthydraulique

uideesthydrostatique.Exprimer du

2)Equationdeconservationdelamasse.

etantlalargeurducanal. 1

2gH21+V21H1=12gH22+V22H2;

ougestl'accelerationdelapesanteur. b)Onpose F 1=V1 pgH1;F2=V2pgH2et=H2H1: F enfonctiondeH1,H2etgetennenfonctiondeF1. critique). de0,2m,calculerF1puisH2.

3RESSAUTHYDRAULIQUEDANSUNCANAL9

4)Bilanenergetique

a)Onrappellequepouruneparticulede uidedevitesse~vdansunchampdepe- Q= ZZ sc ~v2

2+gz+P!

~v~dS; turbulenteets.cestlasurfacedecontr^ole.

5)Vitessedepropagationd'unmascaret.

deslongueursd'ondegrandes:h0. h0h(x;t) xzy h

0h(x;t)~g

I.Approximationlineaire

1)Justicationdumodele

dedispersion!(k)2=kgth(kh0). z=`). h(x;t). uide),montrerque liquide.Endeduirelarelation @u @t+u@u@x+g@h@x=0: @h @t+@(uh)@x=0: contr^ole. ments.Verierquehestdelaforme h(x;t)=f+(xC0t)+f(x+C0t); u(x;t)=C0 h0[f+(xC0t)f(x+C0t)]: @u @tC0@u@x=0: scendante). deduirelesrelations: dh(u) du 2 =h(u)getqh(u)=12upg+constante. @u @t+U(u)@u@x=0avecU(u)=uqgh(u)=3u=2C0; initial(@xu)t=0.

Endeduirelarelation

@u @x t=0 1 =@u@x t 1 32t
h(x;t=0)=h0+Hcosx L pourjxjL2avecjHjh0 h(x;t=0)=0pourjxj>L 2 etu(x;t=0)=0 locale:@u @t+U(u)@u@x=0avecU(u)=C0+32u: elisation.

2)EquationdeKortewegdeVries(KdV)

sionimplique @u @t+C0@u@x+C0h2 06@

3u@x3=0:

l'equationlocaleprecedentedevient @u @t+ C

0+32u@u@x+C0h2

06@

3u@x3=0:

V(x;t),onobtientl'equationditedeKdV:

@V @t+V@V@x+@3V@x3=0; ouestuneconstante. u(x;t)=3C ch2" pC

2(xCt)#

`etVobtenueauIV-3)est-ellesatisfaite?

5Ecoulementbarotroped'ungazcompressible

1)Rappelerl'equationd'Eulerpourun

mentscompressiblesbarotropes. estl'enthalpiemassique,puis h=

1P+Cste:

Dansl'expressionprecedente,

de l'enthalpiemassiquetotale h tot=

1P+v22+gz

6RESORPTIOND'UNECAVITE15

6Resorptiond'unecavite

Un formeintegraledel'equationdecontinuite. F0(t)

R+U22=P0:(1)

souslaforme:~u=~ravec~r(@t+u2=2+P=)=0.

Deduirede(1)queUsatisfaitl'equation:

3U2 2R2dU

2dR=P0:(2)

=s 3 2P0Z a 0dRq (a=R)31= 3a22P0!

1=2(5=6)(1=3):(3)

Rappel:B(;)=R1

0t1(1t)1dt=()()=(+)ou()=R+1

0t1etdt

avec(+1)=()et(1=2)=p le considerable. uide,unepressionquitendvers l'innilorsquettendvers.

7OSCILLATIONSDANSUNFLUIDEVISQUEUX16

7Oscillationsdansun

uidevisqueux

Onconsidereun

induitdansle

Milieusemi-inni

Le estuneamplitudecomplexe. constanteadditivepres,lafonctionP(z).) 2=!. le plaqueau uide.

Vs'ecrit,danslecaspresent:

P=Z V @u @z 2 dv: uideparlesforces deviscosite.Conclusion?

Epaisseurnie

Onsupposemaintenantquele

laplaqueexercesurle uide.

