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Simulation des lois usuelles avec Matlab 1/25 1 Lois discrètes 1 1 Loi de Bernoulli de paramètre θ, notée Ber(θ) ∀x ∈ {0, 1} , P(X = x) = θx (1 − θ)1−x

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Simulation des lois usuelles avec Matlab1/25

1 Lois discrètes

1.1 Loi de Bernoulli de paramètreθ, notéeBer(θ)

?x? {0,1}, P(X=x) =θx(1-θ)1-x

E[X] =θ V ar[X] =θ(1-θ)

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] = 1-θ+θt.

1.2 Loi Binomiale de paramètres(n,θ), notéeBin(n,θ)

?k? {0,1,...,n}, P(X=k) =Cknθk(1-θ)n-k

E[X] =nθ V ar[X] =nθ(1-θ)

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] = (1-θ+θt)n.

Exemple

On considèreuneurnecontenantNboules,N1boulerouges,N2=N-N1boules noires. On en tire par hasardnboules avec remise. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Posonsp=N1

N, on a :

P(X=k) =Cknpk(1-p)n-k,?k? {0,1,...,n}.

Propriétés

Ê.Ë.Ê. SiXsuit une loiBin(n,θ), alorsn-Xsuit une loiBin(n,1-θ). loiBer(θ), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiBin(n,θ).

KD.GHORBANZADEH

2/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4n=20;

5theta=0.2;

6nb=2000;

7R=binornd(n,theta,nb,1);

8hist(R)

9x=0:1:max(R);

10p1=nb*binopdf(x,n,theta);

11hold on

12plot(x,p1,'*k','linewidth',1);

13box off

14hold off

rhbino.m

0123456789100

50
100
150
200
250
300
350
400
450

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 1 - simulation de la loiBin(n,θ)

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab3/25

1.3 Loi géométrique de paramètreθ, notéeG´eo(θ)

?k?N?, P(X=x) =θ(1-θ)k-1

E[X] =1

θV ar[X] =1-θθ2

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =θt

1-(1-θ)t.

?Remarque Dans certains ouvrages la loiG´eo(θ)est présentée sous la forme : ?k?N, P(X=x) =θ(1-θ)k.

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4theta=.13;

5nb=500;

6R = geornd(theta,nb,1);

7hist(R)

8x=0:1:max(R);

9p1=2nbgeopdf(x,theta);

10hold on

11plot(x,p1,'*k');

12box off

13hold off

rhgeo.m

KD.GHORBANZADEH

4/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

0510152025303540450

50
100
150
200
250

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 2 - simulation de la loiG´eo(θ)

1.4 LoiBinomialeNégativede paramètres(n,θ),notéeBN(n,θ)

?n?N?,?k?N, P(X=k) =Ckn+k-1θn(1-θ)k

E[X] =n

θV ar[X] =n(1-θ)θ2

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =?θt

1-(1-θ)t?

Propriété

SiX1,...,Xnsont des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi G´eo(θ), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiBN(n,θ).

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab5/25

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4theta=.3;

5N=5;

6nb=500;

7R = nbinrnd(N,theta,nb,1);

8hist(R)

9x=0:1:max(R);

10p1=3.2nbnbinpdf(x,N,theta);

11hold on

12plot(x,p1,'*k');

13box off

14hold off

rhbineg.m

0510152025303540450

20 40
60
80
100
120
140

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 3 - simulation de la loiBN(n,θ)

KD.GHORBANZADEH

6/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

1.5 Loi de Poisson de paramètreλ, notéeP(λ)

?k?N, P(X=k) =e-λλk k!

E[X] =λ V ar[X] =λ

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =eλ(1-t).

Propriété

SiX1,...,Xnsont des variables aléatoires indépendantes de lois respectives : P(λ1),...,P(λn), alorsSn=X1+...+Xnsuit une loiP(n? k=1λ k).

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4lambda=7;

5nb=1000;

6R = poissrnd(lambda,nb,1);

7hist(R)

8x=0:1:max(R)+1;

9p1=1.7nbpoisspdf(x,lambda);

10hold on

11plot(x,p1,'*k','linewidth',1);

12box off

13hold off

rhpois.m

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab7/25

0246810121416180

50
100
150
200
250
300
350

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 4 - simulation de la loiP(λ)

1.6 Loi Uniforme sur un ensemble de cardinal fini

?k? {1,...,N}, P(X=k) =1 N

E[X] =N+ 1

2V ar[X] =N2-112.

1.7 Loi d'une variable aléatoire presque sûrement égale à une

valeur constantex0

P(X=x0) = 1

E[X] =x0V ar[X] = 0

fonctiong´en´eratriceGX(t) =E[tX] =tx0.

KD.GHORBANZADEH

8/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

2 Lois continues

2.1 Loi Uniforme sur l'intervalle[a,b], notéeU([a,b])

densit´efX(x) =1 b-al1[a,b](x) x-a b-asia < x < b

1 six≥b

E[X] =a+b

2V ar[X] =(b-a)212

fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] =eibt-eiat it(b-a).

