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L'objectif de ce TP est de vous familiariser avec le logiciel Matlab, contraction de Matrix Laboratory espérance, ainsi que son écart-type empirique et théorique

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TP Statistique n

o1

L"objectif de ce TP est de vous familiariser avec le logiciel Matlab, contraction de Matrix Laboratory.

Matlab n"est pas à la base un langage de calcul formel comme Mathematica ou Maple. Il s"agit d"un

interpréteur de commandes écrites en langage Matlab. Ce logiciel a été conçu pour faciliter les

opérations sur les vecteurs, matrices et tableaux. Le logiciel libre "octave" devrait fonctionner de

manière identique, et normalement les fichiers pour l"un devraient être compatibles avec l"autre.

Pour les probabilités, on utilisera les fonctions du package gratuit "stixbox".

Vous pouvez aussi aller travailler au CREMI quand vous voulez, et même vous connecter à distance

sur les machines du CREMI depuis chez vous, en suivant les consignes sur l"intranet du site du

CREMI.

Après les TPs, les corrigés seront sur ma pagehttp://www.math.u-bordeaux1.fr/chabanol/stat.html

1.Fonctionnement des TP

La commande suivante à taper dans un terminal vous ouvrira une fenêtre, dans laquelle vous aurez

à tout instant une copie de mon écran :

krdc vnc://nom_du_serveur (Je vous communiquerai le nom_du_serveur à chaque séance)

2.Pour commencer

Cela peut être une bonne idée de commencer par créer un répertoire où seront stockés tous vos

fichiers matlab, et de travailler dans ce répertoire.

Lancer matlab :>matlab &

Pour sauver : "Save workspace as" dans le menu "File" ne sauve que les valeurs des variables. L"historique des commandes dans la fenêtre "Command history" est de toute manière automatique- ment sauvé par matlab, et sera visible lors de la session suivante.

Pour sauver les commandes dans un fichier, on peut sélectionner des entrées dans cette fenêtre (on

peut par exemple sélectionner tout l"historique d"une session) faire un clic droit et sauver dans un

fichier ".m" à l"aide de "Create m-file".

3.Notions de base

Product help dans Menu help : Ouverture de la fenêtre d"aide Matlab. Si on veut de l"aide sur une commande on peut la chercher ici, ou taper directement "helpnom de la commande" dans la fenêtre de commande ("command window").

3.1.Créations et Manipulations de variables sous Matlab.

a=4;b=piLa valeur 4 est affectée à a et la valeurà b.

Le point virgule a pour effet que matlab n"affiche pas le résultat. Remarque : par défaut,ietjsont

deux variables qui contiennent le nombre imaginaire i. Mais vous pouvez les utiliser quand même et changer leur valeur... whoListe les variables Matlab utilisées dans la session. clear bDestruction de la variable b whoVérification que la variable b n"existe plus. sqrt(a)Calcule la racine carrée de la variable a A=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9]Création " à la main » de la matrice A. 1 2

Les colonnes sont séparées par des espaces (ou des virgules), les lignes par des point virgule.

A(2,3)désigne l"élément de la deuxième ligne et de la troisième colonne de A.

3.2.Utilisation des deux points (:)

X=[1:20]X est le vecteur ligne contenant les entiers de1à20: Y=[1:2:20]Y est le vecteur ligne contenant les entiers1;3;;19:

1. Essayer [1:-0.5:-2].

2. A votre avis que font les deux commandes suivantes? Vérifier.

1+1:5

1+(1:5)b=A(2,:)b est le vecteur ligne contenant la deuxième ligne de A.

c=A( :,3)c est le vecteur colonne contenant la troisième colonne de A. B=A(1:2,1:2)B est la première sous-matrice carrée d"ordre 2 deA.

