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*Le calcul des cos/sin n'est pas linéaire, mais l'application de la rotation R l'est qu'on connaisse 193 B B A A P H P = (direction flèche a changé) 1 1 B

de translations et de rotations (n'importe quel ordre) ▷ Cette composition est équivalent à une simple composition TR (T = une translation, R = une rotation)

[PDF] M8 – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIELS

I 2 Rotation relative des deux tri`edres des B O N D de Ra et Re ♢ Définition : Il l Le rep`ere (O,−→ex,−→ey ,−→ez ) est le « solide géométrique »LIÉ au

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n'ont pour fonction que d'inverser le sens de rotation ou d'éloigner les w pignon: fréquence de rotation pignon (rad/s) Rep 6 Axe côté manivelle Rep 7

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*Le calcul des cos/sin n'est pas linéaire, mais l'application de la rotation R l'est qu'on connaisse 193 B B A A P H P = (direction flèche a changé) 1 1 B

[PDF] Angles et rotations

L'idée, c'est, dans le plan, d'identifier les angles et les rotations On déduit cela d' une Remarque En changeant l'orientation de P, on change la mesure des angles en son opposée 5 On fixe un rep`ere orthonormé Si ω, z, et z sont les

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En effet, si les vecteurs de base subissent une rotation, alors les composantes de −→ ractérisé par un changement de rep`ere naturel Les composantes

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2 3 6 Changement de référentiel euclidien / de configuration de référence Dans un rep`ere tel que le troisi`eme axe coıncide avec l'axe de rotation, la matrice

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mouvement entre deux corps à une rotation autour d'un axe qui leur est est peu commode pour effectuer des calculs systématiques, dus par exemple à des changements successifs Exemple : $réponse = « Répondre par Oui ou Non »

Transformations

géométriques : rotation et translation

Repères

En robotique, on doit constamment transférer

174
xm ym 12 7 référentiel carte/global

Coordonnées du repère (robot):3

Coordonnées globales du repère:12

Autre exemple : caméra

Si les objets sont directement en coordonnées de la caméra, on peut facilement calculer une image GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile175

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1/ 01

y z x A P A

AuAvAf

coordonnées 3D coordonnées image 2D

Autre exemple : caméra

facilement. 176
le référentiel du monde (global) = référentiel caméra

Convention sur la notation

Point Pdéfini dans le repère B:

de B, selon les axes de B, et se terminant à P GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile177 xB yBP BP

Transformation pour repères translatés

dans le repère A : La position de P, exprimée dans le repère A, est 178
xA yA xr yr 10 5 réf. A réf. B P B AT B ATBPB

AABP P T

B B AA AA x x x y y y B B P P T P P T

Tous cela fonctionne tant

que les repères A et B ont la même orientation. Sinon, il faut tenir comptedes rotations.

DĠfinir l'opĠration de rotation

Correspond à déplacer un point (vecteur), avec antihoraire Opération linéaire*: multiplication de matrice 179
x y

21cos sin, sin cosR P RP

TT P1 (prémultiplication)

Exemple rotation 2D

Rotation de =15o ǯ rectangle autour de (0,0) : on applique cette équation pour chaque point GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile180 % Rotation d'un rectangle

P(:,1) = [0 0]';

P(:,2) = [2 0]';

P(:,3) = [2 1]';

P(:,4) = [0 1]';

angle = 15*pi/180; % radian

R = [cos(angle) -sin(angle) ; ...

sin(angle) cos(angle) ];

P2 = R*P; %rotat. sur tous les points

PP2 2 1 1 2 1 1 cos15 sin15 0.9659 0.2588

0.2588 0.9659sin15 cos15

oo oo x x x y y y

Transformation pour des repères pivotés

Soit le repère B pivoté de =45opar rapport à A. Soit un point Pdéfini dans ce repèreB: BP=(9,16) xA yA réf. A AAB

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Transformations

Repères

En robotique, on doit constamment transférer

Coordonnées du repère (robot):3

Coordonnées globales du repère:12

Autre exemple : caméra

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1/ 01

AuAvAf

Autre exemple : caméra

Convention sur la notation

Point Pdéfini dans le repère B:

Transformation pour repères translatés

AABP P T

Tous cela fonctionne tant

DĠfinir l'opĠration de rotation

21cos sin, sin cosR P RP

Exemple rotation 2D

P(:,1) = [0 0]';

P(:,2) = [2 0]';

P(:,3) = [2 1]';

P(:,4) = [0 1]';

R = [cos(angle) -sin(angle) ; ...

P2 = R*P; %rotat. sur tous les points

0.2588 0.9659sin15 cos15

Transformation pour des repères pivotés

BP R P

17.71)

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