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SOLUTIONS EXERCICES 7 - Équations différentielles linéaires d'ordre 1 qu'on a appris au cours, d'abord on trouve toutes les solutions de l'équation

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles Exercice 1 Donner l' ensemble des solutions des équations différentielles suivantes : 1 y/(x) - 4 y(x)=3

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(b) Application : calculer les primitives de ln sur un intervalle approprié Exercice 2 : équations différentielles 1 Résoudre les équations différentielles suivantes

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2 2 Exercices 2 5 Corrigé du devoir cours Toutes les équations différentielles qui seront traitées ont des solutions, et nous le vérifierons au cas par cas 2

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Exercice 7 9 Donner une équation différentielle ayant e2x cosx et e2x sinx comme solutions 5 Le grenier (non corrigé) On consulte le cours, pour en déduire que les racines sont complexes conjuguées égales à 3 + i et 3 − i (la partie

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Donner toutes les solutions de (E) définies sur ]0,∞[ Exercice 2 Résoudre l' équation suivante : y − 3y + 2y = ex Exercice 3 Résoudre l'équation suivante :

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SOLUTIONS EXERCICES 7 - Équations différentielles linéaires d'ordre 1 qu'on a appris au cours, d'abord on trouve toutes les solutions de l'équation

2y(x) (e)y0(x) =exy(x) (f)y0(x) =xy(x)p4x2

(g)y0(x) = ln(x)y(x) (h)y0(x) = sin(x)cos(x)y(x) Sol.Nous avons appris que toutes les solutions d"un problème homogèney0(x) =a(x)y(x)sont : y h(x) =CeA(x); avecCune constante etA(x)une fonction enxtelle queA0(x) =a(x). Donc la seule difficulté dans

l"exercice est de trouverA(x), avec la propriété énoncée, pour chaque équation (en faisant toujours

attention à l"ensemble de définition) : (a)A(x) =x22 =)yh(x) =Cex22

(b)Il faut faire attention à l"ensemble de définition, qui estx6= 0(c.-à-d.Rnf0g), donc dans notre

recherche des solutions il faut distinguer le casx >0et le casx <0.

Pourx >0on aA(x) = ln(x) =)yh(x) =C1x.

Pourx <0, on peut écrire l"équation commey0(x) =1xy(x); doncA(x) = ln(x) =)yh(x) = C

2eln(x)=C2x=C3x. (On a fait cela sinonln(x)n"est pas défini pourx <0).

(c)A(x) =x33 =)yh(x) =Cex33

(d)Comme en (b), l"ensemble de définition estx6= 0. Donc comme on a déjà fait, il faut distinguer le

casx >0etx <0.

Pourx >0on aA(x) =1x

et doncyh(x) =C1e1x

Pourx <0, également on aA(x) =1x

et doncyh(x) =C2e1x Faites attention : on ne peut dire que donc on a une solution globale surR, car pourx= 0il y a un problème de définition. (e)A(x) =ex=)yh(x) =Ceex,

(f)Comme en (b) et (d) il faut faire attention à l"ensemble de définition, qui dans ce cas est donné

par2x2. Avec cette conditionA(x) =p4x2et doncyh(x) =Cep4x2pour2x2. (g)Dans ce cas l"ensemble de définition estx >0. Avec cette conditionA(x) =xln(x)xet donc y h(x) =Cxxexpour toutex >0. (h)A(x) =sin2(x)2 =)yh(x) =Cesin2(x)2

Exercice 2.Déterminer les (uniques) solutions des équations de l"exercice précédent vérifiant respecti-

vement (a)y(0) = 1 (b)y(1) =(c)y(1) =e (d)y(2) = 1 (e)y(0) =e(f)y(2) = 0 (g)y(1) = 1 (h)y(2 ) = 1

Sol.Il faut trouver la constanteCtelle queyh(x), trouvée dans l"exercice précedent, satisfasse la

condition requise dans chaque point. Il faut faire toujours attention que le point où la condition est

requise soit dans l"ensemble de définition de notre équation. On dénote l"unique solutiony0(x). Donc

en utilisant l"exercice1on a : (a)yh(0) =Ce0=Cet on veut avoiryh(0) = 1 =)C= 1 =)y0(x) =ex22 (b)yh(1) =Cet on veut avoiryh(1) ==)C==)y0(x) =x(definie pourx >0), (c)yh(1) =Ce1=3et on veut avoiryh(1) =e=)C=e2=3=)y0(x) =e2+x33 (d)yh(2) =Ce1=2et on veut avoiryh(2) = 1 =)C=e1=2=)y0(x) =e12 1x (definie pourx >0), (e)yh(0) =Ce1=Ceet on veut avoiryh(0) =e=)C= 1 =)y0(x) =eex, (f)yh(2) =Ce0=Cet on veut avoiryh(2) = 0 =)C= 0 =)y0(x) = 0(definie pour2x2), (g)yh(1) =Ce1et on veut avoiryh(1) = 1 =)C=e=)y0(x) =e1xxx(definie pourx >0), (h)yh(=2) =Ce1=2et on veut avoiryh(=2) = 1 =)C=e1=2=)y0(x) =esin2(x)12

