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Quantique Exercice 4 : Matrices normales Une matrice C est dite normale si elle commute avec la matrice hermitique conjuguée C†C = CC† En écrivant C =

Travaux dirigés de mécanique quantique pour la chimie Ce recueil d'exercices a été rédigé pour vous permettre de “pratiquer” la cq_1er_semestre pdf

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pdf Travaux diriges de mecanique quantique pour la chimie

Travaux dirig es de m ecanique quantique pour la chimie Introduction et mode d’emploi Ce recueil d’exercices a et e r edig e pour vous permettre de pratiquer" la m ecanique quantique Un des objectifs des s eances de travaux dirig es (TDs) est de vous familiariser avec le formalisme math ematique

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Travaux dirig´es de m´ecanique quantique

olivier.legrand@unice.fr anders.kastberg@unice.fr olivier.alibart@unice.fr

Formalisme math

ematique

Exercice 1 :Commutateurs et traces

1.Montrer que

[A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(1)

2.La trace d"un op´erateur est la somme des ´el´ements diagonaux de sa matrice repr´esentative dans une

base donn´ee TrA=? nA nn(2)

Montrer que

TrAB= TrBA(3)

et en d´eduire que la trace est invariante dans un changement de baseA→A?=SAS-1. La trace d"un

op´erateur est (heureusement!) ind´ependante de la base.

3.Montrer que la trace est invariante par permutation circulaire

TrABC= TrBCA= TrCAB(4)

Exercice 2 :D´eterminant et trace

1.Soit une matriceA(t) d´ependant d"un param`etretv´erifiant

dA(t) dt=A(t)B Montrer queA(t) =A(0)exp(Bt). Quelle est la solution de dA(t) dt=BA(t)?

2.Montrer que

dete

At1×deteAt2= deteA(t1+t2)

et que dete

A= eTrA

ou de fa¸con ´equivalente detB= eTr lnB(1)

Suggestion : obtenir une ´equation diff´erentielle pour l"op´erateurg(t) = det[exp(At)]. Les r´esultats sont

´evidents siAest diagonalisable.

Exercice 3 :Commutateurs et valeur propre d´eg´en´er´ee

Soit trois matricesN×N A,BetCqui v´erifient

[A,B] = 0 [A,C] = 0 [B,C]?= 0 Montrer qu"au moins une valeur propre deAest d´eg´en´er´ee.

2014/20151

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Exercice 4 :Matrices normales

Une matriceCest ditenormalesi elle commute avec la matrice hermitique conjugu´ee C

C=CC

En ´ecrivant

C=1

2(C+C) + i12i(C-C) =A+ iB

montrer queCest diagonalisable. Exercice 5 :Matrices normales et d´ecomposition spectrale (`a chercherseul!)

On se propose de d´emontrer le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale d"un op´erateur normalMsans

faire appel `a la diagonalisabilit´e des op´erateurs hermitiques. Ainsi, comme il est ais´e de montrer que les

op´erateurs hermitiques et les op´erateurs unitaires sont normaux, le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale

pour ces deux classes d"op´erateurs en d´ecoule.

On veut donc ´etablir le th´eor`eme suivant : Tout op´erateur normalMsur un espace de HilbertHest

diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee deH. R´eciproquement, tout op´erateur diagonalisable est

normal.

1.Montrer la r´eciproque.

2.Pour d´emontrer la premi`ere proposition, on proc`ede par induction sur la dimensionddeH. Soitλ

une valeur propre deM,Ple projecteur sur le sous-espace propre associ´e `aλetQle projecteur sur le

compl´ement orthogonal `a ce sous-espace. On ´etablira d"abord que

M=PMP+QMQ .(1)

D´emontrer ensuite queQMQest normal.

Par induction,QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aQet

PMPest d´ej`a diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aP. Il s"ensuit que

M=PMP+QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee de l"espace total.

3.Montrer qu"une matrice normale est hermitiquesi et seulement sielle poss`ede des valeurs propres

r´eelles.

Exercice 6 :Identit´es op´eratorielles

1.Soit l"op´erateurf(t) fonction du param`etret

f(t) = etABe-tA o`u les op´erateursAetBsont repr´esent´es par des matricesN×N. Montrer que df dt= [A,f(t)]d2fdt2= [A,[A,f(t)]] etc.

