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Universit´e Paris-Sud

Licence et Magist`ere de Physique

Travaux Dirig´es

de M

´ecanique Quantique

2008-2009

Table des mati`eresTD 1 :´Equation de Schr¨odinger1

TD 2 :

´Etats li´es pour un puits quelconque3

TD 3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsions 5

TD 4 : Repr´esentation et notation de Dirac8

TD 5 : La mesure10

TD 6 : Sym´etries - Syst`eme `a 2 niveaux13

TD 7 : Oscillateur harmonique - Produit tensoriel 16

TD 8 : Moments cin´etiques - spin19

TD 9 : Particules identiques21

TD 10 : Atome d"hydrog`ene23

TD 11 : Composition des moments cin´etiques27

TD 12 : Perturbation ind´ependante du temps30

TD 13 : Perturbation d´ependante du temps33

T.D. no1 :´Equation de Schr¨odinger

A. Etats li´es - Quantification de l"´energie. On consid`ere une particule plong´ee dans un potentielV(x) en forme de puits carr´e, c"est `a dire d´efini par :V(x) =-V0<0 pour-a/2< x < a/2 et nul ailleurs. (Vx) 0x V/2 a-a/2

1/Quel est le mouvement d"une particule dans ce potentiel en m´ecanique classique?

2/On ´etudie le cas-V0< E <0 (´etats li´es).

a/ Ecrire l"´equation de Schr¨odinger et la r´esoudre s´epar´ement dans chacune des trois zones. On

pourra poser : k 0=? 2mV0 ?2, k=?-2mE?2etK=?

2m(E+V0)

?2.(1)

b/ On peut montrer que, dans le cas d"une discontinuit´e de potentiel finie, les fonctions d"ondes

restent born´ees, continues et de d´eriv´ee continue. Ecrire les relations qui en d´ecoulent et en

d´eduire que :?k-iK k+ iK?

2=e2iKa.(2)

Quelle est la dimension de l"espace vectoriel des solutions, pour une valeur donn´ee de l"´energie?

c/ On peut montrer que l"´equation pr´ec´edente est ´equivalente au syst`eme : |sin(Ka

2)|=Kk0lorsque tan(Ka2)<0,(3)

|cos(Ka

2)|=Kk0.lorsque tan(Ka2)>0 (4)

Montrer par une m´ethode graphique simple qu"il y a quantification des ´energies. Que se passe-t-il

lorsque le puits devient tr`es profond? B. Etats libres - Courant de probabilit´e - R´eflexion, transmission

1/Dans le cas du puits carr´e pr´ec´edent, on ´etudie maintenant le casE >0 (´etats libres).

a/ R´esoudre l"´equation de Schr¨odinger dans chacune des trois zones et ´ecrire les relations de

raccordement. 1 b/ Montrer que pour toute ´energieE, les solutions forment un espace vectoriel de dimension deux. Montrer que toute solution peut se d´ecomposer en deuxondes planes qui se propagent en sens contraire. Peut-on normer ces solutions?

2/Soitφ(?r,t) la fonction d"onde d"une particule de massemplac´ee dans un potentielV(?r).

On d´efinit la densit´e de probabilit´e de pr´esence de la particule au point?ret `a l"instantt

par :

ρ(?r,t) =|φ(?r,t)|2=

φ(?r,t)φ(?r,t).(5)

a/ Montrer que cette densit´e satisfait `a l"´equation deconservation: ∂t+?? ·?J= 0 (6) o`u lecourant de probabilit´e?Jest donn´e par : J=?

2mi?φ(??φ)-(??φ)φ?

.(7) b/ Donner ?Jpour une fonction d"onde de la forme :

φ(?r,t) =Aeif(?r,t).(8)

c/ Pr´eciser ?Jdans le cas d"une onde plane,f(?r,t) =?k·?r-ωt.

3/On consid`ere une particule de massem, soumise au potentiel `a une dimension suivant :

V(x) =-V0pourx <0 (V0>0),(9)

V(x) = 0 pourx >0.(10)

On s"int´eresse dor´enavant aux ´etats stationnaires d"´energie positive, repr´esentant une onde se

propageant depuis +∞, partiellement r´efl´echie enx= 0 et partiellement transmise. a/ Expliquer bri`evement pourquoi on choisira les fonctions d"onde sous la forme :

φ(x) =Ae-iKxpourx <0 (11)

φ(x) =e-ikx+Beikxpourx >0 (12)

o`uK=?

