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Algèbre Cours 9
Anneaux
27 novembre 2009
Définition
DéfinitionAnneau.Unanneau unitaireest un triplet (A,+,?)oùAest un ensemble,+ :A×A→Aet?:A×A→A deux lois internes surAvérifiant les axiomes suivants :
1(A,+)est un groupe abélien (en particulier, il existe un
(unique) élément 0?Atel que 0+a=a+0=apour tout a?A);
2(A,?)est un monoïde (en particulier, il existe un (unique)
élément 1?Atel que 1?a=a?1=apour touta?A);
3la loi?est distributive (à gauche et à droite) par rapport à+:
pour tousa,b,c?A, on a (a+b)?c=a?c+b?ceta?(b+c) =a?b+a?c. (A,+,?)est dit commutatifsi?l"est c"est-à-dire sia?b=b?a pour tousa,b?A. -→-→-→Abus de langue : soitAun anneau!
Exemples
ExempleAnneau nul.SoitA={x}un ensemble réduit à un élément. Montrer qu"il existe surAune unique structure d"anneau unitaire, que cette structure est commutative et que 1=0. Inversement, que peut-on dire d"un anneau unitaire(A,+,?)tel que 1=0.
Exemple
Anneaux de nombres.Les ensembles suivants ont
une structure naturelle d"anneau unitaire :Z,Q,R,C. Citons aussi
D={a/10
n,a?Z,n?Z}. Peut-on remplacer 10 par un entier quelconque? Citons encoreZ[i] ={a+bi,a,b?Z} ?Cqui est appelé l"anneau des entiers de Gaussou encoreZ[j] ={a+bj,a,b?Z} (oùj=exp(2iπ/3)).
Exemples : encore
ExempleAnneau d"endomorphisme.Soit(G,+)un groupe
abélien. Alors(End gr.(G),+,◦)est un anneau unitaire.
De même, siVest unk-espace vectoriel alorsEnd
k(V) =L(V) est un anneau unitaire (et même unek-algèbre...).
SiAest un anneau unitaire alorsM
n(A)aussi. Que " vaut » M n(Mp(A))?
Exemple
Anneaux produits.Soit(Ai)i?Ides anneaux.
L"addition et la multiplication terme à terme détermine sur B=? i?IAiune structure d"anneau unitaire. On dit queBest l" anneau produitdesAi.
Exemple
Anneaux de polynômes.R[X]etC[X]sont des
anneaux unitaires.
Exemple
Anneaux quotient.Z/nZetR[X]/?X2+1?sont
des anneaux unitaires.
Calcul dans un anneau
NotationComme d"habitude, pour une loi notée additivement, l"opposé dea?Apour la loi+est noté-a. ExerciceOn fixea?A. Montrer queb?→a?betb?→b?asont des endomorphismes du groupe(A,+).
En déduire que 0 est
absorbant pour?:a?0=0?a=0 pour tout a?A. En déduire aussi quea?(-b) = (-a)?b=-(a?b)et en particulier que(-1)?x=x?(-1) =-x.
ExerciceSoita,b,c,d?A. Pourquoi a-t-on
(a+b)?(c+d) =a?c+b?c+a?d+b?d? A-t-on (a+b)
2=a2+2a?b+b2?
Calcul dans un anneau : suite
PropositionLa formule du binôme de Newton.Soit
a,b?Atel que ab=baalors, pour toutn?N, on a (a+b) n= n? k=0 ?n k? a kbn-k.
En particulier, pour touta?A, on a
(1+a) n= n? k=0 ?n k? a k.
Proposition
Identité remarquable.Soita,b?Atel que
ab=baalors, pour toutn?N, on a a n-bn= (a-b) n-1? k=0akbn-1-k.
En particulier, pour touta?A, on a
1-a n= (1-a) n-1? k=0ak.
D"autres identités remarquables
ExerciceFormule du multinôme.Soienta1,...,am?Atel quea i?aj=aj?aipour tousi,j. Développer(a1+···+am)n.
ExerciceSoita
1,...,an?A. On poseI={1,2,...,n}et pour
H?I, on définita
H=? i?Hai. On a (-1) n?
σ?Snaσ(1)···aσ(n)=?
H?I(-1)|H|(aH)n.
Qu"obtient-on lorsque lesa
icommutent deux à deux?
Morphisme d"anneaux
anneaux unitaires. Un morphisme d"anneaux unitairesf:A→Best une application vérifiant les deux propriétés suivantes
1f: (A,+)→(B,+)est un morphisme de groupes :
f(a+b) =f(a) +f(b)pour tousa,b?A;
2f: (A,?)→(B,?)est un morphisme de monoïdes :
f(a?b) =f(a)?f(b)pour tousa,b?Aetf(1) =1.
On a automatiquementf(0) =0.
Définition
Isomorphisme d"anneaux.Soit(A,+,?)et
(B,+,?)deux anneaux unitaires. Un morphisme d"anneaux unitairesf:A→Best un isomorphismes"il existe un morphisme d"anneauxg:B→Atel queg◦f=id
Aetf◦g=idB. On dit
alors queAetBsont isomorphes. Comme d"habitude, on a " morphisme bijectif = isomorphisme ».
Exemples
ExempleL"application
λ:?A-→End
gr.((A,+)) a?-→λ a:x?→ax est un morphisme d"anneaux unitaires.
