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2 2 Exercices 2 5 Corrigé du devoir cours Toutes les équations différentielles qui seront traitées ont des solutions, et nous le vérifierons au cas par cas 2

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles Exercice 1 Donner l' ensemble des solutions des équations différentielles suivantes : 1 y/(x) - 4 y(x)=3

[PDF] Équations différentielles - Exo7 - Exercices de mathématiques

[006993] Exercice 4 Variation de la constante Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation

[PDF] Série dexercices no6 Équations différentielles Exercice 1 : calcul de

(b) Application : calculer les primitives de ln sur un intervalle approprié Exercice 2 : équations différentielles 1 Résoudre les équations différentielles suivantes

[PDF] Équations différentielles

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[PDF] Chapitre 7 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Enoncé des exercices

Exercice 7 9 Donner une équation différentielle ayant e2x cosx et e2x sinx comme solutions 5 Le grenier (non corrigé) On consulte le cours, pour en déduire que les racines sont complexes conjuguées égales à 3 + i et 3 − i (la partie

[PDF] Équations différentielles ordinaires - Gloria FACCANONI - Université

27 mai 2016 · Recueil d'exercices corrigés et aide-mémoire Ce fascicule est un support pour le cours d'équations différentielles ordinaires en deuxième

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18 mai 2010 · Exercice 1 (Premier ordre sans second membre : Exo 1 de la feuille 4) Déterminer les solutions maximales des équations différentielles

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Exercice assez délicat, comportant des questions difficiles, Exercice très Dans tout le corrigé, l'ensemble des solutions d'une équation différentielle (L) (resp (H) , (E)) est De plus, d'après le cours, comme X • In (In x) cst une primitive de x

[PDF] Équations différentielles

Donner toutes les solutions de (E) définies sur ]0,∞[ Exercice 2 Résoudre l' équation suivante : y − 3y + 2y = ex Exercice 3 Résoudre l'équation suivante :

[PDF] Équations différentielles linéaires dordre 1 Exercice 1 Déterminer

SOLUTIONS EXERCICES 7 - Équations différentielles linéaires d'ordre 1 qu'on a appris au cours, d'abord on trouve toutes les solutions de l'équation

Équations différentielles

Bernard Ycart

Ce chapitre ne contient pratiquement rien de théorique; seulement des méthodes de calcul classiques, pour les équations différentielles les plus simples. Quelle que soit votre orientation scientifique, vous rencontrerez un jour des équations différentielles; voilà donc une raison d"assimiler la culture de base que vous donne ce chapitre. Auparavant, il serait bon de réviser les techniques de calcul des primitives.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Problèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Solution générale et problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Equations linéaires sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Équations linéaires avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Équations à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Seconds membres en exponentielles et polynômes . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Changements de fonctions et de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Entraînement 20

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Compléments 38

3.1 Chaînette, tractrice et brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Les frères Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6 Le mariage de Sophie Kovalevskaïa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

22 janvier 2011

Maths en LigneÉquations différentiellesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Problèmes différentiels

La plupart des modèles différentiels se présentent sous la forme suivante : y (d)(t) =g(t,y(t),y?(t),...,y(d-1)(t)).(1) L"entierdest l"ordrede l"équation. La fonction inconnueyest une fonction deRdans R k, de même que ses dérivées successivesy?,...,y(d). La fonctiongest une fonction de d+ 1variables. La variabletest réelle, et représente letemps. Les variables suivantes peuvent être vectorielles. Le problème consiste à trouver un intervalle ouvertIdeRet une fonctiony:I-→Rk, dérivable jusqu"à l"ordredet vérifiant (1) pour toutt?I.

Trois types de questions se posent.

1.Questions théoriques :à quelle(s) condition(s) portant sur la fonctionfl"équation

(1) admet-elle des solutions? Sur quel(s) intervalle(s) deRces solutions sont-elles définies? Existe-t-il une solution unique vérifiant des conditions données? Nous n"aborderons pas ces questions théoriques, qui dépassent le niveau de ce cours. Toutes les équations différentielles qui seront traitées ont des solutions, et nous le vérifierons au cas par cas.