Exercice 3.Donner toutes les solutions des équations différentielles suivantes (pour simplifier la nota-

tion on a écrityà la place dey(x)) : (a)y0=y+xex+ 1 (b)y0= 3y+ sin(3x) (c)y0=y+ sin(x) + 2cos(x) (d)3y0=2y+x3+ 6x+ 1

Sol.Soity0(x) =a(x)y(x) +b(x)une équation différentielle linéaire d"ordre1. En suivant la méthode

qu"on a appris au cours, d"abord on trouve toutes les solutions de l"équation homogène associéeyh(x)

et après on trouve une solution particulièreyp(x) =c(x)y0(x), oùy0(x)est une solution homogène

particulière (précisément celle qu"on obtient de l"expression deyh(x)avec la constanteC= 1) et

c(x) =Rb(x)y

0(x)dx. Une fois qu"on a trouvéyh(x)(infinies) etyp(x)(une seule), toutes les solutions de

l"équation initielle sont : y(x) =yh(x) +yp(x): (a)L"équation homogène associée esty0=y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Cex:

On choisity0(x) =exet on va trouverc(x) =Rxex+1e

xdx c(x) =Zxex+ 1e xdx Z (x+ex)dx=x22 +ex: Donc y p(x) =c(x)y0(x) =x22 ex+ 1:

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Cex+x22 ex+ 1: (b)L"équation homogène associée esty0= 3y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Ce3x: En utilisant les raccourcis (cara(x) = 3ne dépend pas dex), on ayp(x) =Asin(3x) +Bcos(3x), avecAetBà déterminer. Vu queyp(x)doit satisfaire l"équation initiale, afin de trouverAetBon calculey0p(x) = 3yp(x) + sin(3x):

3Acos(3x)3Bsin(3x) = 3Asin(3x) + 3Bcos(3x) + sin(3x);

d"où on obtient (en factorisant les coefficients decos(3x)et desin(3x))

3A3B= 0

3B3A1 = 0

qui nous donneA=B=16 Donc y p(x) =16 sin(3x)16 cos(3x):

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Ce3x16 sin(3x)16 cos(3x): (c)L"équation homogène associée esty0=y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Cex: En utilisant les raccourcis (cara(x) = 1ne dépende pas dex), on ayp(x) =Asin(x) +Bcos(x) +

2Csin(x)+2Dcos(x) =Esin(x)+Fcos(x), avecEetFà déterminer. Commeyp(x)doit satisfaire

l"équation initiale, afin de trouverEetFon calculey0p(x) =yp(x) + sin(x) + 2cos(x): Ecos(x)Fsin(x) =Esin(x) +Fcos(x) + sin(x) + 2cos(x); d"où l"on obtient (en factorisant les coefficients decos(x)et desin(x))

EF2 = 0

FE1 = 0

qui nous donneE=12 etF=32 Donc y p(x) =12 sin(x)32 cos(x):

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Cex+12 sin(x)32 cos(x): (d)L"équation est équivalente ày0=23 y+13 x3+2x+13 . L"équation homogène associée esty0=23 y, donc on voit immédiatement que y h(x) =Ce23 x:

En utilisant les raccourcis (cara(x) =23

ne dépende pas dex), on ayp(x) =Ax3+Bx2+Dx+E,

avecA; B; DetEà déterminer. Commeyp(x)doit satisfaire l"équation initiale, afin de trouver les

coefficients on calculey0p(x) =23 yp(x) +13 x3+ 2x+13

3Ax2+ 2Bx+D=23

(Ax3+Bx2+Dx+E) +13 x3+ 2x+13 d"où l"on obtient (en factorisant les coefficients dex3; x2; xet de1)

8>>>><

>>>:23 A13 = 0 3A+23 B= 0 2B+23

D2 = 0

D+23 E13 = 0 qui nous donneA=12 ; B=94 ; D=394 etE=1138 . Donc y p(x) =12 x394 x2+394 x1138

