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A est un anneau commutatif, unitaire, d'unité notée 1 Un morphisme d'anneaux f : A → B est un morphisme de groupes tel que pour tous a et b dans A,

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Z, Q, R, C et Z/nZ sont abéliens pour tout n ∈ N • (2Z, +, ×) est un anneau commutatif non unitaire • {f ∈ RR, supp(f) compact} 

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Exemples d'applications des idéaux d'un anneau commutatif unitaire prérequis : les notions d'anneau, d'idéal premier, maximal, anneau euclidien factoriel, 

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Anneau nul Soit A = {x} un ensemble réduit à un élément Montrer qu'il existe sur A une unique structure d'anneau unitaire, que cette structure est commutative 

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Un anneau (resp anneau commutatif) est un groupe demandée on précise alors le cas échéant : anneau avec unité ou anneau unitaire Remarques 1 1 3 1

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x = x pour tout x ∈ A 1 1 2 Premiers exemples (a) L'ensemble Z des entiers est un anneau commutatif unitaire Il en est de même de 

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Dans la suite on supposera que les anneaux sont commutatifs et unitaires, Un anneau est un corps (commutatif) si tout élément non nul de A est inversible,

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Tous les anneaux que nous considérerons sont unitaires, i e munis d'un élément unité 1A Définition 1 4 Un anneau A est dit commutatif si sa loi × est com-

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Dans toute la suite un anneau est supposé commutatif et unitaire Les éléments inversibles d'un anneau A forment un groupe pour la multiplication noté U(A) 

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Algèbre Année 2013-2014ENS Cachan

Hugues Auvray

Anneaux

Cette longue liste d"exercices est essentiellement celle de Vincent Beck et Patrick Lemeur qui m"ont précédé

dans ce rôle, et je tiens à remercier Claire Renard qui m"a amicalement transmis les fichiers sources.

1 La structure d"anneau.

1.1 Définitions.

Aest un anneau commutatif, unitaire, d"unité notée1. Unmorphisme d"anneauxf: A!Best un morphisme de groupes tel que pour tousaetbdansA,

f(ab) =f(a)f(b). On demande de plus qu"un tel morphisme conserve les éléments unité : si1A(resp.1B) sont

les éléments unités deA(resp.B), alorsf(1A) = 1B.

L"ensemble des éléments deAinversibles pour la multiplication est appelé l"ensemble desunitésdeA, noté

A . C"est un groupe pour la multiplication. Par convention, nous noteronsA= Arf0g. On aA= Asi, et seulement siAest un corps.

Définition 1Diviseurs de zéro et anneau intègre.L"anneauAest ditintègresi pour tousaetbdansA

tels queab= 0, alorsa= 0oub= 0. Un élémenta6= 0deAtel qu"il existeb6= 0avecab= 0est appelé un

diviseur de zéro. Un anneau intègre est donc un anneau sans diviseur de zéro. (Remarquer que si l"on travaille

avec la définition traditionnelle de divisibilité, tout élément d"un anneauAest un diviseur de0.)Unsous-anneauBdeAest un sous-ensemble deAtel que(B;+)est un sous-groupe de(A;+), stable par

produit (pour tousaetbdansB,ab2B), et contenant l"élément unité1A. A ne pas confondre avec la notion

d"idéal. Définition 2Sous-anneau premier.SoitAun anneau commutatif unitaire. On appellesous-anneau premier

deAle plus petit sous-anneau deA(contenant l"élément unité1A). Voir l"exercice 5.UnidéalIdeAest un sous-groupe de(A;+)tel que pour tousa2Aetb2I,ab2I.

Sif: A!Best un morphisme d"anneaux, toute image réciproque d"un idéal deBest un idéal deA. Par

contre, l"image d"un idéal deAn"est pas forcément un idéal deBsauf si l"on supposefsurjectif.

Définition 3Idéal premier.SoitIun idéal deAun anneau commutatif. On dit queIest un idéal premier

si les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées (i)A=Iest intègre; (ii)I6= Aetxy2I =)x2Iouy2I.

(iii)ArIest une partie multiplicative deA.Définition 4Idéal maximal.SoitIun idéal deAun anneau commutatif. On dit queIest un idéal maximal

si les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées (i)A=Iest un corps; (ii)I6= Aet siJest un idéal tel queIJalorsJ = AouJ = I;

(iii)Iest un élément maximal (pour l"inclusion) parmi les idéaux distincts deA.1.2 Exercices.