2m(E+V0)/?etk=⎷2mE/?.

b/ Ecrire les conditions de raccordement en 0, et calculerAetBen fonction deKetk. c/ Calculer le courant pourx <0 puisx >0. Identifier les courants incidentJi, r´efl´echiJret transmisJt. d/ On d´efinit un coefficient de r´eflexionRet de transmissionTpar :

R=????J

Ji????

etT=????J tJi???? .(13)

V´erifier queR+T= 1.

e/ Calculer la limite deRet deTpourktendant vers 0 et pourktendant vers l"infini. Comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. 2 T.D. no2 :´Etats li´es pour un puits quelconque - Origine de la quantification de l"´energie

On consid`ere une particule sans spin plong´ee dans un potentielV(x) et caract´eris´ee par une

fonction d"ondeφ(x) (probl`eme `a une dimension). Le puits de potentielV(x) a l"allure suivante :

1/Rappeler l"´equation de Schr¨odinger que v´erifie la fonction d"onde d´ecrivant un ´etat station-

naire d"´energieE. Quelle est a priori la dimension de l"espace vectoriel des solutions?

2/Les casE < Vminsont ils physiquement acceptables? Discuter ensuite le casE=Vminet

comparer avec les r´esultats de la m´ecanique classique. Conclure que n´ecessairementE > Vmin.

3/Quel est le comportement `a l"infini deφ(x) selon les cas :Vmin< E < V2;V2< E < V1;

1< E. Quels sont les ´etats li´es et les ´etats libres?

4/Dans le casVmin< E < V2, on va montrer (de fa¸con intuitive) qu"il y a quantification

des ´etats. Repr´esenter sch´ematiquement la fonction d"onde de l"´etat fondamental. En supposant

arbitrairement que la fonction d"onde s"annule quandx→ -∞, comment se d´eforme la solution

de l"´equation de Schr¨odinger si l"on augmente tr`es l´eg`erementE? Parmi toutes les solutions,

seul un nombre fini d"entre elles v´erifie les conditions du 3). En particulier, remarquer que l"on

peut ici caract´eriser chaque ´etat li´e par le nombre de z´eros de la fonction d"onde. (voir la r´esolution num´erique jointe) 3

Pour la figure

4 T.D. no3 : Fonction d"onde dans l"espace des impulsions

A. Fonction d"onde dans l"espace des impulsions

D efinitions

Soitψ(x,t) la fonction d"onde norm´ee `a 1 d"une particule sur un axe etφ(k,t) sa transform´ee

de Fourier (T.F.) :

φ(k,t) =1

⎷2π?

ψ(x,t)e-ikxdx .

En utilisant la relation de de Broglieλ=h/p??p=?k, on d´efinit la fonction :

ψ(p,t) =1

⎷?φ(p/?,t) =1⎷2π??

ψ(x,t)exp(-ipx?)dx ,

o`u le facteur 1/⎷

?est introduit pour que˜ψ(p,t) soit norm´ee `a l"unit´e)˜ψ(p,t) est la fonction d"onde dans l"espace des impulsions. On admet, ce qui n"est pas ´evident,

que|˜ψ(p,t)|2est la densit´e de probabilit´e dep. Remarques: il est facile de montrer que la fonction d"onde dans l"espace des positions s"obtient `a partir de celle dans l"espace des impulsions par :

ψ(x,t) =1

⎷2π?? -∞˜ψ(p,t)exp(ipx?)dp.

La fonction d"onde dans l"espace des impulsions

˜ψ(p,t) d´efinit compl`etement `a elle seule l"´etat de la particule, aussi bien queψ(x,t), fonction d"onde dans l"espace des positions, puisqu"on passe de l"une `a l"autre de fa¸con univoque par T.F. ou T.F. inverse.

1/ Puits carr´e infini

a/ Calculer les ´energies et les fonctions d"onde stationnaires, norm´ees `a l"unit´e, d"une particule

dans un puits carr´e infini dont les bords sont situ´es en 0 eta. Tracer les fonctions d"onde associ´ees

aux 3 premiers niveaux. b/ Montrer que les fonctions d"onde dans l"espace des impulsions s"´ecrivent :

ψ(p) =1

2i? a

π?ei(nπ/2-pa/2?)?

sinc(pa2?-nπ2) + (-1)n+1sinc(pa2?+nπ2)? avec : sinc(u) =sinu u Repr´esenter graphiquement sinc(u), indiquer l"abscisse du premier z´ero de part et d"autre de l"origine. Puis repr´esenter graphiquement sinc( pa

2?-nπ2) et sinc(pa2?+nπ2) en fonction dep.

c/ Montrer que pourngrand on a :

˜ψ(p)|2?a

4π??

sinc2(pa2?-nπ2) + sinc2(pa2?+nπ2)? d/ Indiquer sur un graphique l"allure de cette courbe. Donner les positions et l"´ecartement des

deux pics principaux, ainsi que leur largeur `a la base. Que deviennent l"´ecartement et la largeur

des deux pics principaux quandntend vers l"infini? 5

e/ D´ecrire le mouvement d"une particule de mˆeme ´energieE=n2π2?2/2ma2et de mˆeme masse

dans le mˆeme potentiel en m´ecanique classique et donner lavaleur de son impulsion en fonction

den,?eta.

f/ Indiquer, pour l"impulsion, ce qui est semblable et ce quidiff`ere en m´ecanique classique et en

m´ecanique quantique, quandntend vers l"infini.