En d´eduire

e tABe-tA=B+t

1![A,B] +t22![A,[A,B]] +...(1)

2.On suppose queAetBcommutent tous deux avec leur commutateur [A,B].´Ecrire une ´equation

diff´erentielle pour l"op´erateur g(t) = eAteBt et en d´eduire, par int´egration entret= 0 ett= 1, la relation e

A+B= eAeBe-1

2[A,B](2)

Attention! Cette identit´e n"est pas g´en´eralementvalable. Elle n"est garantie que si [A,[A,B]] = [B,[A,B]] =

0. Montrer ´egalement avec les mˆemes hypoth`eses

AeB= eBeAe[A,B](3)

2014/20152

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Postulats de la physique quantique

Exercice 7 :Mesures quantiques et ´evolution temporelle

A. Mesure quantique

On consid`ere une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}o`u le hamiltonienHet une grandeur physiqueAsont repr´esent´es par les matrices :

H=E0((

3 0 0 0 1 0

0 0-1))

etA=a(( 2 0 0 0 0 1

0 1 0))

(1) o`uE0etasont des constantes positives.

1.a) On proc`ede `a une mesure de l"´energie. Quels r´esultats peut-on obtenir?

b) DiagonaliserA. c) On proc`ede `a une mesure de la grandeurA. Quels r´esultats peut-on obtenir?

2.On pr´epare le syst`eme dans l"´etat :|ψ?=1

⎷3(|1?+|2?+|3?). a) Quelle est la probabilit´e pour qu"une mesure de l"´energie donne 3E0?

b) Si le r´esultat d"une telle mesure est effectivement 3E0, quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?

c) Quel(s) r´esultat(s) donneraitalorsune mesure deA? Avec quelle(s) probabilit´e(s)?

3.a) Quelle est la probabilit´e pour que l"´energie mesur´ee soitE0si le syst`eme est initialement dans l"´etat

|ψ?? Quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?

b) Quels sontalorsles r´esultats possibles d"une mesure deA? Quelles sont les probabilit´es associ´ees?

c) On suppose que la mesure deAdonne-a. Quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?

4.On effectue un grand nombre de mesures de l"´energie sur un grandnombre de syst`emes identiques tous

pr´epar´es dans l"´etat|ψ?. Quelle en est la moyenne?

B. Mesure et ´evolution temporelle

L"´evolution du vecteur d"´etat d"un syst`eme quantique est r´egie par l"´equation de Schr¨odinger :

i?∂ ∂t|ψ(t)?=H|ψ(t)?.(2)

o`u le hamiltonienHne d´epend pas du temps et poss`ede une base d"´etats propres{|φn?}, i.e.H|φn?=

E n|φn?, o`u l"on suppose que les ´energies propresEnsont non d´eg´en´er´ees.

1.On d´ecompose le vecteur d"´etat dans cette base :|ψ(t)?=?

ncn(t)|φn?.

Trouver l"´equation diff´erentielle que doit v´erifier chaque coefficientcn(t) et la r´esoudre.

2.Dans une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}, le hamiltonien a pour matrice repr´esentative :

H=?ω((

0 0 0 0 0 1

0 1 0))

(3) a) On suppose que le syst`eme est initialement dans l"´etat :|ψ(0)?=|3?.

Calculer l"expression de|ψ(t)?dans la base{|φ0?,|φ+?,|φ-?}des ´etats propres deH, puis dans la base

initiale{|1?,|2?,|3?}. b) Quelle est la probabilit´eP2(t) pour que le syst`eme soit dans l"´etat|2?au tempst?

3.On suppose maintenant que le syst`eme est initialement dans l"´etat:|ψ(0)?=1

⎷2(|1? - |2?). a) Calculer|ψ(t)?dans la base{|1?,|2?,|3?}.

b) At=t0on mesure l"´energie et l"on trouve-?ω. Avec quelle probabilit´e? Que vaut|ψ(t)?pourt > t0?

2014/20153

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Exercice 8 :Dispersion et vecteurs propres

Montrer qu"une condition n´ecessaire et suffisante pour que|??soit vecteur propre d"un op´erateur hermi-

tiqueAest que la dispersion Δ?A= 0 o`u (Δ?A)2=?A2??-(?A??)2=?(A- ?A??I)2??.

