Espérance et variance d'une variable aléatoires sont définies, avant de signaler Une densité de probabilité est donc une fonction positive ou nulle, d'intégrale
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fonction de densité et les droites d'équations x = 5000 et x = 20000 Ainsi : P( 5000 ≤ X L'espérance mathématique de X est le réel E(X) = t f (t)dt a b ∫
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L'espérance d'une variable aléatoire est, lorsqu'elle existe, la moyenne des va- n'être ni discrète ni à densité 2, cf l'exercice 6 13 pour un exemple, et alors le variables aléatoires réelles est donnée par leur fonction de répartition, cf le
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Calculer la loi d'une variable `a densité, c'est calculer sa densité 9 / 99 La fonction de répartition d'une variable aléatoire X est la fonction définie pour tout t ∈ R par Soit X une variable aléatoire continue de densité fX , son espérance est
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Une fonction f est une densité de probabilité (ou plus simplement densité) si, et seulement Si X n'admet pas d'espérance, alors elle n'admet pas de variance
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On en déduit que Y a pour densité la fonction y ↦− → λexp(−λy)1y≥0 c'est à dire que Y suit la loi exponentielle de paramètre λ Dans cet exemple, u(x) = −ln( x)
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Cette loi est notée N(µ, σ2) (loi normale avec la moyenne µ et la variance σ2) Variables aléatoires indépendantes Soit Z = (X1, , Xn) un vecteur aléatoire dans
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Espérance, Médiane et Mode d'une variable aléatoire définie par une fonction de densité Compétences travaillées : □ Savoir calculer l'espérance d'une loi à
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Exercice : Montrer que l'on définit bien ainsi la loi d'un couple aléatoire l' espérance d'une variable aléatoire positive ne pouvant être nulle que si la La densité f est toujours une fonction positive, intégrable et dont l'intégrale sur R2 par
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