Exercice 1Anneau de fonctions.SoitAun anneau etIun ensemble. a)Montrer que l"ensembleF(I;A)des fonctions deIdansAest un anneau (commutatif siAl"est). Quel est l"élément neutre pour l"addition, la multiplication?

b)On suppose queIest un espace métrique etA =R. Montrer que les fonctions continues surIforment un

sous-anneau deF(I;A). c)Pourx2I, montrer que l"application ev x:(F(I;A)!A f7!f(x) est un morphisme d"anneaux appelémorphisme d"évaluation enx. d)Déterminer les diviseurs de0dansC(R;R). e)Déterminer les éléments inversibles deF(I;A)? deC(R;R)? f)Soitx02R. Montrer que l"ensembleff2C(R;R); f(x0) = 0gest un idéal maximal deC(R;R). Est-il principal? Que se passe-t-il si on remplaceC(R;R)parR[X],C1(R;R),F(R;R)? g)Existe-t-il des éléments nilpotents non nuls dansC(R;R)? h)SoitUun ouvert deCetHl"anneau des fonctions holomorphes surU. Montrer queHest intègre si et seulement siUest connexe.

Exercice 2Diviseurs de0.Rappelons qu"undiviseur de0est un élémentanon nultel qu"il existe un autre

élémentbégalement non nul avecab= 0.

a)Déterminer les diviseurs de0dansZ;D;Q;R;C;R[X]. b)Déterminer les diviseurs de0dansZ=4Z. c)Déterminer les diviseurs de0dansZ=nZ. d)Dans un anneau commutatif, montrer que le produitabest un non-diviseur de0si et seulement siaetble sont. e)Montrer qu"un sous-anneau d"un anneau intègre est intègre. f)Un produit d"anneaux intègres est-il intègre? un corps? ATTENTION à ce piège!!!!!! g)Soitkun corps etP2k[X]. Déterminer les diviseurs de0dansk[X]=(P). Exercice 3Éléments inversibles.SoitAun anneau. a)Montrer que l"ensembleAdes éléments inversibles deAest un groupe pour la multiplication. b)Déterminer les éléments inversibles deZ;D;Q;R;C;R[X]. c)Comparer les groupesF3(X)etQ(X). d)Déterminer les éléments inversibles deZ=4Z. e)Déterminer les éléments inversibles deZ=nZ. f)Montrer que siuest inversible etxnilpotent etux=xualorsu+xest inversible. En particulier, montrer que1 +xest inversible. Quel est l"inverse?

g)Montrer que sif: A!Best un morphisme d"anneaux alorsfinduit par restriction un morphisme de groupes

deAdansB. On suppose quefest surjectif, le morphisme deAdansBinduit est-il surjectif? h)Montrer queZ=nZest intègre si et seulement siZ=nZest un corps si et seulement sinest premier.

i)Soitkun corps etP2k[X]. Déterminer les éléments inversibles dek[X]=(P). En déduire quek[X]=(P)est

un corps si et seulement siPest irréductible.

Exercice 4Éléments nilpotents et radical.

a)Déterminer les éléments nilpotents deZ=nZ. b)Soitkun corps etP2k[X]. Déterminer les éléments nilpotents dek[X]=(P).

c)On suppose queAest un anneau commutatif. Montrer que l"ensemble des éléments nilpotents deAest un

idéal deA. Le résultat s"étend-il à un anneau non commutatif? d)On suppose encore queAest commutatif. On considère un idéalIdeA. Montrer que l"ensemble pI =fx2A;9n2N; xn2Ig est un idéal contenantI. Que vautp0? CalculerppI? e)Décrire l"idéal deA=Icorrespondant àpI.

f)Montrer que l"intersection des idéaux premiers deAcontenantIestpI(c"est une question difficile : on pourra

montrer que six =2pI, l"ensemble des idéaux contenantIne rencontrant pas l"ensemblefxn; n2Ngest non

vide et admet un élément maximal qui est un idéal premier deA).

g)Montrer queA=p0est un anneau réduit (c"est-à-dire n"a pas d"élément nilpotent non nul).

L"exercice suivant estFONDAMENTAL.