Exercice 9 :M´ethode variationelle

1.Soit|??un vecteur (non normalis´e) de l"espace de Hilbert des ´etats et un hamiltonienH. La valeur

moyenne?H??est ?H??=??|H|?? Montrer que si le minimum de cette valeur moyenne est obtenu pour|??=|?m?et le maximum pour |??=|?M?, alors

H|?m?=Em|?m?etH|?M?=EM|?M?

o`uEmetEMsont la plus petite et la plus grande valeur propre.

3.SiHagit dans un espace `a deux dimensions, sa forme la plus g´en´erale est

H=?a+c b

b a-c? o`ubpeut toujours ˆetre choisi r´eel. En param´etrant|?(α)?sous la forme |?(α)?=?cosα/2 sinα/2?

trouver les valeurs deα0en cherchant les extrema de??(α)|H|?(α)?. Retrouver ainsi que les vecteurs

propres deHsont |χ+?=?cosθ/2 sinθ/2? |χ-?=?-sinθ/2 cosθ/2? correspondant aux valeurs propresa+⎷ b2+c2eta-⎷b2+c2respectivement, l"angleθ´etant d´efini par c=? b2+c2cosθ b=? b2+c2sinθ . On notera que tanθ=b/c, et qu"il faut prendre garde `a choisir la bonne d´etermination deθ.

Exercice 10 :Th´eor`eme de Feynman-Hellmann

Soit un op´erateur hermitiqueA(λ) d´ependant d"un param`etre r´eelλ,a(λ) une valeur propre simple et

|?(λ)?le vecteur propre normalis´e (||?(λ)||2= 1) correspondant

A(λ)|?(λ)?=a(λ)|?(λ)?

Montrer que

∂a ?(λ)?(1) Exercice 11 :Op´erateur d"´evolution et repr´esentation de Heisenberg

On consid`ere un syst`eme dont l"hamiltonienHest ind´ependant du temps (syst`eme isol´e). Montrer que

le vecteur d"´etat `a l"instantt, not´e|ψ(t)?, se d´eduit du vecteur d"´etat `a l"instant initial|ψ(t0)?par la

formule : |ψ(t)?=U(t-t0)|ψ(t0)? avecU(τ) = exp[-iHτ/?].

1.Montrer queU(τ) est unitaire.

2014/20154

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2.On note|ψ(0)?l"´etat de ce syst`eme `a l"instantt= 0. On s"int´eresse `a la valeur moyennea(t) des

r´esultats de mesures d"une observableA`a l"instantt.

a.Exprimera(t) en fonction de|ψ(0)?,Aet de l"op´erateur d"´evolutionU(t) introduit plus haut.

b.Montrer quea(t) peut s"interpr´eter comme la valeur moyenne d"un op´erateurA(t) dans l"´etat|ψ(0)?,

et queA(t) est d´etermin´e par : i?dA(t) dt= [A(t),H] etA(0) =A.(1)

Cette approche est appel´ee repr´esentation (ou point de vue)de Heisenberg : le vecteur d"´etat est

ind´ependant du temps, et les op´erateurs ob´eissent `a l"´equation de Heisenberg (1).

Exercice 12 :Point de vue de l"interaction

Un point de vue interm´ediaire entre celui de Schr¨odinger et celui de Heisenberg est lepoint de vue

de l"interaction(ou de Dirac). On l"utilise lorsqu"il est naturel de d´ecomposer l"hamiltonienHen un

hamiltonienlibreH0ind´ependant du temps, que l"on sait diagonaliser, et un hamiltonien d"interaction

W(t).

L"objectif est de se d´ebarrasser de l"´evolution connue deH0. On d´efinit le vecteur d"´etat|˜ψ(t)?dans le

point de vue de l"interaction par ˜ψ(t)?= exp[iH0t/?]|ψ(t)? |˜ψ(t= 0)?=|ψ(t= 0)? Le point de vue de l"interaction co¨ıncide avec celui de Heisenberg siW= 0.

L"op´erateur d"´evolutionU(t) v´erifie

i?dU(t) dt= [H0+W(t)]U(t)

On d´efinit l"op´erateur d"´evolution

˜U(t) dans le point de vue de l"interaction par

U(t) =U0(t)˜U(t) o`uU0(t) = exp[-iH0t/?]

Montrer qu"on obtient l"´equation d"´evolution i?d˜U(t) dt=˜W(t)˜U(t) o`u˜W(t) =U-10(t)W(t)U0(t).(1) Exercice 13 :Relation d"incertitude temps-´energie

On consid`ere un syst`eme pr´epar´e dans un ´etat|ψ?dont la dispersion en ´energie vaut ΔE. On consid`ere

d"autre part une observableAde valeur moyenne?a?et de dispersion Δa. En utilisant les relations de commutation, montrer l"in´egalit´e suivante :

ΔaΔE≥?