3. Obtenir la matrice contenant les deux premières colonnes de A.

3.3.Opérations sur les matrices (faire help elmat).

length(A)donne la taille de A

C=A"C est la matrice transposée de A

A+C,A*CAddition et multiplication matricielles classiques n=4;I4=eye(n)Création de la matrice identité d"ordre4

B=zeros(n)B est la matrice nulle d"ordre4

D=ones(n)D est la matrice carrée d"ordre 4 ne contenant que des1. p=2; AˆpCalcul deA2 det(A) ,trace(A) ,eig(A)Déterminant, trace et valeurs propres de A ansLa variable ans contient la dernière réponse Matlab non affectée.

4. Obtenir une matrice33dont tous les éléments valent 5.

5. Calculer le produit scalaire des deux premiers vecteurs colonnes deA(penser à utiliser la trans-

posée)

La plupart des fonctions matlab peuvent s"appliquer à des matrices ou à des vecteurs, et s"effectuent

élément par élément : c"est le cas par exemple decos,sin,sqrtetexp. Attention : si on veut

calculer l"exponentielle d"une matrice il faut utiliserexpm. Cela marche aussi avec les opérateurs logiques :essayerA>2, qui renvoie une matrice ne contenant que des 0 et des 1.

6. Construire un vecteur contenant les racines carrées des entiers pairs de 2 à 10.

3.4.Utilisation du point (.)L"opérateur point (.) permet de transformer une commande ma-

tricielle en une commande élément par élément.Comparer par exempleAˆ2etA.ˆ2,A*CetA.*C

7. Construire (sans faire de boucle) un vecteur contenant les carrés des entiers de 1 à 10.

8. Construire (sans faire de boucle) un vecteur contenant les inverses des entiers de 1 à 10.

3.5.Boucles.Toutes ces commandes permettent bien souvent de ne pas avoir à faire de boucle.

Néanmoins ce n"est pas toujours possible... La syntaxe pour une boucle est par exemple for k=1:10;

INSTRUCTIONS

end 3

9. Construire à l"aide de deux boucles la matrice33dont l"élément(i;j)est1i+j1. Calculer son

déterminant, et son inverse.

Vous vous en êtes peut-être rendu compte, il est assez pénible de taper des boucles directement

dans la fenêtre de commande. La manière la plus pratique dès qu"on commence à avoir des suites

d"instructions à taper est de créer un fichier ".m" avec ces instructions (un "script"); on peut ouvrir

un tel fichier dans le menu "file", qui ouvrira l"éditeur de matlab.

10. Mettre les instructions de la question précédente dans un fichier matTP1.m (vous pouvez l"appeler

autrement). Si ensuite on tape matTP1 dans la fenêtre de commande, les instructions de ce fichier sont exécutées.

3.6.Représentations graphiques.Sixetysont deux vecteurs de même taille, la commande

plot(x,y)fournit le graphe formé à partir des points[xi;yi]. Ainsi : t=0:1/10:3; plot(t,exp(t)+3))graphe de la fonctiont7!exp(t) + 3. t=0:1/10:3; plot(t,exp(t),t,1+t)graphes de deux fonctions. Si on souhaite rajouter une (ou des) courbe(s) sur la même figure, on utilise hold onavant la commandeplotsuivante. clfefface le graphe. hold offannule la commandehold on figureouvre une nouvelle fenêtre pour une nouvelle figure

11. Obtenir sur le même graphe les courbes représentatives decos,sinetx7!x2.

Si on dispose d"une fonction, on peut aussi obtenir son graphe à l"aide defplot. fplot("cos",[-pi pi])graphe de la fonctioncos.

Mais pour cela, il faut disposer de fonctions...

3.7.Les fonctions.Un certain nombre de commandes de matlab nécessitent d"avoir défini des

fonctions : c"est le cas defplot, mais aussi dequadqui calcule numériquement des intégrales, de

fzeroetfsolvequi cherche numériquement des zéros de fonctions. Il y a deux manières de définir une fonction.

Première manière : si elle va resservir, il est conseiller de la créer dans un fichier .m, qui devra

porter le nom de la fonction. On peut par exemple mettre les commandes suivantes dans un fichier "toto.m" : function resultat=toto(t); % Ligne de commentaire éventuelle resultat=t.ˆ2-3; % Attention si on ne met pas le; la fonction affichera deux fois le résultat. end toto(2)renvoie alors la valeur 1. (leendindiquant la fin de la fonction n"est pas nécessaire.)