****Exercice 5Caractéristique.

a)Propriété universelle de l"anneauZ.SoitAun anneau unitaire. Montrer qu"il existe un unique morphisme

d"anneaux unitairesf:Z!A. Vérifier qu"il est donné parf(k) =k1A. Le noyau de l"unique morphismef:Z!Aest de la formenZpour un uniquen2N. Cet entiernest

appelé lacaractéristique de l"anneauA. C"est le plus petit entier non nul (s"il existe) tel quen1A= 0. Il

vérifie aussina= 0pour touta2A(pourquoi?). b)Montrer que le sous-anneau premier deAest isomorphe àZ=car(A)Z(voir la définition 2). c)Montrer que siBest un sous-anneau deAalors car(B) =car(A).

d)Soitf: A!Bun morphisme d"anneaux. Comparer la caractéristique deAet celle deB. En déduire que si

car(A)et car(B)sont premiers entre eux alors il n"y a pas de morphisme d"anneaux entreAetB. e)Quelle est la caractéristique deZ=nZ, deZ,Q,R,R[X]? f)Quelle est la caractéristique deZ=4ZZ=2Z? et celle deZ=8ZZ=6Z? g)Quelle est la caractéristique deQ n2NZ=nZ? h)Quelle peut être la caractéristique d"un anneau intègre? d"un corps?

i)Montrer qu"il n"existe pas de morphisme de corps entre deux corps n"ayant pas la même caractéristique.

j)Montrer qu"un anneau de caractéristiquep(premier) peut être muni d"une structure d"espace vectoriel sur

le corpsFp=Z=pZ. k)Montrer que siAetBsont deux anneaux de caractéristiquepetf: A!Bun morphisme d"anneaux alors festFplinéaire pour la structure définie dans la question précédente. l)Montrer qu"il n"existe aucun morphisme d"anneaux unitaires deQ(resp.R;C;Z=nZavecn>1) dansZ.

m)Montrer que l"unique morphisme d"anneaux unitairesf:Z!Qvérifie que pour tous morphismes d"anneaux

unitairesg;h:Q!Atel quegf=hf, on ah=g. En déduire que s"il existe un morphisme d"anneaux

Q!A, il est unique.

Exercice 6Anneau quotient.SoitAun anneau,Iun idéal deA. On définit la relation d"équivalence surI

R Ipar xRIy()xy2I.

L"ensemble quotient se noteA=I(c"est bien entendu cohérent avec la notation usuelle puisqueIest un sous-

groupe du groupe additifAetRIla relation habituelle).

a)SoitRune relation d"équivalence sur un anneauA. Montrer qu"il existe surA=Rune structure d"anneau

telle que la surjection canoniquesoit un morphisme d"anneaux (cette structure étant alors unique) si et

seulement siRest compatible avec les deux lois deA. De plus, montrer que si ces conditions sont vérifiées,

il existe un idéalIdeAtel queR=RI(remarquer queIest nécessairement la classe de0). b)Décrire la classe dexpourRI.

c)Montrer que la relationRIest compatible avec les lois deA. En déduire qu"il existe une unique structure

d"anneau surAtelle que la surjection canonique soit un morphisme d"anneaux.

d)Montrer que tout idéal deAest le noyau d"un morphisme (qu"on peut supposer surjectif) d"anneaux.

e)Propriété universelle du quotient.SoientAun anneau,Iun idéal deAet: A!A=Ila surjection canonique.

On considère un anneauBetf: A!Bun morphisme d"anneaux. Montrer l"équivalence des trois propriétés

suivantes (i) Il existe une applicationf: A=I!Btelle quef=fc"est-à-dire telle que le diagramme suivant soit commutatif A f// B A=If >>(ii)IKerf (iii)f(I) =f0Ag.

Montrer que lorsque ces conditions sont vérifiées, l"applicationfest uniquement définie et que c"est un

morphisme d"anneaux. Vérifier queImf= ImfetKerf= Kerf=Het quefest donnée parf(x) =f(x) pour toutx2A(oùx=(x)désigne la classe dexdansA=I).