2???? d?a?dt????

En d´eduire que si l"´echelle de temps typique d"´evolution d"un syst`eme est d´efinie parτ=|Δa/(d?a?/dt)|,

on a l"in´egalit´e :τΔE≥?/2. Exercice 14 :´Evolution temporelle d"un syst`eme `a deux niveaux

Pour commencer, consid´erons un atome qui poss`ede deux niveaux d"´energie +?ωet-?ω. L"hamiltonien

du syst`eme s"´ecrit

H=??ω0

0-ω?

dans la base|+?=?10? |-?=?01?

2014/20155

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En l"absence de couplage, +?ωet-?ωsont les ´energies possibles du syst`eme, et les ´etats|+?et|-?sont

stationnaires (si l"on place le syst`eme dans l"un de ces ´etats, il y demeure ind´efiniment). Le probl`eme

consiste `a ´evaluer les modifications qui apparaissent lorsqu"on introduit un terme de couplageW=

??0B B0? qui va permettre au syst`eme de passer d"un ´etat `a l"autre. Notre syst`eme `a deux niveaux pr´esente donc un hamiltonienHrepr´esent´e par la matrice

H=??ω B

B-ω?

On rappelle que les valeurs propres et vecteurs propres deHsont E

ω2+B2|χ+?= cosθ2|+?+ sinθ2|-?

ω2+B2|χ-?=-sinθ2|+?+ cosθ2|-?

avec cosθ=ω

1.Le vecteur d"´etat|?(t)?au tempstpeut se d´ecomposer sur la base{|+?,|-?}

|?(t)?=c+(t)|+?+c-(t)|-?

Ecrire le syst`eme d"´equations diff´erentielles coupl´ees auquelob´eissent les composantesc+(t) etc-(t).

2.On d´ecompose|?(t= 0)?sur la base{|χ+?,|χ-?}

|?(t= 0)?=|?(0)?=λ|χ+?+μ|χ-? |λ|2+|μ|2= 1

Montrer quec+(t) =?+|?(t)?s"´ecrit

c +(t) =λe-iΩt/2cosθ

2-μeiΩt/2sinθ2

avec Ω = 2

ω2+B2:?Ω est la diff´erence d"´energie entre les deux niveaux. En d´eduire quec+(t) (de

mˆeme quec-(t)) v´erifie l"´equation diff´erentielle

¨c+(t) +?Ω

2? 2 c +(t) = 0

3.On suppose quec+(0) = 0. En d´eduireλetμ`a une phase pr`es ainsi quec+(t). Montrer que la

probabilit´e de trouver le syst`eme au tempstdans l"´etat|+?est p +(t) = sin2θsin2?Ωt 2? =B2ω2+B2sin2?Ωt2?

4.Montrer que sic+(t= 0) = 1 alors

c +(t) = cosΩt

2-icosθsinΩt2

En d´eduirep+(t) etp-(t), et v´erifier la compatibilit´e du r´esultat avec celui de la question pr´ec´edente.

2014/20156

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Spin 1/2, Polarisation et corr´elations quantiques Exercice 15 :D´ecomposition d"une matrice2×2

1.On introduit la notation :

ˆσ0=Iˆσi=σi, i= 1,2,3

Montrer que si une matrice 2×2Av´erifie Tr(ˆσiA) = 0?i= 0,...,3, alorsA= 0.

2.Soit la matrice 2×2

A=λ0I+3?

i=1λ iσi=3? i=0λ iˆσi

Montrer que

i=1

2Tr(Aˆσi)

En d´eduire qu"une matrice 2×2 quelconque peut toujours s"´ecrire A=3? i=0λ iˆσi A quelle condition doivent ob´eir les coefficientsλilorsqueAest hermitique?

Exercice 16 :Exponentielles de matrices de Pauli

1.Montrer que

exp? -iθ

2?σ·ˆn?

=Icosθ2-i(?σ·ˆn)sinθ2

Suggestion : calculer (?σ·ˆn)2.