Ainsi toutes les solutions sont :

y(x) =Ce23 x+12 x394 x2+394 x1138

Exercice 4.Résoudre les problèmes de Cauchy suivants (pour simplifier la notation on écrit ayà la

place dey(x)) : (a)( y0=5y+ 3 y(0) = 0(b)( y0=3y+ 4ex y(0) =2(c)( y0= 3y+ sin(3x) + sin(2x) y(0) = 0 Sol.Pour trouver l"UNIQUE (!) solution d"un problème de Cauchy il faut d"abord trouver toutes les

solutions de l"équation différentielle linéaire d"ordre1dans la première ligne et après trouver l"unique

valeur de la constanteCtelle que la condition dans la deuxième ligne soit satisfaite. (a)L"équationy0=5y+ 3a comme solutions homogènesyh(x) =Ce5xet solution particulière y p(x) =35 . Donc toutes les solutions sonty(x) =Ce5x+35 . Maintenant il faut trouverCtel que y(0) = 0mais en posantx= 0on obtient y(0) =Ce0+35 =C+35 doncC=35 Donc l"unique solution du problème de Cauchy est : y(x) =35 (e5x+ 1): (b)L"équationy0=3y+ 4exa comme solutions homogènesyh(x) =Ce3xet solution particulière (en utilisant les raccourcis car3ne dépend pas dex)yp(x) =Aex, avecAà déterminer. Pour trouverAon va substitueryp(x)dans l"équation initiale en obtenantAex=3Aex+ 4ex, d"où on aA= 1(en factorisant les coefficients deex). Donc toutes les solutions sonty(x) =Ce3x+ex. Maintenant il faut trouverCtel quey(0) =2: en posantx= 0on obtient y(0) =Ce0+ 1 =C+ 1 doncC=3. Donc l"unique solution du problème de Cauchy est : y(x) =3e3x+ex: (c)L"équationy0= 3y+ sin(3x) + sin(2x)a comme solutions homogènesyh(x) =Ce3xet solution particulière (en utilisant les raccourcis car3ne dépend pas dex) de typeyp(x) =Asin(3x) + Bcos(3x)+Dsin(2x)+Ecos(2x), avecA; B; DetEà déterminer. Pour les trouver on va substituer y p(x)dans l"équation initiale en obtenant

3Acos(3x)3Bsin(3x)+2Dcos(2x)2Esin(2x) = 3Asin(3x)+3Bcos(3x)+3Dsin(2x)+3Ecos(2x)+sin(3x)+sin(2x)

d"où (en factorisant les coefficients desin(3x);cos(3x);sin(2x);cos(2x)) on a

8>>>><

>>>:3A3B= 0

3A3B1 = 0

2D3E= 0

2E3D1 = 0

qui nous donneA=16 ; B=16 ; D=313 etE=213 . Donc toutes les solutions sonty(x) = Ce 3x16 sin(3x)16 cos(3x)313 sin(2x)213 cos(2x). Maintenant il faut trouverCtel quey(0) = 0 mais en posantx= 0on obtient y(0) =Ce016 213
=C2578 doncC=2578 Donc l"unique solution du problème de Cauchy est : y(x) =2578 e3x16 sin(3x)16 cos(3x)313 sin(2x)213 cos(2x): Exercice 8.Déterminer les solutions aux problèmes inhomogènes suivants : (a) (1 +x2)y0(x)2xy(x) = (1 +x2)2 (b)y0(x) + 2xy(x) = 2xex2 (c)y0(x) =x2(1y(x))

Sol.Pour la notation regarder l"exercice3.

(a)On veut résoudre l"équation(1+x2)y0(x)2xy(x) = (1+x2)2, que, en divisant par(1+x2)(1+x26=

0pour toutexdonc aucun problème), on peut écrire aussi commey0(x) =2x1 +x2y(x) + 1 +x2.