ATTENTION : toujours faire en sorte que la fonction puisse s"appliquer à un vecteur (d"où le "point"

pour le carré). Une fonction peut aussi renvoyer plusieurs valeurs sous forme d"un vecteur. Dans ce cas la syntaxe serait par exemple function [f1,f2]=toto2(x,y)pour une fonction deR2dansR2. fplot(@toto,[-1 1])dessine le graphe de la fonction toto. oufplot("toto",[-1 1]) quad(@toto,0,1)calcule une valeur approchée deR1

0(t23)dt

fzero(@toto,1)donne une valeur approchée d"une racine deX23 4

12. Créer une fonction dans un fichier, puis obtenir le graphe dex7!21+x21à l"aide de la com-

mandefplot. Obtenir une valeur approchée de son intégrale sur[0;1]à l"aide dequad, comparer à

la vraie valeur.

Deuxième manière : si on ne souhaite pas créer de fichier, on peut aussi définir une fonction direc-

tement à l"aide de@. Ainsi toto2=@(x) cos(x).ˆ2 - sin(x).ˆ2; définit une fonction toto2 quad(toto2,0,pi)calculeR

0(cos2(x)sin2(x))dx

fzero(@(x) x.ˆ3-3,1)résoutx3= 3"en partant de 1"

13. Obtenir une valeur approchée d"une solution deexp(x) = 3x

4.Premiers pas en statistiques

randGénérateur aléatoire associé à la loi uniformeU([0;1]). randnGénérateur aléatoire associé à la loi normaleN(0;1) X=rand(1000,1);X est un vecteur colonne contenantn= 1000réalisations i.i.d.U([0;1]) s=sum(X)Calcule la somme des composantes deX. m=mean(X)Calcule la moyenne empirique deX v=var(X)Calcule la variance empirique deX(avec une division parn1) sigma=std(X)Calcule l"écart-type empirique deX(avec une division parn1)

14. Comparer la moyenne empirique deX3avec sa valeur théorique.

4.1.Représentations graphiques : Histogrammes.Vous avez sûrement déjà vu un histo-

gramme. Un histogramme peut être normalisé ou non, selon que les hauteurs des colonnes sont

calculées de telle sorte qu"il soit d"aire 1, ou que les hauteurs sont les effectifs de chaque classe.

Pour comparer un histogramme à une densité de probabilités, il vaut mieux qu"il soit normalisé...

SiXest un vecteur,histo(X)trace un histogramme non normalisé deX. Pour le normaliser, il faut donner 4 paramètres, par exemplehisto(X,10,0,1). Le deuxième paramètre est le nombre

de classes (ou de colonnes, en anglais "bins", de l"histogramme), le troisième paramètre vaut 0 ou 1

(en général 0 pour une loi continue, 1 pour une discrète mais ce n"est pas crucial), et le quatrième

vaut 1 pour indiquer que l"histogramme est normalisé.

15. Construire plusieurs foisXen faisant varier le nombre de réalisationsnde100à100 000.

Tracer à chaque fois l"histogramme deX, en faisant éventuellement varier le nombre de classes de

l"histogramme.

Remarque : il n"est pas évident en règle générale de savoir combien de classes il est pertinent de

prendre; en général on prend de l"ordre depnoùnest le nombre de réalisations. On voit de plus

que la forme de l"histogramme (et le fait qu"on reconnaît ou non la densité sousjacente) peut dé-

pendre pas mal de ce choix; c"est pourquoi on travaillera plus tard avec la "fonction de répartition

empirique", qui a de bonnes propriétés.

16. Générer un échantillon de 1000 réalisations d"une loi normale à l"aide derandn. Obtenir son

histogramme, et tracer sa densité sur le même graphe. Comparer sa moyenne empirique et son espérance, ainsi que son écart-type empirique et théoriquequotesdbs_dbs20.pdfusesText_26