Morale (à retenir) : se donner un morphisme d"anneaux issu d"un quotient, c"est la même chose que de se

donner un morphisme trivial sur l"idéal par lequel on veut quotienter. Il est donc très facile de construire des

morphismes issus de quotients. f)Montrer que l"application (Homann.(A=I;B)!Homann.(A;B) '7!'

est une application injective dont on déterminera l"image. Pour un élément de l"image, on décrira l"unique

antécédent. g)Premier théorème d"isomorphisme.Soitf: A!Bun morphisme d"anneaux. Montrer quefinduit un iso- morphisme d"anneaux': A=Kerf!Imfdonné par'(x+ Kerf) =f(x)pour toutx2A. Qu"obtient-on lorsquefest surjectif?

h)Applications.En utilisant l"exercice 5, montrer queHomann.(Z=nZ;A)a au plus un élément. À quelle condition

Hom ann.(Z=nZ;A)6=?? En déduireHomann.(Z=nZ;Z=mZ). Comparer avecHomgr.(Z=nZ;Z=mZ). Exercice 7Théorème de correspondance.SoientAetBdeux anneaux etf: A!Bun morphismesurjectif d"anneaux. On noteK = Kerf,A(resp.AK) l"ensemble des idéaux deA(resp. contenantK),Bl"ensemble des idéaux deB. a)Montrer que l"application :(A!B

I7!f(I)

est bien définie. (On remarquera aussi que cette application n"est pas bien définie sifn"est pas surjectif :

f(I)n"est pas un idéal). b)Montrer que l"application :(B!A

J7!f1(J)

est bien définie et à valeurs dansAK. c)PourJ2HetI2G, calculer(J)et(I). En déduire queest injective,est surjective etet sont des bijections réciproques l"une de l"autre entreAKetB.

d)Montrer que ces bijections induites paretconservent les inclusions, les intersections (attention, ce n"est

pas purement formel), les idéaux premiers, les idéaux maximaux, les radicaux.

e)Deuxième théorème d"isomorphisme.SoitJ(resp.I) un idéal deB(resp.AcontenantK). Construire un

isomorphisme de groupes entreA=(J)etB=J(resp. entreA=IetB=(I)).

f)Application.On considère un anneauA,Kun idéal deAetf: A!A=Kla surjection canonique. Décrire des

bijections respectant les inclusions, les intersections, les idéaux premiers et maximaux et les sous-groupes de

A=K. Déduire de la questione, l"isomorphismeA=Igr.'(A=K)=(I=K)pour tout idéalIdeAcontenantK. g)Application.Voir l"exercice 42.

h)Application.Soitkun corps et06= P2k[X]. Montrer que l"anneauk[X]=Pn"a qu"un nombre fini d"idéaux.

i)Complément.On considère à présentAetBdeux anneaux etf: A!Bun morphisme d"anneau qu"on

ne suppose plus surjectif. Donner un exemple d"idéal deAtel quef(I)ne soit pas un idéal deB. Montrer

que l"image réciproque d"un idéal (resp. premier) est un idéal (resp. premier). Est-ce le cas pour un idéal

maximal? **Exercice 8Morphismes d"anneaux.Soitf:R!Run endomorphisme d"anneau. a)Calculerf(n)pourn2Zpuis pourr2Q. b)Montrer quef(x)>0six>0(on caractérisera la positivité d"un réel en terme algébrique). c)En déduire quefest croissante. d)En déduire quef= idR. e)Soitf:C!Cun endomorphisme d"anneau. Montrer l"équivalence (i)fest l"identité ou la conjugaison; (ii)fest continu; (iii)f(R)R; (iv)f(x) =xpour toutx2R. Exercice 9Matrice triangulaire.Soitkun corps. On considère le sous-anneau deM2(k)

A =a b

0c ; a;b;c2k a)Déterminer les éléments nilpotents deA? b)Déterminer les inversibles deA?

c)Un élémentad"un anneau est ditrégulier à gauche(resp. à droite) si l"application qui àx2Aassocieax

(resp.xa) est injective. Déterminer les éléments réguliers à droite, à gauche? d)Déterminer les idéaux deAet les quotients correspondants. Exercice 10Anneau produit et idéaux.On considère l"anneau produitA = A1 An.

a)SoitIun idéal bilatère deA. Montrer queI = I1 InoùIjest un idéal bilatère deAj. Quel est le

quotient?

b)On suppose que tous lesAisont non nuls et commutatifs. Décrire les idéaux premiers deA? les idéaux

maximaux deA?

c)On suppose que lesAjsont des corps. CombienAadmet-il d"éléments maximaux? En déduire qu"un produit

de deux corps n"est jamais isomorphe à un produit de trois corps. Exercice 11Opérations sur les idéaux.SoitAun anneau.