2.Résolution formelle :est-il possible d"exprimer les solutions de (1) comme com-

binaisons de fonctions classiques? Il existe de très nombreuses méthodes de résolution formelle des équations dif- férentielles, adaptées chacune à un type particulier d"équation. Elles sont implé- mentées dans les logiciels de calcul formel commeXcas. Le but de ce chapitre est de présenter certaines des plus simples de ces méthodes.

3.Résolution numérique :est-il possible de calculer par ordinateur des approxima-

tions numériques des solutions de (1)? Quelle précision par rapport aux solutions théoriques une méthode donnée permet-elle d"atteindre? Les problèmes différentiels rencontrés dans les applications n"ont que rarement une solution formelle explicite. De plus la résolution explicite, qu"elle produise une solution comme combinaison de fonctions classiques, sous forme de série en- tière ou de transformée de Laplace inverse, ne fait que déplacer le problème de l"évaluation numérique. Considérons par exempley?(t) =y(t). La solution est im- médiate, c"esty(t) = ety(0). Mais s"il doit calculeretpourt= 2.53, l"ordinateur utilisera un algorithme d"approximation polynomiale. Les fonctions classiques peuvent être définies comme des sommes de séries (exponentielle), des intégrales (fonction Gamma), ou même des solutions de certaines équations différentielles (fonctions de Bessel). Dans ce dernier cas c"est précisément parce que des équa- tions couramment rencontrées n"avaient pas de solution explicite que l"on a été amené à baptiser leurs solutions. Pour un ordinateur, toute fonction, qu"elle soit " explicite » ou non, correspond in fine à un algorithme de calcul approché : ap- proximation polynomiale, intégration numérique, ou même résolution numérique 1

Maths en LigneÉquations différentiellesUJF Grenobled"équation différentielle. Les méthodes d"approximation numérique ont donc une

portée beaucoup plus générale que les méthodes formelles, mais nous ne les abor- derons pas. Une équation sous la forme (1) est ditehomogène en tempssi son expression ne dépend pas de la première variablet: y (d)(t) =g(y(t),y?(t),...,y(d-1)(t)). Pour rendre une équation homogène en temps, il suffit de considérer le tempstcomme une inconnue fictive, en posantz(t) = (t,y(t)). On a alors : z ?(t) = (1,y?(t)), z??(t) = (0,y??(t)),..., z(d)(t) = (0,y(d)(t)). Typiquement un modèle est homogène en temps quand le choix de l"origine n"intervient pas dans les hypothèses de modélisation. Siy(t)est solution d"une équation homogène en temps, avecy(t0) =x, alors l"applicationzqui àtassociey(t0+t)est solution de la même équation différentielle, avecz(0) =x. Dans un modèle homogène en temps, on peut toujours choisir0comme instant initial, et considérer sans perte de généralité que la condition initiale est donnée ent= 0. Toujours au prix d"une augmentation de la dimension, on peut ramener une équation d"ordredà une équation d"ordre1. Il suffit pour cela de poser : y

0(t) =y(t), y1(t) =y?(t),..., yd-1(t) =y(d-1)(t).

d-1sont une solution du système suivant : ???????y ?0(t) =y1(t) y ?1(t) =y2(t)... y ?(d-2)(t) =y(d-1)(t) y ?(d-1)(t) =g(t,y0(t),y1(t),...,y(d-1)(t)). deY?(t) =G(t,Y(t)), avec :

G(t,y0,...,yd-2,yd-1) =?

1,...,yd-1,g(t,y0(t),...,y(d-1)(t))?

Considérons par exemple l"équation d"ordre2suivante : y ??(t) =y?(t) +y(t) +t . La fonction vectorielleYdéfinie parY(t) = (t,y(t),y?(t))est solution de l"équation d"ordre1homogène en tempsY?(t) =G(Y(t)), avec :

G(s,y1,y2) = (1,y2,y2+y1+s).