2.Une application bien instructive des matrices de rotations du type exp?-iθ

2?σ·ˆn?consiste `a voir

comment construire un vecteur propre (vecteur de spin propre ici) de l"op´erateur?σ·ˆnassoci´e `a la valeur

propre +1 et o`u ˆnest un vecteur de direction quelconque. Suggestion : Partez du vecteur propre +1 de

zet appliquez les transformations necessaires.

Exercice 17 :Variables cach´ees et spin 1/2

En physique quantique, l"´etat d"une particule ne peut ˆetre pr´edit : on connaˆıt seulement sa probabilit´e

d"ˆetre dans l"´etataoub. En effet, les probabilit´es sont associ´ees `a des syst`emes quantiques individuels

alors qu"en physique classique les probabilit´es sont asscoi´ees `a des ensembles et le recours aux probabilit´es

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Travaux dirig´es de m´ecanique quantique

Formalisme math

Exercice 1 :Commutateurs et traces

1.Montrer que

2.La trace d"un op´erateur est la somme des ´el´ements diagonaux de sa matrice repr´esentative dans une

Montrer que

TrAB= TrBA(3)

3.Montrer que la trace est invariante par permutation circulaire

TrABC= TrBCA= TrCAB(4)

Exercice 2 :D´eterminant et trace

1.Soit une matriceA(t) d´ependant d"un param`etretv´erifiant

2.Montrer que

At1×deteAt2= deteA(t1+t2)

A= eTrA

´evidents siAest diagonalisable.

Soit trois matricesN×N A,BetCqui v´erifient

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Exercice 4 :Matrices normales

C=CC

En ´ecrivant

2(C+C) + i12i(C-C) =A+ iB

1.Montrer la r´eciproque.

2.Pour d´emontrer la premi`ere proposition, on proc`ede par induction sur la dimensionddeH. Soitλ

M=PMP+QMQ .(1)

D´emontrer ensuite queQMQest normal.

3.Montrer qu"une matrice normale est hermitiquesi et seulement sielle poss`ede des valeurs propres

Exercice 6 :Identit´es op´eratorielles

1.Soit l"op´erateurf(t) fonction du param`etret

En d´eduire

1![A,B] +t22![A,[A,B]] +...(1)

2.On suppose queAetBcommutent tous deux avec leur commutateur [A,B].´Ecrire une ´equation

A+B= eAeBe-1

2[A,B](2)

0. Montrer ´egalement avec les mˆemes hypoth`eses

AeB= eBeAe[A,B](3)

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Postulats de la physique quantique

A. Mesure quantique

H=E0((

0 0-1))

0 1 0))

1.a) On proc`ede `a une mesure de l"´energie. Quels r´esultats peut-on obtenir?

2.On pr´epare le syst`eme dans l"´etat :|ψ?=1

3.a) Quelle est la probabilit´e pour que l"´energie mesur´ee soitE0si le syst`eme est initialement dans l"´etat

4.On effectue un grand nombre de mesures de l"´energie sur un grandnombre de syst`emes identiques tous

B. Mesure et ´evolution temporelle

1.On d´ecompose le vecteur d"´etat dans cette base :|ψ(t)?=?

2.Dans une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}, le hamiltonien a pour matrice repr´esentative :

H=?ω((

0 1 0))

3.On suppose maintenant que le syst`eme est initialement dans l"´etat:|ψ(0)?=1

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Exercice 8 :Dispersion et vecteurs propres

Exercice 9 :M´ethode variationelle

1.Soit|??un vecteur (non normalis´e) de l"espace de Hilbert des ´etats et un hamiltonienH. La valeur

H|?m?=Em|?m?etH|?M?=EM|?M?

3.SiHagit dans un espace `a deux dimensions, sa forme la plus g´en´erale est

H=?a+c b

Exercice 10 :Th´eor`eme de Feynman-Hellmann

A(λ)|?(λ)?=a(λ)|?(λ)?

Montrer que

1.Montrer queU(τ) est unitaire.

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2.On note|ψ(0)?l"´etat de ce syst`eme `a l"instantt= 0. On s"int´eresse `a la valeur moyennea(t) des

Exercice 12 :Point de vue de l"interaction

L"op´erateur d"´evolutionU(t) v´erifie

On d´efinit l"op´erateur d"´evolution

U(t) =U0(t)˜U(t) o`uU0(t) = exp[-iH0t/?]

ΔaΔE≥?

H=??ω0

0-ω?

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H=??ω B

C=CC

2(C+C) + i12i(C-C) =A+ iB