a)SoitIetJdeux idéaux à gauche (resp. à droite, bilatère). Montrer queI + J =fi+j; i2I;j2Jgest un

idéal à gauche (resp. à droite, bilatère). b)SoitIetJdeux idéaux à gauche (resp. à droite, bilatère). Montrer que IJ = nP k=0i kjk; n2N;ik2I;jk2J est un idéal à gauche (resp. à droite, bilatère). c)Montrer que(I + J) + K = I + (J + K),(IJ)K = I(JK),(I + J)K = IK + JKetI(J + K) = IJ + IK. Montrer

0 + I = I + 0 = IetAI = I(siIest un idéal à gauche). A-t-onIA = I?

****Exercice 12Anneaux finis. a)Montrer qu"un anneau intègre fini est un corps. b)Donner des exemples d"anneaux non intègres et finis. c)Déterminer les anneaux à2,3et4éléments. Exercice 13Anneaux d"idempotents.SoitAun anneau tel quea2=apour touta2A. a)Montrer queAest commutatif.

b)Dans cette question (et dans cette question seulement), on suppose queAest intègre. Montrer queAest un

corps et queAa deux éléments. c)Montrer que tout idéal premier deAest maximal. Exercice 14Manipulations algébriques.SoitAun anneau tel quea3=apour touta2A. a)Déterminer les éléments nilpotents deA. b)Soite2Atel quee2=eeta2Aetb=ea(1e). Calculerb2et en déduire queea=ae. c)En déduire que pour toutx2Aalorsx22ZA. d)Montrer que2x2ZApour toutx2A. e)Montrer que3x2+ 3x= 0. En déduire que3x2ZA. f)Montrer queAest commutatif. Exercice 15Anneaux de fonctions continues sur un compact.SoitAl"anneau des fonctions continues de [0;1]dansR. a)Soitx2[0;1]. Montrer queIx=ff2A; f(x) = 0gest un idéal maximal deA. Quel est le quotientA=Ix? b)Tous les idéaux deAsont-ils maximaux? premiers? c)Ixest-il principal? d)Montrer que(Ix)2= Ix. e)Montrer que tout idéal maximal deAest de la formeIx(question difficile). *Exercice 16Idéaux premiers, idéaux maximaux.

a)SoitAun anneau intègre. Montrer que siAcontient un nombre fini d"idéaux alorsAest un corps (on pourra

considérer les idéaux de la forme(an)).

b)SoitAun anneau commutatif. Montrer qui siAcontient un nombre fini d"idéaux alors tout idéal premier est

maximal.

c)SoitAun anneau tel que tout idéal est premier. Montrer queAest un corps (on pourra considérer les idéaux

de la forme(x2)). Exercice 17Lemme de Zorn et anneaux.SoitAun anneau commutatif. a)On suppose queA6=f0g. Montrer queAadmet un idéal maximal.

b)SoitI6= Aun idéal deA. Montrer qu"il existe un idéal maximal deAcontenantI(on pourra appliquer la

questionaàA=I).

c)Soitf2A. On noteS =ffn; n2Ng. À quelle condition l"ensemble des idéaux ne rencontrant pasSadmet

un élément maximal. Montrer qu"un tel idéal maximal est premier. En déduire que l"intersection des idéaux

premiers deAest formée des éléments nilpotents deA.

2 Propriétés arithmétiques des anneaux.

2.1 Divisibilité.

**Exercice 18Divisibilité.SoientAun anneau commutatif (on ne suppose pasAintègre) eta;b2A. a)Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes (i) il existec2Atel queca=b; (ii)b2(a); (iii)(b)(a);

Si ces conditions sont vérifiées, on dit queadivisebet on écritajb. On dit queaetbsontassociéssiajb

etbja

b)Montrer queaetbsont associés si et seulement si(a) = (b). Montrer que être associés est une relation

d"équivalence surA. c)On dit queaetbsontfortement associéss"il existeu2Atel queb=ua. Montrer que être fortement associés est une relation d"équivalence. d)Montrer que des éléments fortement associés sont associés. e)Montrer que dans un anneau intègre des éléments associés sont fortement associés.