8UNPROBLEMED'ADHERENCE17

8Unproblemed'adherence

I-Ecoulementrampantdansunlmmince

Ons'interesseal'ecoulementd'un

fx;y;z=0gy xz

Ofx;y;z=h(x;y)g

uidevisqueuxincompressiblecou- champdepressionp(x;y;z;t). r

2~u'@2~u

@z2: realiseedanslasuite. neglige.

7)Letenseurdescontraintesest

T ij=pij+ @ui @xj+@uj@xi! depression.

8UNPROBLEMED'ADHERENCE18

II-Calculd'adherence

onaobtenulesequationslocales: !gradp=@2 div~u=0 T ij=pij cesdeuxsurfacesoccupeparun p0a pressionatmospheriqueF(t)^z h(t)^r div~u=1 r@@r(rur)+1r@@u+@@zuz: auxlimitessuruzenz=h(t). surfacedu uideencontactavecl'air. uidesurledisque.

8UNPROBLEMED'ADHERENCE19

4)AN.Ondonne

h=0;1mm dh dt=1mms1 a=1cm =1;004106m2s1 =1;002103Nsm2) pourl'eaua20C

Soitun

l'actiondelapesanteurestnegligeable. souslaforme: @P @x=G(t)et@2u@y2@u@t=G(t):(1)quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Ma^triseetMagistere

MecaniquedesFluides

Travauxdiriges

Contenu

1Formulaire2

2AproposdutheoremedutransportdeReynolds6

3Ressauthydrauliquedansuncanal8

6Resorptiond'unecavite15

7Oscillationsdansun

8Unproblemed'adherence17

12Instabilitedel'imprimeur26

13Pourunecuillerdemiel...29

14Enoncesdivers32

1FORMULAIRE2

1Formulaire

Operateursdierentiels

Relationsusuelles:

Relationsintegrales:

S(C)!rot~A!dS

U!dl=ZZ

S(C)!gradU^!dS

V(S)div~AdV

U!dS=ZZZ

V(S)!gradUdV

V(S)!rot~AdV

V(S)(UWWU)dV

TheoremedeLeibnitz:

0@f@tdx+f[h(t);t]dh(t)dt

TheoremedutransportdeReynolds:

V(t)f(~r;t)dV=ZZZ

1FORMULAIRE3

Coordonneescartesiennes:

U=~r2(U)=@2U

Coordonneescylindriques:

U=~r2U=1

2U@2+@2U@z2

1FORMULAIRE4

Coordonneesspheriques:

U=~r2U=1

2@r2(rU)+1r2sin@@(sin@U@)+1r2sin2@

Pourun

Encoordonneescartesiennesavec~u=(u;v;w):

1FORMULAIRE5

2ur@2+@2ur@z22r2@u@]

2u@2+@2u@z2+2r2@ur@]

2uz@2+@2uz@z2

Encoordonneesspheriquesavec~u=(ur;u;u'):

2ur@2+cotr2@ur@+1r2sin2@

2ur@'22r2@u@2ucotr22r2sin@u'@'

2u@'2+2r2@ur@2cosr2sin2@u'@']

2u'@2+cotr2@u'@+1r2sin2@

2u'@'2+2r2sin@ur@'+2cosr2sin2@u@']

2APROPOSDUTHEOREMEDUTRANSPORTDEREYNOLDS6

2AproposdutheoremedutransportdeReynolds

M(t)=Z

D(t)f(~r;t)d3~r;

D(t)f(~r;t)d3~r#

D(t)@f@td3~r+

S(t)f(~r;t)!V(~r;t)d!S(1)

3~r(2)

D(t)!F(~r;t)d3~r#

D(t)@!F@td3~r+

S(t)!F(~r;t)!Vd!S

Pourunvolumedecontr^olexe,onretrouve:

D!F(~r;t)d3~r=Z

D@!F@td3~r:(4)

Conservationdelamasse

D(t)@@td3~r+

S(t)(~r;t)!Vd!S=Z

3~r=0;

2APROPOSDUTHEOREMEDUTRANSPORTDEREYNOLDS7

Transportdelaquantitedemouvement

D(t)(~r;t)~v(~r;t)d3~r#

S(t)~v

0f(x;t)dx=Z

0@f@tdx+f[h(t);t]dh(t)dt:

D(t)d~r=Z

D(t)DDtd~r;

3RESSAUTHYDRAULIQUEDANSUNCANAL8