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Soit n un entier tel que pour tout p premier sauf éventuellement un nombre fini, n est un carré modulo p Montrer que n est un carré dans N Exercices corrigés

Exercices de théorie des corps finis Exercice 1 — 1) Donner tous les polynômes irréductibles de degré inférieur `a 4 sur F2 2) Quelle est la factorisation sur F4

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Exercice 2 : Montrer que dans un corps fini, tout élément est somme de deux carrés Solution de l'exercice 2 Soit Fq le corps fini en question (o`u q = pr) On

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Montrer que G est cyclique 4 En déduire que toute extension finie d'un corps fini est monogène Exercice 4 (Polynômes cyclotomiques dans les corps finis)

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Exercice 1 Soit F3 le corps fini à 3 éléments et α une racine septième de l'unité ( dans un corps de rupture du polynôme X7 − 1 ∈ F3[X], il existe - au moins

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17 déc 2014 · Exercice 1 2) est un corps de décomposition de f sur Q (2 pts) On suppose que A = k[X] est un anneau de polynômes sur un corps k fini à

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Exercice 4 2 Soit K un corps fini `a q éléments de caractéristique p impair 1 Montrer que l'application ϕ : K× → K× x ↦→ x2 est un morphisme de groupes et

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juin 2004 Corrigé de la série 13 Exercice 1 a) Le corps de rupture de X2 − 2 sur Q est Q( b) Si F est un corps fini on sait que car(F) = p pour un premier p

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Corps ¯nis

Plan et de placer plus loin qu'une algµebre µa division ¯nie est commutative; l'on note alors F Fp=S

nFqn!. Si cette solution ne vous satisfait pas, vous pouvez faire la proposition classique d'existence et

dde F nFqn! F qn!une extension deFq(n¡1)!. Par la suite on considµere F il faut donner des exemples:F4,F8,F9; donner les rµegles d'inclusionFq½Fq0si et seulement siq=pretq0=prn; F

£qest cyclique;

parler des groupes ¯nisPGL2(F2),PGL2(F3),PSL2(F3) etPGL2(F5); donner le cardinal de GL n(Fq) voir des groupes orthogonaux; lep-sous-groupe de Sylow deGLn(Fq); n=2. Ici c'est particuliµerement Fq. le solitaire avec l'utilisation deF4;

Berlekamp;

Wedderburn

Chevalley-Warning

Questions

²F4ouF9;

factorisation deX9+ 2X+ 1 surF3;X5+X+ 1 surF2,X5¡X+ 1 surF5; diviseurs de q¡1;Fp(X); p) = 1, ou 3 p´1 mod 12; tout F qm; on pourra demander d'abord le casn= 6,m= 3.

Montrer que

Exercice 1.

question : (i) F

4'F2[X]=(X2+X+ 1);

(ii) F

8'F2[X]=(X3+X+ 1);

(iii) F

16'F2[X]=(X4+X+ 1); donner dans cet isomorphisme l'image de

F F

2[X;Y]=(Y2+Y+ 1;X2+X+Y).

(iv) F

9'F3[X]=(X2+X¡1).

X F F sur F

2de sorte queF2[X]=(X3+X+ 1) est un corps de cardinal 8 et donc isomorphe µa

8. CommeF£8'Z=7Z

X. il nous faut montrer que X

4+X+ 1 n'a pas de racines dansF4. Soit doncx2F4n'appartenant pas µa

2; on a

alorsx3= 1 de sorte quex4+x+1 =x+x+1 = 16= 0. AinsiX4+X+1 n'a pas de racines dans les extensions F

2[X]=(X4+X+1) est un corps de cardinal 16

qui est donc isomorphe µaF16.

3 ou 5.

Or dans la base 1;X;X2;X3,X3¡16= 0 etX5¡1 =X2+X+ 16= 0. X 5= X

2+X=:Â, on a alorsÂ2=X4+X2etÂ2+Â+1 = 0 etÂ3= 1 de sorte que le sous ensemble

f0;Â;Â2;Â3gde F

16correspond au sous-corpsF4. En outreX2+ÂX+1 n'a pas de racines dans

F de sorte queF16'F2[X;Y]=(Y2+Y+ 1;X2+Y X+ 1). 2

En outre

Exercice 2.

P(x) = 0;

Fp:=S n>1Fpn!est une cloture

Preuve :Evidemment

S N n=1Fpn!=FpN!de sorte quek=S1 donc un corps; en e®et pour x;y2k, il existentels quex;y2Fpn!et F alors µa voir que les coe±cients de

Pet soitLun corps de rupture dePdans¹Fpsur

F pm;Lest alors une extension ¯nie deFpmet F

Exercice 3.

4¡X=

X 3+X+1 X

4+X+ 1,

X F

4qui n'est pas

2. dans F

2et donc dansF4.