Maths en LigneÉquations différentiellesUJF GrenobleOn peut ainsi transformer toute équation explicite en une équation d"ordre1homogène

en temps. Ceci présente de nombreux avantages, théoriques et pratiques. Considérons une équation différentielle d"ordre1dansRd, homogène en temps : Y ?(t) =G(Y(t)). Toute solutionY(t)définit une courbe dansRd, paramétrée part. On peut voir cette courbe comme la trajectoire d"un mobile. Le vecteurY?(t)est le vecteur vitesse de ce mouvement et il est tangent à la courbe. L"applicationG, deRddansRd, peut être vue comme unchamp de vecteursdans l"espace. C"est le champ de tous les vecteurs vitesse possibles pour les trajectoires solution deY?=G(Y). Nous donnons ci-dessous deux exemples d"équations différentielles dansR2, avec une représentation discrétisée du champ des vecteurs tangents, et quelques trajectoires de solutions de l"équation différentielle.

Exemple 1 (figure 1) :

?x?(t) =-x(t)-2y(t)/log(x(t)2+y(t)2) y ?(t) =-y(t) + 2x(t)/log(x(t)2+y(t)2).-45 -45 y x D D D DFig.1 - Représentation graphique d"un système d"équations différentielles dansR2 (exemple 1).

Exemple 2 (figure 2) :

?x?(t) =-x(t)2-y(t) y ?(t) =-x(t) +y(t)2. Nous allons chercher à résoudre certaines équations d"ordre1, dont les fonctions incon- nues seront des fonctions deRdansR. y ?(t) =g(t,y(t)), 3 Maths en LigneÉquations différentiellesUJF Grenoble-55 -55 y x D D DDFig.2 - Représentation graphique d"un système d"équations différentielles dansR2 (exemple 2). oùgest une fonction deR2dansR. Pour une telle équation, on visualise par leurs graphes dansR2les fonctions solutions (ten abscisse,y(t)en ordonnée). Supposons qu"au point(t,y)passe une solution. La dérivée de cette solution esty?(t) =g(t,y(t)): le vecteurY?(t) = (1,g(t,y(t)))est tangent à la courbe représentant la solution, au point(t,y(t)). Voici deux exemples.

Exemple 3 (figure 3) :

y ?(t) = 2y(t)-(y(t))2. 02 -25 y(t) t D D D DFig.3 - Représentation graphique d"une équation différentielle dansR(exemple 3).

Exemple 4 (figure 4) :

y ?(t) = (2 + cos(t))y(t)-12 y(t)2-1. 4 Maths en LigneÉquations différentiellesUJF Grenoble05 -55 y(t) t D D D DFig.4 - Représentation graphique d"une équation différentielle dansR(exemple 4).

1.2 Solution générale et problème de Cauchy

Avant d"aller plus loin, il convient de préciser ce que nous entendons parrésolution d"une équation différentielle. Cela recouvre en fait deux types de problèmes. Le premier est la détermination del"ensemble des solutions. La définition suivante précise la notion

de solution pour les équations différentielles d"ordre1. Elle s"étend de façon évidente à

des équations différentielles plus générales. Définition 1.Soitgune fonction deR2dansR, etIun intervalle deR. On appelle solution surIde l"équation différentielley?=g(t,y), toute applicationy:I-→R, dérivable surI, telle que : ?t?I , y?(t) =g(t,y(t)). Résoudreune équation différentielle, c"est déterminer l"ensemble des solutions de cette équation surI, pour tout intervalleIinclus dansR. Vous connaissez probablement déjà l"équationy?=ay+b, oùaetbsont deux réels fixés. Vous savez donc que pour tout intervalleI?Ret pour toute constante C?R, l"application suivante est solution de cette équation surI(si vous ne le savez pas, vérifiez-le en calculanty?). y

I-→R

t?-→y(t) =-ba +Ceat. Dans cet exemple, il n"y a aucune différence d"expression entre les solutions définies sur un intervalleIet l"ensemble des solutions définies surR. De façon abrégée, on dira quey(t) =-b/a+Ceatest lasolution généralede l"équationy?=ay+b, manière de dire que l"ensemble des solutions surRest : t?→ -ba +Ceat, C?R? 5

Maths en LigneÉquations différentiellesUJF GrenobleMais il peut très bien se faire que les solutions ne soient pas définies surRtout entier.