Les solutions homogènes associées sont :

y h(x) =Celn(1+x2)=C(1 +x2)

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention,

dans ce cas on ne peut utiliser les raccourcis!) : c(x) =Z1 +x21 +x2dx=Z

1dx=x;

donc y p(x) =x(1 +x2): Ainsi toutes les solutions de l"équation(a)sont y(x) = (1 +x2)(C+x):

(b)On veut résoudre l"équationy0(x) =2xy(x) + 2xex2. Les solutions homogènes associées sont :

y h(x) =Cex2

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention,

dans ce cas on ne peut pas utiliser les raccourcis!) : c(x) =Z2xex2e x2dx=Z

2xdx=x2;

donc y p(x) =ex2x2: Ainsi toutes les solutions de l"équation(b)sont y(x) =ex2(C+x2): (c)On veut résoudre l"équationy0(x) =x2(1y(x)), qu"on peut écrire aussi commey0(x) =x2y(x)+ x

2. Les solutions homogènes associées sont :

y h(x) =Cex33

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention,

dans ce cas on ne peut pas utiliser les raccourcis!) : c(x) =Zx2e x33 dx=Z x 2ex33 dx=ex33 donc y p(x) =ex33 ex33 = 1: Ainsi toutes les solutions de l"équation(c)sont y(x) =Cex33 + 1: Exercice 9.Déterminer les solutions aux problèmes homogènes suivants : (a)y0(x) =2x+ 1y(x) (b)xy0(x) + 3y(x) = 0 (c)y0(x) + cos(x)y(x) = 0 Utilisant le point précédent, résoudre les problèmes inhomogènes suivants : (a)y0(x) =2x+ 1y(x) + (x+ 1)2cos(x) (b)xy0(x) + 3y(x) =x2 (c)?y0(x) + cos(x)y(x) = sin(x)cos(x)(...utiliser l"intégration par parties...)

Sol.On va résoudre directement les trois équations différentielles, pour la notation regarder l"exercice

3: (a)D"abord il faut remarquer que l"ensemble de définition est donné par la conditionx6=1. Donc dans notre recherche des solutions il faut distinguer le casx >1et le casx <1. Pourx >1, les solutions homogènes associées sont : y h(x) =C1e2ln(x+1)=C1(x+ 1)2

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention, dans

ce cas on ne peut pas utiliser les raccourcis!) : c(x) =Z(x+ 1)2cos(x)(x+ 1)2dx=Z cos(x)dx= sin(x); donc y p(x) = sin(x)(x+ 1)2: Ainsi toutes les solutions de l"équation(a)pourx >1sont y(x) = (C1+ sin(x))(x+ 1)2: Pourx <1, les solutions homogènes associées sont : y h(x) =C2e2ln((x+1))=C2(x+ 1)2 et comme avantc(x) = sin(x);donc y p(x) = sin(x)(x+ 1)2: Ainsi toutes les solutions de l"équation(a)pourx <1sont y(x) = (C2+ sin(x))(x+ 1)2:

(b)D"abord on écrit l"équation avec coefficient dey0(x)égal à1. Cette à dire pourx6= 0on divise

parxen obtenanty0(x) =3x y(x) +x. Comme l"ensemble de définition maintenant estx6= 0, pour trouver les solutions il faut distinguer le casx >0etx <0. Pourx >0, les solutions homogènes associées sont : y h(x) =C1e3ln(x)=C1x3

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention que

dans ce cas on ne peut pas utiliser les raccourcis!) : c(x) =Zxx 3dx=Z x

4dx=x55

donc y p(x) =x55 x3=x25 Ainsi toutes les solutions de l"équation(b)pourx >0sont y(x) =C1x3+x25 Pourx <0, les solutions homogènes associées sont : y h(x) =C2e3ln(x)=C3x3 et comme avantc(x) =x55 ;donc y p(x) =x55 x3=x25 Ainsi toutes les solutions de l"équation(b)pourx <0sont y(x) =C2x3+x25

Attention!Pour cette équation il y a aussi une solution globale (c.-à-d. une solution définie sur

toutR) et pour l"expliciter il faut trouver la constanteCpour la quelle on peut unifier une solution à droite de0et une à gauche pour avoir une fonction continue en0. La seule constante qui nous donne cette propriété estC= 0, donc la seule solution globale est : y(x) =x25

(c)D"abord on amènecos(x)y(x)à droite, donc l"équation devienty0(x) =cos(x)y(x)+sin(x)cos(x).

Les solutions homogènes associées sont :

y h(x) =Cesin(x)

et pour trouver la solution particulière on va calculer l"intégrale qui nous donnec(x)(attention que

dans ce cas on ne peut pas utiliser les raccourcis!) : c(x) =Zsin(x)cos(x)e sin(x)dx=Z sin(x)cos(x)esin(x); on le résout par partie ( Ru(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Ru0(x)v(x)dx) avecu(x) = sin(x)etv0(x) = cos(x)esin(x)(et doncu0(x) = cos(x)etv(x) =esin(x)), Donc y p(x) = (esin(x)sin(x)esin(x))esin(x)= sin(x)1: Ainsi toutes les solutions de l"équation (c) sont y(x) =Cesin(x)+ sin(x)1:

Exercice 10.