Pour un exemple d"éléments associés qui ne sont pas fortement associés dans un anneau non intègre, voir

l"exercice 30. **Exercice 19Élement premier, élément irréductible.SoitAun anneau commutatif. a)Soitp2A. Montrer l"équivalence des deux propriétés suivantes (i)pest non nul non inversible et sipjabalorspjaoupjb; (ii)(p)est un idéal premier non nul. Un élément vérifiant ces propriétés est appeléélément premier deA.

b)Soitp2A. On suppose queAestintègre. Montrer l"équivalence des deux propriétés suivantes

(i)pest non inversible et sip=abalorsaest inversible oubest inversible; (ii)(p)est non nul et maximal parmi les idéaux deAqui sont principaux et distincts deA. Un élément vérifiant ces propriétés est appeléélément irréductible deA. c)Déterminer les éléments premiers (resp. irréductible) d"un corps, deZ,k[T]. d)Montrer queTest un élément premier deA[T]si et seulement siAest intègre. e)Montrer qu"un élément premier est toujours irréductible (siAest intègre). f)Montrer que dans un anneau principal, un élément irréductible est premier. **Exercice 20PPCM et PGCD.[D, Chapitre VII] SoitAun anneau commutatif. On ne suppose pas pour l"instantAintègre.

Définition 5Soienta1;:::;am2A. On dit qued2Aest unppcmdea1;:::;amsidvérifie les deux conditions

suivantes (i)aijdpour touti2[[1; m]](c"est-à-diredest un multiple commun desai);

(ii) pour toutd02Avérifiantaijd0, on adjd0(c"est-à-diredest " le » plus petit multiple commun).Définition 6Soienta1;:::;am2A. On dit qued2Aest unpgcddea1;:::;amsidvérifie les deux conditions

suivantes (i)djaipour touti2[[1; m]](c"est-à-diredest un diviseur commun desai);

(ii) pour toutd02Avérifiantd0jai, on ad0jd(c"est-à-diredest " le » plus grand diviseur commun).Des élémentsa1;:::;amdont lepgcdest1sont ditpremiers entre eux.

Attentionppcmetpgcdn"existent pas forcément (voir l"exercice 28). a)Montrer quea1;:::;am2Aadmet unppcmsi et seulement si l"idéal(a1)\ \(am)est principal (on a ainsi une condition simple d"existence desppcm: ce n"est pas le cas pour lespgcd).

b)On suppose que l"idéal(a1;:::;am)est principal. Montrer quea1;:::;amadmettent unpgcdet qu"on a une

relation de Bézout. Montrer que dansk[X;Y],XetYont1commepgcdmais que l"idéal(X;Y)n"est pas principal. c)Montrer quea1;:::;amadmettent unpgcdsi et seulement si l"ensemble des idéauxprincipauxcontenant (a1;:::;am)admet un élément plus petit élément.

d)Montrer que dans un anneau principalppcmetpgcdexistent toujours et qu"on dispose de relation de Bézout

pour lepgcd. Dans toute la suite de l"exerciceAest un anneau commutatifintègre.

e)Soita6= 0. Montrer que la famille(a1;:::;an)admet unppcmsi et seulement si la famille(aa1;:::;aan)en

admet un. Donner le lien entre les deuxppcm.

f)Montrer que le résultat précédent n"est pas vrai pour lespgcd. Cependant, montrer qu"on a le résultat

suivant : si lepgcdde la famille(aa1;:::;aan)existe, montrer que celui de la famille(a1;:::;an)existe et

qu"on a la relationpgcd(aa1;:::;aan) =apgcd(a1;:::;an). g)On suppose quexetyont unppcm. Montrer quemjxy. On écrit alorsxy=md. Montrer quedest un pgcdpourxetyet que, pour touta2Arf0g,pgcd(ax;ay)existe et vautad(avoir unppcmimplique avoir unpgcd). h)Montrer que six;yetdsont tel queadsoit unpgcddeaxetaypour touta2Arf0galors on peut définir mtel quemd=xyetmest unppcmdexety. En déduire que (avoir unpgcdn"implique pas avoir un ppcm). i)Montrer que si l"idéal(x;y)est principal alors(x)\(y)l"est. j)On dit quexetysontfortement premiers entre euxsixetyont unppcmqui estxy. Montrer que des

éléments qui sont fortement premiers entre eux sont premiers entre eux mais que la réciproque n"est pas

vraie.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28