C"est le cas bien sûr sig(t,y)n"est pas défini pour certaines valeurs det. La définition

1 impose queg(t,y(t))existe pour touttdans l"intervalleIsur lequely(t)est solution.

Pour en donner des exemples, il suffit de faire appel aux calculs de primitives, qui sont des équations différentielles particulières. Considérons par exempley?= 1/t. Il existe des solutions définies surR+?, d"autres surR-?: y ]- ∞,0[-→R t?-→y(t) = ln(-t) +C1ouy ]0,+∞[-→R t?-→y(t) = ln(t) +C2. Il se peut aussi que chaque solution soit définie sur un intervalle qui lui est propre. Considérons par exempley?=-y2. La seule solution définie surRest la fonction nulle.

Les autres sont toutes de la forme suivante.

y ]- ∞,C1[-→R t?-→y(t) =1t-C1ouy ]C2,+∞[-→R t?-→y(t) =1t-C2.

Malgré les problèmes de définition, il est raisonnable de garder en tête l"idée intui-

tive que la solution générale d"une équation du premier ordre dépend d"une constante arbitraire (le réel notéC,C1ouC2dans les exemples précédents). On peut donc s"at- tendre à ce qu"en imposant une condition supplémentaire, on arrive à déterminer une solution unique. En général, cette condition est une valeur fixée de la fonction : on im- pose à la solution de passer par un point donné. Par exemple, vous pouvez vérifier que pour tout couple(t0,y0)?R2, il existe une solution unique de l"équationy?=ay+b telle quey(t0) =y0. Ce n"est pas toujours le cas. Dans les applications, la variabletcorrespond souvent au temps. Un type de pro- blème fréquent est le calcul d"une solution partant d"une valeur donnée ent= 0: cela s"appellerésoudre un problème de Cauchy. Définition 2.Soitgune fonction deR+×RdansR, ety0un réel. Résoudre le problème de Cauchy : ?y?=g(t,y) y(0) =y0,(2) c"est déterminer l"ensemble des réels strictement positifsT, et l"ensemble des fonctions y: [0,T]→R, telles quey(0) =y0et : ?t?[0,T[, y?(t) =g(t,y(t)). Il existe des théorèmes qui, sous des conditions assez générales portant surg, as- surent l"existence et l"unicité de la solution d"un problème de Cauchy. Il peut aussi se 6

Maths en LigneÉquations différentiellesUJF Grenoblefaire qu"il n"y ait aucune solution, ou bien qu"il y en ait une infinité. Considérons par

exemple l"équationy?= 2⎷y. La fonction nulle est solution surR, et d"autres solutions sont données par : y ]C,+∞[-→R t?-→y(t) = (t-C)2. Il se trouve que pour toutC?R, la fonction définie surRpar ?t?R, y(t) =?0sit6C (t-C)2sit>C , est solution surRtout entier. Donc le problème de Cauchy ?y?= 2⎷y y(0) = 0, a une infinité de solutions.