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4a=2; 5b=7;

6nb=1000;

7R = unifrnd(a,b,nb,1);

8hist(R)

9x = a:0.1:b;

10p1=.55nbunifpdf(x,a,b);

11hold on

12plot(x,p1,'k','linewidth',2);

13box off

14hold off

rhunif.m

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab9/25

22.533.544.555.566.570

20 40
60
80
100
120

FIG. 5 - simulation de la loiU([a,b])

2.2 Loi Triangulaire sur l'intervalle[-a,a], notéeΔ([-a,a])

densit´efX(x) =1 a(1-|x|a)l1[-a,a](x) (x+a)2

1-(a-x)2

1 six≥a

E[X] = 0V ar[X] =a2

6 fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] =((( sinat 2at 2))) 2

KD.GHORBANZADEH

10/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

Propriété

alorsX-Ysuit une loiΔ([-a,a]).

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4a=3; nb=1000;

5X = unifrnd(0,a,nb,1); %loi uniforme

6Y = unifrnd(0,a,nb,1); %loi uniforme

7hist(X-Y)

8x = -1-a:0.1:a+1;

9p1=.55nb(1/a)(1-abs(x)./a).(x>=-a & x<=a);

10hold on

11plot(x,p1,'k','linewidth',2);

12box off

13hold off

rhtriag.m -4-3-2-1012340 20 40
60
80
100
120
140
160
180
200

FIG. 6 - simulation de la loiΔ([-a,a])

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab11/25

2.3 Loi Normale de paramètres(m,σ2), notéeN(m,σ2)

densit´efX(x) =1

σ⎷2πe-(x-m)22σ2

E[X] =m V ar[X] =σ2

fonctioncaract´eristique?X(t) =E[eitX] = exp(imt-1

2σ2t2)

transform´eedeLaplace?X(t) =E[etX] = exp(mt+1

2σ2t2).

Propriétés

Ë.Ì.Ê. La densité et la fonction de répartition de la loiN(0,1)sont notées par : ?(x) =1 ⎷2πe-x22Φ(x) =? x ?(t)dt. Ë.Ì.Ë. Pourx?Ron a :Φ(x) + Φ(-x) = 1. Ë.Ì.Ì. Pourα?]0,1[on a :Φ-1(α) + Φ-1(1-α) = 0, oùΦ-1désigne la fonction réciproque deΦ. Ë.Ì.Í. SiXsuit une loiN(m,σ2), alors pourα?= 0et pour toutβ,αX±β suit une loiN(αm±β,α2σ2). Ë.Ì.Î. SiXsuit une loiN(m,σ2), alorsX-m

σsuit une loiN(0,1).

k=1α kXksuituneloiN(n? k=1αquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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Simulation des lois usuelles avec Matlab1/25

1 Lois discrètes

1.1 Loi de Bernoulli de paramètreθ, notéeBer(θ)

E[X] =θ V ar[X] =θ(1-θ)

1.2 Loi Binomiale de paramètres(n,θ), notéeBin(n,θ)

E[X] =nθ V ar[X] =nθ(1-θ)

Exemple

N, on a :

P(X=k) =Cknpk(1-p)n-k,?k? {0,1,...,n}.

Propriétés

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2/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4n=20;

5theta=0.2;

6nb=2000;

7R=binornd(n,theta,nb,1);

8hist(R)

9x=0:1:max(R);

10p1=nb*binopdf(x,n,theta);

11hold on

12plot(x,p1,'*k','linewidth',1);

13box off

14hold off

0123456789100

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 1 - simulation de la loiBin(n,θ)

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab3/25

1.3 Loi géométrique de paramètreθ, notéeG´eo(θ)

E[X] =1

θV ar[X] =1-θθ2

1-(1-θ)t.

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4theta=.13;

5nb=500;

6R = geornd(theta,nb,1);

7hist(R)

8x=0:1:max(R);

9p1=2*nb*geopdf(x,theta);

10hold on

11plot(x,p1,'*k');

12box off

13hold off

KD.GHORBANZADEH

4/25Simulation des lois usuelles avec Matlab

0510152025303540450

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 2 - simulation de la loiG´eo(θ)

1.4 LoiBinomialeNégativede paramètres(n,θ),notéeBN(n,θ)

E[X] =n

θV ar[X] =n(1-θ)θ2

1-(1-θ)t?

Propriété

KD.GHORBANZADEH

Simulation des lois usuelles avec Matlab5/25

1clear all

2map(1,:) = [rand rand rand];

3colormap(map)

4theta=.3;

6nb=500;

7R = nbinrnd(N,theta,nb,1);

8hist(R)

9x=0:1:max(R);

10p1=3.2*nb*nbinpdf(x,N,theta);

11hold on

12plot(x,p1,'*k');

13box off

14hold off

0510152025303540450

© D.Ghorbanzadeh (1997)

FIG. 3 - simulation de la loiBN(n,θ)

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1.5 Loi de Poisson de paramètreλ, notéeP(λ)

9p1=2nbgeopdf(x,theta);

10p1=3.2nbnbinpdf(x,N,theta);

9p1=1.7nbpoisspdf(x,lambda);

10p1=.55nbunifpdf(x,a,b);