?Les problèmes de Cauchy suivants sont de la formey0(x) =a(x)y(x) +b(x)y(x)n. La

méthode de Bernoulliconsiste à les réduire à des problèmes linéaires de première ordre en substituant

z(x) =y(x)1n. Donnez la solution unique en utilisant cette méthode et précisez l"intervalle maximal

d"existence. (a)( y0(x) =y(x) +y(x)2; y(0) = 1(b)8 :y

0(x) =xy(x)2+xy(x)1 +x2

y(0) =3(c)8 :y

0(x) =y(x)2xy(x)3

2y12 =pe Sol.

(a)En suivant la méthode expliquée dans l"énoncé du problème on posez(x) =y(x)1, d"oùz0(x) =

y0(x)y

2(x)=y0(x)z2(x)et doncy0(x) =z0(x)z

2(x). Ainsi notre équation devientz0(x)z

2(x)=1z(x)+1z

2(x), d"où, en multipliant parz2(x)(et en changeant le signe), on obtientz0(x) =z(x)1. Maintenant

l"équation est devenue plus abordable, on a que toutes les solutions homogènes sontzh(x) =Cexet

z p(x) =c(x)ex, avecc(x) =Rexdx=ex. Donczp(x) =1et toutes les solutions de l"équation sont : z(x) =Cex1; d"où on obtient y(x) =1Ce x1; définie pour toutextelle queCex6= 1, c.-à-d.x6=ln(1=C). Il ne nous reste qu" imposer la conditiony(0) = 1. Vu quey(0) =1Ce

01=1C1, en posant ça

égal à1, on obtientC= 2. Donc l"unique solution du problème de Cauchy(a)qu"on obtient est : y(x) =12ex1 définie pour toutx6= ln(2).

(b)En suivant la méthode expliquée dans l"énoncé du problème on posez(x) =y(x)1, d"oùz0(x) =

y0(x)y

2(x)=y0(x)z2(x)et doncy0(x) =z0(x)z

2(x).

Ainsi notre équation devientz0(x)z

2(x)=xz

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

[PDF] [PDF] Équations différentielles linéaires dordre 1 Exercice 1 Déterminer

2y(x) (e)y0(x) =exy(x) (f)y0(x) =xy(x)p4x2

Pourx >0on aA(x) = ln(x) =)yh(x) =C1x.

2eln(x)=C2x=C3x. (On a fait cela sinonln(x)n"est pas défini pourx <0).

Pourx >0on aA(x) =1x

Pourx <0, également on aA(x) =1x

0(x)dx. Une fois qu"on a trouvéyh(x)(infinies) etyp(x)(une seule), toutes les solutions de

On choisity0(x) =exet on va trouverc(x) =Rxex+1e

Ainsi toutes les solutions sont :

3Acos(3x)3Bsin(3x) = 3Asin(3x) + 3Bcos(3x) + sin(3x);

3A3B= 0

3B3A1 = 0

Ainsi toutes les solutions sont :

2Csin(x)+2Dcos(x) =Esin(x)+Fcos(x), avecEetFà déterminer. Commeyp(x)doit satisfaire

EF2 = 0

FE1 = 0

Ainsi toutes les solutions sont :

En utilisant les raccourcis (cara(x) =23

3Ax2+ 2Bx+D=23

8>>>><

D2 = 0

Ainsi toutes les solutions sont :

3Acos(3x)3Bsin(3x)+2Dcos(2x)2Esin(2x) = 3Asin(3x)+3Bcos(3x)+3Dsin(2x)+3Ecos(2x)+sin(3x)+sin(2x)

8>>>><

3A3B1 = 0

2D3E= 0

2E3D1 = 0

Sol.Pour la notation regarder l"exercice3.

0pour toutexdonc aucun problème), on peut écrire aussi commey0(x) =2x1 +x2y(x) + 1 +x2.

Les solutions homogènes associées sont :

1dx=x;

2xdx=x2;

2. Les solutions homogènes associées sont :

4dx=x55

Les solutions homogènes associées sont :

Exercice 10.

0(x) =xy(x)2+xy(x)1 +x2

0(x) =y(x)2xy(x)3

2(x)=y0(x)z2(x)et doncy0(x) =z0(x)z

2(x). Ainsi notre équation devientz0(x)z

2(x)=1z(x)+1z

01=1C1, en posant ça

2(x)=y0(x)z2(x)et doncy0(x) =z0(x)z

Ainsi notre équation devientz0(x)z

2(x)=xz