1.3 Equations linéaires sans second membre

Cette section est consacrée à la résolution d"équations du type suivant : y ?(t) =a(t)y(t).(3) Théorème 1.SoitIun intervalle deRetaune fonction définie et continue surI. SoitA:I→Rune primitive deasurI. L"ensemble des solutions surIde(3)est l"ensemble des fonctionsydeIdansR, telles que ?t?I , y(t) =CeA(t),(4) oùCest une constante réelle quelconque. Dans cet énoncéAestuneprimitivequelconquedea. Deux primitives diffèrent par une constante additive. Remplacer une primitive par une autre dans (4) ajoute une constante dans l"exponentielle, donc multiplie l"exponentielle par une constante. L"ensemble des solutions de (3) est une droite vectorielle : toutes les solutions sont proportionnelles entre elles. Dans le cas particulier oùaest constante, la solution générale de l"équationy?(t) = ay(t)esty(t) =Ceat, ce que vous saviez déjà. Démonstration: Multiplions les deux membres de (3) pare-A(t), qui est toujours non nul. Toute solution de (3) vérifie aussi : y ?(t)e-A(t)=a(t)y(t)e-A(t)??y?(t)e-A(t)-a(t)y(t)e-A(t)= 0. 7

Maths en LigneÉquations différentiellesUJF GrenobleOr le premier membre est la dérivée dey(t)e-A(t). Doncyest solution si et seulement si

la fonctiont?→y(t)e-A(t)a une dérivée nulle surI, c"est-à-dire s"il existe une constante

Ctelle que pour toutt?I,

y(t)e-A(t)=C.

Ainsi, pour toutt?I,y(t) =CeA(t).

Il n"est pas conseillé de retenir (4) par coeur, mais plutôt de refaire le calcul pour chaque équation par le moyen mnémotechnique suivant (non rigoureux mais efficace).

Commençons par mettre (3) sous la forme

y ?(t)y(t)=a(t), sans nous préoccuper de la nullité éventuelle dey(t). Si on prend une primitive de chaque membre, les deux primitives doivent être égales à une constante près, que l"on noteln(C). ln|y(t)|=? t t

0a(s)ds+ ln(C).

L"exponentielle des deux membres donne :

|y(t)|=Cexp? ?t t

0a(s)ds?

Si la valeur absolue deyest proportionnelle àexp? ?t t

0a(s)ds?

, soityest nulle partout, soityne s"annule nulle part. Dans ce dernier cas, comme les fonctionsyet|y|sont continues,y(t) =|y(t)|partout ou bieny(t) =-|y(t)|partout. On retrouve donc (4).

Voici un exemple.

y ?(t) =1t y(t). Observons que dans ce cas la fonctiona(t)n"est pas définie en0. On ne pourra donc résoudre l"équation que sur l"un des deux intervalles]-∞,0[ou]0,+∞[. La méthode ci-dessus se détaille comme suit. y ?(t)y(t)=1t ln|y(t)|= ln|t|+ ln(C) y(t) =Ct . Malgré l"expression obtenue, les solutions ne peuvent pas être définies surRtout entier, puisque l"équation n"a pas de sens ent= 0. La fonction définie par y(t) =?2tsit >0 -3tsit <0, 8

Maths en LigneÉquations différentiellesUJF Grenobleest solution de l"équation, sur]- ∞,0[et sur]0,+∞[.

Outre déterminer la solution générale, on peut aussi chercher une solution vérifiant une condition donnée; c"est le problème de Cauchy. Proposition 1.SoitIun intervalle deRetaune fonction continue surI. Soitt0un point deIety0un réel quelconque. Il existe une unique fonction vérifiant(3)et telle quey(t0) =y0. Cette solution est définie par : y(t) =y0exp? ?t t

0a(s)ds?

Démonstration: La vérification, en utilisant le théorème 1, est immédiate. La technique de résolution des équations linéaires homogènes reste valable pour des équations différentielles du typey?(t) =a(t)ψ(y(t)), pourvu que l"on sache calculer une primitive de 1ψ . Voici un exemple. y ?(t) = (y(t))α, avecα?= 1. En divisant paryαpuis en prenant la primitive des deux membres, on obtient :y?(t)(y(t))α= 1

11-α(y(t))1-α=t+C

y(t) =? (1-α)(t+C)?

11-α.