Exemple
Composition.SoitA,B,Ctrois anneaux unitaires
etf:A→Betg:B→Cdeux morphismes d"anneaux unitaires. Alorsg◦f:A→Cest un morphisme d"anneaux unitaires etid A est un morphisme d"anneaux unitaires : les anneaux forment une sous-catégoriede la catégorie des ensembles.
Exemple
Anneau nul.SoitA={0}" l" »anneau nul etB
un anneau unitaire. Existe-t-il un morphisme d"anneaux unitaires (et si oui combien)f:A→B? Même question avecf:B→A?
On dit queAest un
objet terminaldans la catégorie des anneaux unitaires.
Encore des exemples
ExempleQuotient.Les surjections canoniquesπ:Z→Z/nZ etπ:R[X]→R[X]/?X
2+1?sont des morphismes d"anneaux
unitaires.
Exemple
Polynômes.Pourx?R, l"application
ev x:P?R[X]→P(x)?Rest un morphisme d"anneaux unitaires.
Exemple
Produit.Soit(Ai)i?Iune famille d"anneaux
unitaires alors la projection sur lei efacteur : p i:????i?IAi-→Ai (ai)i?I?-→ai est un morphisme d"anneaux unitaires. Énoncer et démontrerune propriété universelle du produit pour les anneaux unitaires.
P.U. de l"anneauZZZ
ThéorèmePropriété universelle de l"anneauZZZ.SoitAun anneau unitaire. Il existe un unique morphisme d"anneaux unitaires f:Z→A. Il est donné parf(k) =k1
A. On dit queZest unobjet
initial de la catégorie des anneaux unitaires.
Définition
Caractéristique d"un anneau unitaire.Le noyau
de l"unique morphismef:Z→Aest de la formenZpour un uniquen?N. Cet entiernest appelé la caractéristique de l"anneau A . C"est le plus petit entier non nul(s"il existe) tel quen1A=0. Il vérifie aussina=0 pour touta?A(pourquoi?). ExerciceMontrer qu"il n"existe aucun morphisme d"anneaux unitaires deQ(resp.R,C,Z/nZavecn?1) dansZ. Montrer que l"unique morphisme d"anneaux unitairesf:Z→Q vérifie que pour tous morphismes d"anneaux unitairesg,h:Q→A tel queg◦f=h◦f, on ah=g.
Sous-anneaux
DéfinitionSous-anneaux.SoitAun anneau unitaire. Un sous-anneau unitaireBdeAest une partie deAtelle que(B,+) soit un sous-groupe deAet(B,?)soit un sous-monoïde deA(en particulier, on doit avoir 1?B). Les lois induites donnent àBune structure d"anneau unitaire telle que l"application d"inclusion i:B→Asoit un morphisme d"anneaux unitaires.
Remarque
Sous-anneau : un critère.Pour queBsoit un
sous-anneau unitaire deA, il suffit queBsoit stable par+et?,
1?Bet-1?B.
Proposition
Sous-anneau engendré.Une intersection de
sous-anneau unitaire deAest un sous-anneau unitaire deA. Si
S?A, on peut considérer??S??le
sous-anneau unitaire engendré parS qui est par définition l"intersection des sous-anneaux unitaires contenantS. C"est le plus petit sous-anneau deAcontenantS.
Décrire les éléments de??S??.
Sous-anneaux : exercices
ExerciceQuel est le sous-anneau deRengendré par 1/2? et celui engendré par⎷
2? Quel est le sous-anneau deRengendré par
les inverses des nombres premiers? Quel est le sous-anneau deC engendré pari? SoitAun anneau unitaire. Montrer qu"il existe un plus petit sous-anneau unitaire contenu dansA(dit anneau premier deA) et que ce sous-anneau unitaire est commutatif et l"image de l"unique morphismef:Z→A. ExerciceMontrer que l"image (resp. l"image réciproque) d"un sous-anneau unitaire par un morphisme d"anneaux unitairesest un sous-anneau unitaire. Énoncer et démontrer un théorème de correspondance pour les sous-anneaux unitaires deAetBpour un morphisme surjectif d"anneaux unitairesf:A→B.
Convention
À partir de maintenant, " anneau » signifiera " anneau unitaire » et " morphisme d"anneaux » signifiera " morphisme d"anneaux unitaires ».
Idéal
DéfinitionIdéal.SoitAun anneau. Unidéal à gaucheI (resp. à droite) deAest un sous-groupe additif de(A,+)tel que pour touta?Aet toutx?I, on aitax?I(resp.xa?I). Un idéal bilatèredeAest une partie deAqui est à la fois un idéal à gauche et à droite c"est-à-dire un sous-groupe additif de(A,+) tel que pour tousa,b?Aet toutx?I, on aitaxb?I. Exemple{0}etAsont des idéaux bilatères. Un anneau est dit simplesi ce sont les seuls idéaux bilatères et qu"ils sont distincts. ExerciceDéterminer les idéaux bilatères deM n(A)en fonction de ceux deA. En déduire que sikest un corps alorsM n(k)est un anneau simple. Montrer qu"un anneau simple et commutatif est un corps. Déterminer les idéaux à gauche et à droite deMquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
[PDF] Anneaux 1 La structure danneau