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Exercices de théorie des corps finis Exercice 1 — 1) Donner tous les polynômes irréductibles de degré inférieur `a 4 sur F2 2) Quelle est la factorisation sur F4 

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Soit n un entier tel que pour tout p premier sauf éventuellement un nombre fini, n est un carré modulo p Montrer que n est un carré dans N Exercices corrigés

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Exercice 2 : Montrer que dans un corps fini, tout élément est somme de deux carrés Solution de l'exercice 2 Soit Fq le corps fini en question (o`u q = pr) On 

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Montrer que G est cyclique 4 En déduire que toute extension finie d'un corps fini est monogène Exercice 4 (Polynômes cyclotomiques dans les corps finis) 

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Exercice 1 Soit F3 le corps fini à 3 éléments et α une racine septième de l'unité ( dans un corps de rupture du polynôme X7 − 1 ∈ F3[X], il existe - au moins 

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17 déc 2014 · Exercice 1 2) est un corps de décomposition de f sur Q (2 pts) On suppose que A = k[X] est un anneau de polynômes sur un corps k fini à 

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Exercice 4 2 Soit K un corps fini `a q éléments de caractéristique p impair 1 Montrer que l'application ϕ : K× → K× x ↦→ x2 est un morphisme de groupes et 

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juin 2004 Corrigé de la série 13 Exercice 1 a) Le corps de rupture de X2 − 2 sur Q est Q( b) Si F est un corps fini on sait que car(F) = p pour un premier p

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Algèbre Année 2011/2012

ENS Cachan Dimitri Ara

TD 6

Corps finis

Exercice 1(Description du corps à 16 éléments).

1. Déterminer tous les polynômes irréductibles de degré4surF2.

2. Pourquoi les anneaux

F

2[X]/(X4+X3+X2+X+ 1)etF2[X]/(X4+X+ 1)

sont-ils isomorphes?

3. Calculer l"ordre multiplicatif de la classe deXdans chacun de ces quotients.

4. Construire un isomorphisme explicite.

Exercice 2(Irréductibilité modulo p).Soientpun nombre premier etf?Fp[X] un polynôme irréductible de degrédsur le corps àpéléments.

1. Soitn≥1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(a)fdiviseXpn-X; (b)fa une racine dansFpn; (c)ddivisen.

2. En déduire que sifadmet une racine dansFpnalorsfest scindé dansFpn.

3. Montrer que les racines defsont distinctes.

Exercice 3(Théorème de l"élément primitif - cas fini).

1. Notons?la fonction indicatrice d"Euler. Rappeler pourquoi pourn≥1, on a

n=? d|n?(d).

2. SoitGun groupe d"ordre finin. On suppose que pour tout diviseurdden, l"en-

semble desxtels quexd= 1a au plusdéléments. Montrer queGest cyclique.

3. SoientKun corps etGun sous-groupe fini du groupe multiplicatifK?. Montrer

queGest cyclique.

4. En déduire que toute extension finie d"un corps fini est monogène.

Exercice 4(Polynômes cyclotomiques dans les corps finis).Soientpun nombre premier etdun entier premier àp. On noteraΦdled-ième polynôme cyclotomique et? la fonction indicatrice d"Euler. 1

1. SoitΩun corps algébriquement clos de caractéristiquep. Montrer que les racines

deΦddansΩsont les racines primitivesd-ième de l"unité.

2. Soitn≥1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(a)ddivisepn-1; (b)Φdest scindé dansFpn; (c)Φda une racine dansFpn.

3. Soitml"ordre depdans(Z/dZ)?. Montrer queΦdse décompose dansFpen un

produit de?(d)/mpolynômes irréductibles de degrém.

4. En déduire queX4+ 1est irréductible surQmais est réductible modulo tout

nombre premierp. Exercice 5(Un " petit » théorème de Dirichlet).Soitnun entier supérieur ou

égal à2.

1. Soitkun entier etpun facteur premier deΦn(k!). Montrer quepest congru à1

modulonet quep > k.

2. En déduire qu"il existe une infinité de nombres premiers congrus à1modulon.

Exercice 6(Automorphismes d"un corps fini).SoitKun corps fini. Déterminer le groupe des automorphismes deK. Exercice 7(Théorème de Chevalley-Warning).SoitKun corps fini de caractéris- tiquep.

1. Soitdun entier positif ou nul. Montrer qu"on a

x?Kx d=? -1sid≥1etq-1divised,

0sinon.

(On conviendra que00= 1.)

2. Soitf?K[X1,...,Xn]un polynôme ànindéterminées surKde degré strictement

inférieur àn. Montrer que le nombre de zéros defest divisible parp. (On pourra chercher à exprimer la fonction indicatrice des zéros defde manière polynômiale.)

3. En déduire que toute forme quadratique surKd"au moins trois variables admet

un zéro non trivial. Exercice 8(Théorème de Wedderburn).SoitKune algèbre à division de cardinal fini. On se propose de montrer queKest commutative,i.e.queKest un corps.

1. Soit

Z={x?K;?y?K xy=yx}

le centre deK. Vérifier queZest un corps. On noteraqson cardinal etnla dimension deKsurZ.

2. Soitdun diviseur strict den. Montrer queΦn(q)divise(qn-1)/(qd-1).

3. On fait agirK?sur lui-même par conjugaison. Écrire l"équation aux classes. En

déduire queΦn(q)diviseq-1.

4. En déduire quen= 1et donc queKest un corps.

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