Si1-α <0,y(t)tend vers+∞quandttend vers-Cpar valeurs inférieures, ety(t) n"est pas défini pourt≥ -C. On dit que la solution "explose en temps fini», dans le cas présent, au tempste=-C. Remarquons que pour une solution initialey(0) strictement positive donnée, le temps d"explosion vaut t e= (y(0))1-α/(α-1). Doncteest une fonction décroissante deα. Intuitivement, cela traduit le fait que plus le taux d"accroissement est fort, plus l"explosion a lieu rapidement. À titre d"exemple, la figure 5 représente quelques solutions de l"équationy?=y2.

1.4 Équations linéaires avec second membre

Cette section est consacrée à la résolution d"équations du type suivant : y ?(t) =a(t)y(t) +b(t),(5) 9 Maths en LigneÉquations différentiellesUJF Grenoble0 1 2 3 4 5

012345.

y(t) t y(t)=1/((1/y0)-t) Fig.5 - Explosion en temps fini : solutions dey?=y2, partant dey(0) =

1/4,1/3,1/2,1.

oùa(t)etb(t)sont deux fonctions données, définies et continues sur un intervalleIde R, et la fonction inconnueydoit être définie et dérivable sur un intervalle ouvertJ, inclus dansI. La fonctionbest lesecond membre. Théorème 2.SoitIun intervalle deR. Soientaetbdeux fonctions définies et continues surI. SoitA:I→Rune primitive deasurI. Soityp(t)une solution particulière de(5), définie surI. L"ensemble des solutions surIde(5)est l"ensemble des fonctionsydeIdansR, telles que : y(t) =yp(t) +CeA(t), oùCest une constante réelle. On retiendra que la solution générale de l"équationy?(t) =a(t)y(t) +b(t)est la somme d"une solution particulière et de la solution générale de l"équation sans second membrey?(t) =a(t)y(t). L"ensemble des solutions de (5) est une droite affine, passant paryp, dont la droite vectorielle associée est l"ensemble des solutions de l"équation sans second membre. Démonstration: Une fonctionyest solution de (5), si et seulement si la différence y(t)-yp(t)est solution de l"équation sans second membre (3). Il suffit alors d"appliquer le théorème 1. Le théorème 2 suppose la connaissance d"une solution particulièreyp. Ne rêvons pas : les solutions " évidentes » ne le sont jamais. Vous pouvez toujours essayer dequotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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Équations différentielles

Bernard Ycart

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Problèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Solution générale et problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Equations linéaires sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Équations linéaires avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Équations à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Seconds membres en exponentielles et polynômes . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Changements de fonctions et de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Entraînement 20

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Compléments 38

3.1 Chaînette, tractrice et brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Les frères Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6 Le mariage de Sophie Kovalevskaïa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

22 janvier 2011

1.1 Problèmes différentiels

Trois types de questions se posent.

1.Questions théoriques :à quelle(s) condition(s) portant sur la fonctionfl"équation

2.Résolution formelle :est-il possible d"exprimer les solutions de (1) comme com-

3.Résolution numérique :est-il possible de calculer par ordinateur des approxima-

0(t) =y(t), y1(t) =y?(t),..., yd-1(t) =y(d-1)(t).

G(t,y0,...,yd-2,yd-1) =?

1,...,yd-1,g(t,y0(t),...,y(d-1)(t))?

G(s,y1,y2) = (1,y2,y2+y1+s).

Exemple 1 (figure 1) :

Exemple 2 (figure 2) :

Exemple 3 (figure 3) :

Exemple 4 (figure 4) :

1.2 Solution générale et problème de Cauchy

I-→R

1 impose queg(t,y(t))existe pour touttdans l"intervalleIsur lequely(t)est solution.

Les autres sont toutes de la forme suivante.

1.3 Equations linéaires sans second membre

Ctelle que pour toutt?I,

Ainsi, pour toutt?I,y(t) =CeA(t).

Commençons par mettre (3) sous la forme

0a(s)ds+ ln(C).

L"exponentielle des deux membres donne :

0a(s)ds?

0a(s)ds?

Voici un exemple.

0a(s)ds?

11-α(y(t))1-α=t+C

11-α.

1.4 Équations linéaires avec second membre

012345.

1/4,1/3,1/2,1.