2/ Densit´es de probabilit´e pour les ´etats stationnaires

Montrer que, pour un ´etat stationnaire,|ψ(x,t)|2et|˜ψ(p,t)|2sont ind´ependants du temps.

3/ ´Equation de Schr¨odinger dans l"espace des impulsions(facultatif)

En prenant la transform´ee de Fourier des deux membres de l"´equation de Schr¨odinger d´ependant

du temps, indiquer `a quelle ´equation ob´eit˜ψ(p,t).

B. Relation d"Heisenberg position-impulsion

1/ Lien avec la transform´ee de Fourier

En utilisant les propri´et´es de la transformation de Fourier indiqu´ees ci-dessous, retrouver la

relation :

ΔxΔp??/2.

2/ Exemple : oscillateur harmonique

La fonction d"onde de l"´etat fondamental (´etat stationnaire de plus basse ´energie) de l"oscillateur

harmonique `a une dimension (V(x) = 1/2mΩ2x2), s"´ecrit : mΩ

π?)1

4exp(-mΩx22?)exp(-iEt?).

Calculer Δx, Δp, ΔxΔppour toutt.

3/ Exemple : puits carr´e infini(facultatif)

Dans le cas de la particule confin´ee dans un puits carr´e infini situ´e entre 0 eta, calculer Δx,

Δp, ΔxΔp.

Vers quelle valeur tend ΔxΔpquand l"´energie tend vers l"infini? Pr´eciser la signification de ce

comportement en utilisant les r´esultats du A-1).

4/ Un argument heuristique pour estimer l"´energie du fondamental.(facultatif)

L"in´egalit´e de Heisenberg montre que lorsqu"une particule est confin´ee dans une r´egion de dimen-

sionL, son ´energie cin´etiqueEc=p2/(2m) est d"ordreEc≂?2/(mL2). Utiliser cette remarque pour trouver l"ordre de grandeur de l"´energie du fondamental de : a/ l"oscillateur harmonique unidimensionnelH=p2

2m+12mω2x2.

b/ L"atome d"Hydrog`eneH=?p2

2m-e2r.

6 Propri´et´es de la transformation de Fourier D´efinition :soitψ(x) une fonction complexe de variable r´eelle telle que?+∞ -∞ψ(x)dxexiste (?ψest sommable). Alors l"int´egrale : 1 ⎷2π?

ψ(x)e-ikxdx

existe?ket d´efinit une nouvelle fonction˜ψ(k) qui est par d´efinition la transform´ee de

Fourier deψ(x). On a de plus :

ψ(x) =1

⎷2π? -∞˜ψ(k)eikxdk ψ(x) est la transform´ee de Fourier inverse de˜ψ(k). Propri´et´es utiles de la transformation de Fourier :

FonctionTransform´ee de Fourier

ψ(x) =1⎷2π?

-∞˜ψ(k)eikxdk˜ψ(k) =1⎷2π? -∞ψ(x)e-ikxdx

λψ(x)λ˜ψ(k)

ψ(ax) (ar´eel)1

|a|˜ψ(ka) -ixψ(x)d˜ψ dk dψ dxik˜ψ(k) eik0xψ(x)˜ψ(k-k0)

ψ(x+x0)eikx0˜ψ(k)

e-x22e-k22

Formule de Parseval-Plancherel :?+∞

ψ?1(x)ψ2(x)dx=?

-∞˜ψ?1(k)˜ψ2(k)dk(conservation du produit scalaire) |ψ(x)|2dx=? |˜ψ(k)|2dk(conservation de la norme)

ψ(k)→0 quandk→ ±∞

et :

ΔxΔk?1

2avec :

Δx= ´ecart type dex=?

|ψ(x)|2(x-< x >)2dx? 1 2,

Δk= ´ecart type dek=?

|˜ψ(k)|2(k-< k >)2dk? 1 2. 7 T.D. no4 : Repr´esentation et notation de Dirac

A. Calcul formel en notation de Dirac

1/ Associativit´e

Soitλun scalaire,|u>,|v>,|w>des ´etats physiques, on notera : A=|u> 1. V´erifier queAetBsont des op´erateurs puis calculer les produitsABetBA.

2. Donner la nature (scalaire, vecteur ou op´erateur) des objets suivants et les simplifier, le

cas ´ech´eant.

C|u>

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