4 µa coe±cient dansF2, car les coe±cients sont invariants par le groupe de Galois,

X;X¡1;X¡j;X¡j2

X X

4+X+1 = (X2+X+j)(X2+

X+j2),X4+X3+1 = (X2+jX+j)(X2+j2X+j2) et

4+X3+X2+X+1 = (X2+jX+1)(X2+j2X+1).

Exercice 4.(1)

X (2) F 5[X] (P(X)) est isomorphe au corps F

25et que

Pa deux racines dansF25.

(3) a®+bavecaetb dansF5. (4) F 3

Preuve :

0 1 2¡2¡1

x 2

0 1¡1¡1 1

P X xest une racine deP

Padmet deux racines dansF25.

2+®+ 1 = 0 et est donc une racine deX2+X+ 1. Le sous-espace vectoriel surF5de

F F aveca;b2F5. 5= a

5®5+b5=a®5+b. Or on a®2=¡®¡1 soit®4=®2+ 2®+ 1 =®et donc®5=®2=¡®¡1. Ainsi

5¡¯+ 1 =®(¡a¡a) + (b¡b¡a+ 1)6= 0 car®62F5soitPn'a pas de racine dans

25de sorte qu'il est

P=QR F

5[X]. CommePest unitaire,QetR

le sont aussi, de sorte que degQ= deg¹Qet degR= deg¹R;

Exercice 5.

On considµere le polyn^omeQ(X) =X9¡X+ 1surF3. (a) Montrer que le polyn^omeQn'a pas de racines dansF3;F9. (b)

Montrer queF27'F3[X]

(X3¡X¡1). (c) Montrer que toute racine®2F27du polyn^omeX3¡X¡1est une racine du polyn^omeQ. (d) (e)

Factoriser le polyn^omeQsur le corpsF3.

Qn'a pas de racine dansF3. On cherche alors ses racines dansF9. Pour a2F9, on aa9=ade sorte quea9¡a+ 1 = 1 et doncQn'a pas de racine dansF9. X

3¡X¡1

®est

3, µa savoirX3¡X¡1,

soitX9¡X+ 1 = (X3¡X¡1)(X6+X4+X3+X2¡X¡1). x=a®2+b®+caveca;b;c2F3. On a alorsx9=a®18+b®9+cavec®9=®¡1 et donc

18=®2+®+ 1 de

sorte quex9¡x+ 1 =a®+a¡b+ 1 ce qui imposea= 0 etb= 1 soit x=®;®+ 1;®¡1. non plus dans F

Exercice 6.

F pm? Dans Psur F

5µa coe±cients dansFpsoit

F pm. 4

sorte que toutes les racines deP, vues dans¹Fp, sont dansFpnet aucune n'appartient µa un sous-corps strict. On

regarde alors s'il possµede ou non des racines dans F pmrpour r·n=2 et donc siFpn½Fpmr, soitndivisemrce qui est possible si et seulement si run multiple den=d. de

5: 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Si on veut ^etre sur d'avoir

toutes les racines (resp. au moins une racine) il faut donc se placer dans F p60(resp.Fp10) avec 60 = 5:4:3 (resp.

10 + 5:2).

Exercice 7.

et nun entier premier avecp. On poseq=pr. (1) l'application qui µa un sous-groupe

Hdegal(Fqn=Fq)associe le sous-corps de

F F q½K½Fqn. (2) l'image de F pen un produit de pour tout entier Preuve :(1) On considµere le morphisme de Frobenius Fr q:x2Fqn7

¡!xq2Fqn

Fr q(x+y) = (x+y)q=xq+yqet Frq(xy) =xqyq, qui laisse le corps F Fr F £qnet soit¹Âson polyn^ome minimal unitaire surFq; on a alorsFqn'Fq[X]=(¹Â(X)) de sorte que

¾(Â) qui doit ^etre

une racine de¹Âce qui donne au plus n=r. On considµere xde F qntels quexqn=r=xce qui correspond au corps F Fr p. En outre on a kpourk2(Z=nZ)£. On obtient ainsi une application injective naturelle

¾2Gal(L=Fp)7

¡!k2(Z=nZ)£

p. Ainsirest l'ordre depdans (Z=nZ)£. Soit n. SoitÂune racine deP1de sorte queL=Fp[Â] et doncP1est le polyn^ome minimal de

ÂsurFpet donc degP1= [L:Fp]. En

[L:Fp] et doncs=Ã(n) [L:Fp]oµu l'on rappelle que [L:Fp] est l'ordre dep dans (Z=nZ)£. ©na une racine dansFp. Soit doncppremier divisant n(N!)´1 modN! soitp > Netp´1 modncar¹©na pour racine 5 congrus µaamodulo a2(Z=nZ)£.

Exercice 8.

montrer que pour tout nombre premier impair p, le polyn^omeX4+ 1a une racine dans le corps F p2. n-iµeme

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